《习题课42线性相关课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《习题课42线性相关课件（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章 几何向量习题课1内容总结内容总结知识网络图知识网络图2几何向量几何向量 直线方程直线方程平面方程平面方程向量表示向量表示向量运算向量运算两两 点点 式、标式、标 准准 式式参参 数数 式、一般式式、一般式加加 法、数乘（伸缩）法、数乘（伸缩）数量积：两向量垂直数量积为数量积：两向量垂直数量积为0向量积：两向量平行向量积：两向量平行 向量积为向量积为0混合积：三向量共面混合积：三向量共面 混合积为混合积为0点点 法法 式、三式、三 点点 式、截式、截 距距 式、一般式、平面束式、一般式、平面束位置关系位置关系平面与平面平面与平面直线与平面直线与平面直线与直线直线与直线相交相交垂直垂直平行
2、平行(距离？距离？)共面共面平行平行(距离？距离？)共共线线相交相交垂直垂直异面异面公垂线公垂线(距离？距离？)几何表示几何表示坐标表示坐标表示空间直角坐标系空间直角坐标系夹角夹角夹角夹角距离距离点点-点、点点、点-线、点线、点-面面3典典 型型 题题与与反向反向, ,且且与与同向同向, ,且且与与同向同向判断下列等式何时成立判断下列等式何时成立例例1 1解解4例例2 2证明证明共线共线. .与与证证所以所以共线共线. .与与5例例3 3 求直线求直线上的投影直线上的投影直线 的方程的方程. ., ,在平面在平面解解过过L L的平面束为的平面束为6l 如如何求两条异面直线何求两条异面直线L1,
3、 L2公垂线方程公垂线方程?(3) 过过 与与L1的交的交点点Q0, 以以s1 s2为为方向向量方向向量. .L2L1s1 s2P0Q0(1)公垂线是下面两个平面的交线公垂线是下面两个平面的交线 (2) 过过 与与L2的交的交点点P0, 以以s1 s2为为方向向量方向向量. .异面直线公垂线方程异面直线公垂线方程7求下面两条异面直线的公垂线方程求下面两条异面直线的公垂线方程解解例例4 48同理得同理得9例例5 5 直线直线L过点过点相交相交, ,求求L的方程的方程.(.(M不在异面直线上）不在异面直线上）且与异面直线且与异面直线解解1求过求过L1与与 确定的平面确定的平面10求过求过 L2与与
4、 确定的平面确定的平面注注 此题已经认为所求的相交直线存在此题已经认为所求的相交直线存在. .11解解2 L过点过点设设L与与L1, ,L2都相交都相交, ,则有则有12故故13解解3L 过点过点设设L与与L1, ,L2的交点分别为的交点分别为参数方程为参数方程为14取取故故15线性代数与空间解析几何 第十三讲第十三讲哈工大数学系代数与几何教研室哈工大数学系代数与几何教研室 王王 宝宝 玲玲16第四章 n维向量16 n维向量可以看作是平面上维向量可以看作是平面上2维向量维向量, ,空间中空间中3 维向量的推广维向量的推广. . 引引 言言 本章是学好线性代数的关键本章是学好线性代数的关键, ,
5、也是也是学习线性代数的难点学习线性代数的难点. .尤其是尤其是线性相关线性相关和和线性无关线性无关的概念的概念, ,难以理解掌握难以理解掌握, ,容易容易犯概念性错误犯概念性错误. .一定要结合例题一定要结合例题, ,多动脑多动脑勤思考勤思考. .1717n n n维向量的概念及线性运算维向量的概念及线性运算n n 向量组的向量组的线性关系线性关系* *n n 向量组的向量组的极大无关组极大无关组与与秩秩n n 向量空间向量空间n n 欧式空间欧式空间本章的主要内容本章的主要内容18184.1.1 n维维向量的定义向量的定义4.1 n维向量的概念及其线性运算维向量的概念及其线性运算 定义定义
6、数数域域F F 内的内的n个数个数a1,a2 ,an组成组成的的 有序数组称为数域有序数组称为数域F F 上的上的 n维向量维向量, 记作记作或或其中其中ai称为向量的第称为向量的第i个个分量分量. 行向量行向量列向量列向量复向量、实向量、复向量、实向量、Rn实向量全体实向量全体, ,除非特别声除非特别声明明, ,我们只在实数我们只在实数域上讨论实向量域上讨论实向量.1919矩阵矩阵有有3个行向量个行向量: 有有4个列向量个列向量: 例例1 1 如果向量的所有分量都是如果向量的所有分量都是0, 就称其为就称其为 零向量零向量, 记作记作2020 向量可以看作是向量可以看作是特殊的矩阵特殊的矩阵
7、. .从下面从下面 关于向量的相等以及向量的线性运算关于向量的相等以及向量的线性运算 ( (加法和数乘运算加法和数乘运算) )可以看出向量的线可以看出向量的线 性运算与矩阵相应运算的一致性性运算与矩阵相应运算的一致性.21定义定义设有两个设有两个n 维向量维向量: :和一个实数和一个实数 k R, 则定义则定义:4.1.2 n维维向量的线性运算向量的线性运算2222(交换律交换律)(结合律结合律)(分配律分配律)(分配律分配律) 对任何对任何n维向量维向量 , , 及任意实数及任意实数k, l, 向量的向量的加法加法及及数乘向量数乘向量这两个运算这两个运算满足下列的八条性质满足下列的八条性质:
8、 :23234.24.2 线性相关与线性无关线性相关与线性无关244.2.14.2.1 线性相关与线性无关的定义线性相关与线性无关的定义定义定义则称则称 是是 1 1, , 2 2, m的一个的一个线性组线性组合合, 也称也称 可由可由 1, 2, m线性表线性表示示. k1,k2,km称为称为表示系数表示系数或或组合系组合系数数.对于对于n维维向量向量 , 1, 2, m ,若存若存在在一组数一组数 k1,k2,km, 使得使得 =k1 1+k2 2+km m1.线性组合线性组合, ,线性表示线性表示24 设设试将向量试将向量 用向量用向量 与与 线性表示线性表示.解解由观察可知由观察可知即
9、即例例2 225又设又设25按向量相等即有按向量相等即有即即零向量可被任意一组向量线性表示零向量可被任意一组向量线性表示例例3 3如如 0=(0,0,0 )=0=(0,0,0 )=(1,0,0)-(1,1,0)+(0,1,0)2626n维向量组维向量组 为为n维维基本单位向量组基本单位向量组. .显然显然 即可由向量组即可由向量组线性表示线性表示, ,且表示系数为且表示系数为 的的n个分量个分量. .称向量组称向量组例例4 4解解 因因2727定义定义 设有设有n维向量组维向量组 ,存在存在不全为零不全为零的数的数k1,k2,.,km使得使得则称向量组则称向量组 线性相关线性相关, 否则称这个
10、向量组否则称这个向量组线性无关线性无关.2. 线性相关线性相关, ,线性无关线性无关若若2828l线性无关线性无关仅当仅当 k1= k2=km=0 时时, 才有才有 l线性无关线性无关若若则则k1 1, k2 2 , km必然全为零必然全为零. .l线性无关线性无关 一组不全为一组不全为0的数的数k1, k2,km, 29注注: :使使29是是R3中三个向量中三个向量, 由于由于 2 = 2 1 , 因而因而有有系数系数 2,-1,0 不全为零不全为零, ,由上述定义可知由上述定义可知 1, 2, 3 线性相关线性相关.例例5 53030例例6 6说明基本单位向量组是线性无关的说明基本单位向量
11、组是线性无关的. .解解设有一组数设有一组数 k1, k2,kn, 使使故故线性无关线性无关. .31预 习 4.332不妨设不妨设 ki 0, 于是于是 n维向量维向量 1, 2, , m(m 2) 线性线性 相关的相关的 是其中有一个向量可由是其中有一个向量可由 其余的向量线性表示其余的向量线性表示.证证 1, 2, , m 线性相关线性相关, ,由由定义知定义知 不全为零的常数不全为零的常数k1, k2, , km使使定理定理4.14.14.2.2 线性相关性的一种刻画线性相关性的一种刻画3333即即 i 可可由由 1, , i-1 , i+1, , m线性线性表示表示. . 如果如果那么那么所以向量组所以向量组 1, 2, , m 线性相关线性相关.34341. 线性线性相关相关2. 线性线性相关相关共线共线3. 线性线性相关相关共面共面, ,中中线性相关的线性相关的 几何解释几何解释线性线性无关无关( ( 对应分量成比例对应分量成比例) )不妨设不妨设35
