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1、数 学 抽 象数学思想方法简介数学思想方法简介1.何谓数学抽象 何谓何谓抽象抽象, ,是指舍弃事物的个别的、非本是指舍弃事物的个别的、非本质的属性质的属性, ,抽取出本质属性的过程和方法抽取出本质属性的过程和方法. . 数学抽象数学抽象, ,是一种特殊抽象是一种特殊抽象, ,是仅仅从事是仅仅从事物的量的属性进行抽取的抽象物的量的属性进行抽取的抽象. .2 2 例例“圆圆”是在是在“点点”、“距离距离”、“轨迹轨迹”等概念及等概念及“相等相等”等关系的基础上等关系的基础上,明确明确“定义定义”逻辑地构建出来的逻辑地构建出来的.2.数学抽象的特点（1）数学抽象内容的量的特定性数学抽象内容的量的特定
2、性. .（2）数学抽象方法的逻辑建构性数学抽象方法的逻辑建构性. .（3）数学抽象程度的高度性数学抽象程度的高度性. . 仅仅从量的方面抽取仅仅从量的方面抽取, ,即只着眼于事物存在的即只着眼于事物存在的数量关系和空间形式数量关系和空间形式. .有别于其他科学有别于其他科学. .凭借明确的定义和推理，逻辑建构的凭借明确的定义和推理，逻辑建构的. .A.多层次抽象多层次抽象;B.远离现实模型远离现实模型. .3 33.数学抽象的两个具体方法（1）强抽象强抽象从事物具有的若干属性中从事物具有的若干属性中, ,强化或者添加某些属强化或者添加某些属性的抽象称为强抽象性的抽象称为强抽象. .一组对边一组
3、对边 平行平行两组对边两组对边 平行平行对角相等对角相等对边相等对边相等 强抽象是扩大内涵缩小外延的抽象强抽象是扩大内涵缩小外延的抽象, ,是是从一般到特殊的抽象从一般到特殊的抽象. .任意四边形任意四边形梯形梯形平行四边形平行四边形矩形矩形正方形正方形4 4(2)弱抽象弱抽象 从事物的若干属性中减弱或去掉某些属性的从事物的若干属性中减弱或去掉某些属性的抽象称为弱抽象抽象称为弱抽象. . 弱抽象是缩小内涵弱抽象是缩小内涵, ,扩大外延的抽象扩大外延的抽象, ,是从特殊到一般的抽象是从特殊到一般的抽象. . 等边等边三角形三角形任意任意三角形三角形 等腰等腰三角形三角形两角两角 相等相等无三角无
4、三角 相等限制相等限制5 54.例谈例例1 函数概念的形成和发展过程是一系列弱函数概念的形成和发展过程是一系列弱抽象的过程，即由特殊到一般的过程抽象的过程，即由特殊到一般的过程. . 早期的函数早期的函数 概概 念念（代数函数）（代数函数） 18世纪的函数世纪的函数 概概 念念 （解析函数）（解析函数） 19世纪的函数世纪的函数 概概 念念 （变量函数）（变量函数） 近代函数近代函数 概概 念念 （映射）（映射）减弱代数运算减弱代数运算 去掉解析表达去掉解析表达式的要求式的要求去掉数集去掉数集6 6 但在微积分的表述过程中但在微积分的表述过程中, ,函数概念函数概念又表现为一系列强抽象的过程又表现为一系列强抽象的过程. .函数函数连续函数连续函数可微函数可微函数 添加添加连续性连续性 添加添加可微性可微性7 7例例2.导数概念是高度抽象的结果导数概念是高度抽象的结果一级抽象一级抽象 求直线运动物体的瞬时速度求直线运动物体的瞬时速度8 8例例2.导数概念是高度抽象的结果导数概念是高度抽象的结果二级抽象：求物体直线运动的瞬时速度、曲线的二级抽象：求物体直线运动的瞬时速度、曲线的斜率以及电流的强度等概念进行抽象斜率以及电流的强度等概念进行抽象. .9 9
