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1、第四章 不定积分 高等数学（上）高等数学（上）BTSBTS总体方案设计报告总体方案设计报告第一节第一节 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念 定义定义 1 1 如果在区间如果在区间I I 内，可导函数内，可导函数 的导函数为的导函数为 ，即对，即对 ，都有，都有 或或则就称则就称 为为 在区间在区间 I I 上的上的原函数原函数. .例如例如 ，故，故 问题问题1 1：原函数的存在性问题：原函数的存在性问题: :原函数原函数函数函数求导求导是否存在是否存在定理定理1 1( (原函数存在定理原函数存在定理) ) 定义在区间定义在区间 I
2、 I 上的上的连续函数连续函数 在在 I I 上一定有原函数上一定有原函数. .即：连续函数必有原函数即：连续函数必有原函数. .问题问题2 2：原函数的惟一性问题：原函数的惟一性问题: :( (待证待证) )定理定理2 2 如果函数如果函数 在区间在区间I I上的原函数存在上的原函数存在, ,则它的任意两个不同的原函数只则它的任意两个不同的原函数只相差一个常数相差一个常数. .若若 为为 的原函数，则的原函数，则 的所有的所有原函数的集合为：原函数的集合为：证证 若若 和和 都是都是 的原函数的原函数, ,（ 为任意常数）为任意常数） 定义定义2 2 若若 为为 在区间在区间 I I 上的原
3、函数，上的原函数， 则称原函数族则称原函数族 （ 为任意常数）为任意常数）为为 在在 I I 上的上的不定积分不定积分，记为，记为积积分分号号被被积积函函数数被被积积表表达达式式 称为积分变量称为积分变量-原函数族原函数族例例1 1 求求 . .解解例例2 2 求求 . .解解例例3 3 设曲线通过点设曲线通过点（1 1，2 2），且其上任一，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程求此曲线方程. .解解 设曲线方程为设曲线方程为 ，根据题意知根据题意知由曲线通过点由曲线通过点（1 1，2 2），故有，故有 . .因而，所求曲线方程为因而，
4、所求曲线方程为所以所以注注（）（）的几何意义：考虑曲线（），的几何意义：考虑曲线（），使得使得 则（）则（）这是一簇由一条积分曲线这是一簇由一条积分曲线沿纵轴上下平移沿纵轴上下平移得到的在横坐标相同的点得到的在横坐标相同的点处的切线是平行的处的切线是平行的(2) (2) 由不定积分的定义，可知由不定积分的定义，可知结论结论 微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆的的. .例如例如(1)(1)(2)(2)(3)(3)二、 基本积分表(5)(5)(12)(12)(13)(13)例例4 4 求积分求积分 . .解解三、 不定积分的性质证证等式成立等式成立. .（此性质可推广
5、到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）注注:(1):(1)求积分是利用积分表和积分性质求积分是利用积分表和积分性质来试来试, ,要变形要变形, ,技巧大技巧大. .设法变形为积分表中函数的线性组合形式设法变形为积分表中函数的线性组合形式, ,以求出积分的方法称为以求出积分的方法称为直接积分法直接积分法. .(2)(2)不是所有函数都肯定能积分出来不是所有函数都肯定能积分出来. .往往逆运算都要打破原有体系。往往逆运算都要打破原有体系。例例5 5 求积分求积分 . .解解例例6 6 求积分求积分 . .解解例例7 7 求积分求积分解解课堂练习课堂练习7 7、8 8、二
6、、符号函数二、符号函数在在 内是否存在原函数？为什么？内是否存在原函数？为什么？没有原函数。反证没有原函数。反证: :假如有原函数。则假如有原函数。则结结论论每一个含有每一个含有第一类间断点第一类间断点的函数都没的函数都没有原函数有原函数. .以上讨论的是跳跃间断点，若以上讨论的是跳跃间断点，若x x0 0是可去间断点。是可去间断点。函数函数 含有第二类间断点含有第二类间断点x=0,x=0,但它有原函数但它有原函数 . .思考：若第二类呢？思考：若第二类呢？三、三、 下列正确的是下列正确的是: :C C四、若四、若 f(x)f(x)的导函数是的导函数是 sinxsinx , ,则则 f(x)f(x)的原函数的原函数是是. .sinx + Csinx + C1 1x + Cx + C2 2
