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1、3.4 3.4 两个随机变量函数的分布两个随机变量函数的分布第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 内容简介内容简介: : 已经讨论过一个随机变量函已经讨论过一个随机变量函数的分布问题数的分布问题, , 本节讨论两个随机变量函数本节讨论两个随机变量函数的概率分布的概率分布. . 两个随机变量函数的概率分布两个随机变量函数的概率分布有许多的实际应用有许多的实际应用, , 其各个例题的处理方法其各个例题的处理方法具有代表性具有代表性. . 第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布3.4 3.4 两个随机变量函数的分布两个
2、随机变量函数的分布上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回3.4.1 提出问题提出问题 (1) 设设X和和Y是两个相互独立的随机变量是两个相互独立的随机变量, 它们都服从标准正态分布它们都服从标准正态分布 , Z = 2X + Y 概率概率 分布怎样分布怎样 ? ? (2) 设设X和和Y是两个相互独立的随机变量是两个相互独立的随机变量, 它们的极大随机变量、极小随机变量的概率它们的极大随机变量、极小随机变量的概率分布怎样分布怎样 ？ 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回3.4.2 预备知识预备知识 1. 一个随机变量函数的概率分布问题，一个随机变量函数的概率分布问题，二维随
3、机变量的分布函数与概率密度的关系二维随机变量的分布函数与概率密度的关系； 2. 随机随机事件和的概率加法公式，随机变事件和的概率加法公式，随机变量独立的充分必要条件，反常二重积分计算，量独立的充分必要条件，反常二重积分计算，卷积公式卷积公式 . 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回3.4.3 方法应用方法应用 在在2.5节中节中, 已经讨论过一个随机变量函已经讨论过一个随机变量函数的分布问题数的分布问题, 本节讨论两个随机变量函数本节讨论两个随机变量函数的分布的分布, 我们只就下面几个具体的函数关系我们只就下面几个具体的函数关系来讨论来讨论, 其中的处理方法具有普遍的代表性其中的处
4、理方法具有普遍的代表性. 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 例例3.4.1 设离散型随机变量设离散型随机变量(X,Y)的分布律的分布律为为 求随机变量求随机变量Z = X + Y的分布律的分布律.解解 Z = X + Y的可能取值为的可能取值为0, 1, 2和和3. 1. 随机变量和的分布随机变量和的分布: : Z = X + Y (1) 离散型随机变量情形离散型随机变量情形 X Y01201/41/61/811/41/81/12上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回PZ=0=PX=0, Y=0=1/4, 因此因此, Z = X + Y的表格形式的分布律为的表格形式的
5、分布律为 Z=X+Y0123PZ1/45/121/41/12PZ=1=PX=1, Y=0+P X=0, Y=1=1/4+1/6=5/12, PZ=2=PX=2, Y=0+ P X=1, Y=1=1/8+1/8=1/4, PZ=3=PX=2, Y=1=1/12. Z取各值的概率分别为取各值的概率分别为 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回对于非负整数对于非负整数i, , Z=i=X+Y=i可按下列方可按下列方式分解为若干个两两互不相容的事件之和式分解为若干个两两互不相容的事件之和: : 证证 Z = X + Y的可能取值为的可能取值为0, 1, 2, . 例例3.4.2 设设X, Y
6、是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量, 其分布律分别为其分布律分别为 PX=k=p(k), k=0,1,2, PY=r=q(r), r=0,1,2,. 证明随机变量证明随机变量Z=X+Y的分布律为的分布律为 PZ=i=上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回PX=k, Y=i- -k=P X=kP Y=i- -k =p(k)q(i- -k), k=0,1,2, i.又由又由X, Y的独立性的独立性(3.3.1)式知式知 , Z=i=X+Y=i=X=0, Y=iX=1, Y=i- -1X=i, Y=0.因此因此, 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 讲评讲评 例例3.4
7、.1和例和例3.4.2这种解决这种解决问题的方法具有一般性问题的方法具有一般性. 用类似的方用类似的方法同样可以求随机变量差法同样可以求随机变量差X- -Y, 随机变量积随机变量积XY, 极大随机变量极大随机变量maxX,Y和极小随机变和极小随机变量量minX,Y等的分布律等的分布律. 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 (2) 连续型随机变量情形连续型随机变量情形 设设(X, Y)的概率密度为的概率密度为f (x, y),则则Z = X + Y的分布函数为的分布函数为(参见图参见图3-5) 固定固定z和和y, 对上述积分对上述积分作变量变换作变量变换, , 图图3-5 3-5
8、积分区域积分区域G: x+yz上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回令令x= u- -y, 得得于是于是 由概率密度的定义由概率密度的定义, 即得即得Z=X+Y的概率密度的概率密度 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回由由X, Y的对称性的对称性, fZ (z)又可写成又可写成 (3.4.1)和和(3.4.2)式是式是两个随机变量和两个随机变量和Z=X+Y的概率密度的一般计算公式的概率密度的一般计算公式. 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 特别地特别地,当当X和和Y相互相互独立时独立时,设设(X,Y)关于关于X,Y的边缘概率密度分别为的边缘概率密度分别为f
9、X (x),fY (y), 则则(3.4.1)和和(3.4.2)式化为式化为 这两个公式称为这两个公式称为卷积公式卷积公式, 记为记为f X * f Y, 即即 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 例例3.4.3 设设X和和Y是两个相互独立的随机变是两个相互独立的随机变量量, 它们都服从标准正态分布它们都服从标准正态分布N(0,1), 其概率密度为其概率密度为 ,- -x+和和 ,-y+. 求求Z = X + Y的概率密度的概率密度.解解 由由(3.4.4)式知式知 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 定理定理1 设设
10、X, Y相互独立且相互独立且X N( , ), Y N( , ), 则则Z = X + Y仍服从正态分布仍服从正态分布, 且且有有 Z N( + , + ). 对于一般正态分布对于一般正态分布N( , )和和N( , ), 用同样的处理方法也有类似结论用同样的处理方法也有类似结论. 即即Z = X + Y服从服从N (0, 2)分布分布.证明方法同例证明方法同例3.4.3, 此处略此处略.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 这个结论还能推广到这个结论还能推广到n个独立正态个独立正态随机随机变量变量之和之和的情况的情况, 即若即若Xi N(i, i2)(i=1, 2, n), 且它
11、们相互独立且它们相互独立, 则它们的和则它们的和Z = X1+ X2 + Xn仍然服从正态分布仍然服从正态分布, 且且 更一般地更一般地, 可以证明可以证明有限个相互独立的有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布. 即即 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回其中其中ci为常数为常数, i=1, 2, n. 例如，根据上述结论可知，例如，根据上述结论可知，上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 例例3.4.4 (05考研数考研数( (三三) ) 设二维设二维随机变量随机变量(X, Y)的概率密度为的概率密度为 求：求：(1
12、) (X, Y)的边缘概率密度的边缘概率密度fX(x), fY(y);(2) Z=2X- -Y的概率密度的概率密度fZ(z); (3) 解解 (1) 当当0x1时时, 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回所以所以 同理，当同理，当0y2时，时， 所以所以 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 (2) 先求先求Z=2X- -Y的分布函数：的分布函数： 当当z0时，时， 当当0z z=1- -PX z, Y z =1- -PX zPY z. 即即 Fmin(z)=1- -1- -FX(z)1- -FY(z). (3.4.8)上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回
13、以上结果容易推广到以上结果容易推广到n个相互独立的随个相互独立的随机变量的情况机变量的情况. . 设设X1 , X2 , Xn是是n个相互独立的随机个相互独立的随机变量变量. 它们的分布函数分别为它们的分布函数分别为 (i=1, 2, n), 则则M=maxX1 , X2 , Xn及及N= minX1 , X2 , Xn的分布函数为的分布函数为 Fmax(z)= Fmin(z)=1- - 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 特别地特别地, 当当X1,X2 , Xn相互相互独立独立且具有且具有相相同分布同分布函数函数F(x)时时, 有有Fmax(z)=F(z)n, (3.4.11)
14、Fmin(z)=1- -1- -F(z)n. (3.4.12) 例例3.4.5 设设X1,X2,Xn是相互独立的是相互独立的n个个随机变量，若随机变量，若Y=minX1,X2,Xn. 试在以下情试在以下情况下求况下求Y的分布的分布. 求求: 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回(1) XiFi(x),i=1,2,n; (2) Xi同分布，即同分布，即XiF(x), i=1,2,n; (3) Xi为连续型随机变量，且为连续型随机变量，且Xi同分布，同分布，即即Xi的密度函数的密度函数p(x),i=1,2,n; (4) XiE(), i=1,2,n.解解 (1) Y = minX1,X
15、2,Xn的分布函数为的分布函数为 FY(y) =PminX1,X2,Xny = 1- -P maxX1,X2,Xn y = 1- -P X1 y,X2 y,Xn y = 1- -PX1 yPX2 yPXn y上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 (2) (2) 将将Xi的共同分布函数的共同分布函数F(x)代入上代入上式得式得 FY(y)=1- -1- -F(y)n. (3) (3) Y的分布函数见上式，概率密度可对的分布函数见上式，概率密度可对上式关于上式关于y求导，得到求导，得到 (4) (4) 将将E ()的分布函数和概率密度代入的分布函数和概率密度代入问题问题(2),(3),
16、 得得上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 可以看出，可以看出，minX1,X2,Xn仍服从指仍服从指数分布，参数为数分布，参数为 . . 这个结果在例这个结果在例7.2.37.2.3要要用到用到. .上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回3.4.4 内容小结与思考内容小结与思考 本次课主要介绍了本次课主要介绍了 (1) 两个随机变量两个随机变量X, Y的和函数的和函数Z=X+Y的的分布函数及概率密度问题分布函数及概率密度问题. (3) 对于极大和极小随机变量对于极大和极小随机变量M, N, 考虑考虑了它们独立时的分布函数了它们独立时的分布函数. (2) 得到两个独立的服
17、从正态分布的随机得到两个独立的服从正态分布的随机变量变量X, Y的和的和Z=X+Y仍服从正态分布仍服从正态分布, 且且 ZN( + , + ). 353.4.5 作业布置作业布置 习题习题3.4 1、3、6、7、8、11 .参考文献与联系方式参考文献与联系方式1 郑一郑一,王玉敏王玉敏,冯宝成冯宝成. 概率论与数理统计概率论与数理统计. 大大连理连理 工大学出版社，工大学出版社，2015年年8月月.2 郑一郑一,戚云松戚云松,王玉敏王玉敏. 概率论与数理统计学习概率论与数理统计学习指指 导书导书. 大连理工大学出版社，大连理工大学出版社，2015年年8月月.3 郑一郑一,戚云松戚云松,陈倩华陈倩华,陈健陈健. 概率论与数理统计概率论与数理统计教教 案案 作业与试卷作业与试卷. 大连理工大学出版社，大连理工大学出版社，2015年年8 月月.4 王玉敏王玉敏,郑一郑一,林强林强. 概率论与数理统计教学实概率论与数理统计教学实验验 教材教材. 中国科学技术出版社，中国科学技术出版社， 2007年年7月月. 联系方式联系方式：
