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1、数学家华罗庚曾建议用数学家华罗庚曾建议用“勾股定理勾股定理”图作为与图作为与“外星人外星人”联系的信号。联系的信号。探索勾股定理探索勾股定理做一做做一做 在纸上任意作出一个直角三角形，测量它在纸上任意作出一个直角三角形，测量它的三条边的的三条边的平方平方之间有什么样的关系？之间有什么样的关系？abc 分别以直角分别以直角ABCABC的三边的三边BC,AC,ABBC,AC,AB为边，向为边，向外作三个正方形，若三边长分别为外作三个正方形，若三边长分别为a,b,ca,b,c。abcBCA三个正方形的三个正方形的面积具有怎样面积具有怎样的数量关系呢的数量关系呢？猜一猜猜一猜（1 1）观察左图：正方形
2、）观察左图：正方形A A的面积是的面积是_个单位面积。个单位面积。 正方形正方形B B的的面积是面积是_ 个单位面积。个单位面积。 正方形正方形C C的面积是的面积是_ 个单位面积。个单位面积。169（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）C CBCA数一数数一数割补你是如何数出你是如何数出C C的面积的？的面积的？（1 1）观察左图：正方形）观察左图：正方形A A的面积是的面积是_个单位面积。个单位面积。 正方形正方形B B的的面积是面积是_ 个单位面积。个单位面积。 正方形正方形C C的面积是的面积是_ 个单位面积。个单位面积。169（图中每个小方格代表一个单位
3、面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）数一数数一数割补图中的三个正方形图中的三个正方形的面积有什么关系的面积有什么关系？下页下页C CBAcC CBCA734返回“补补”的方法的方法SC C = S大正方形大正方形 - 4S小直角三角小直角三角形形 C CBCA“割割”的方法的方法34返回SC C = 4S小直角三角形小直角三角形 + S小正方形小正方形A AB BC Ca ac cb bS SA A+S+SB B=S=SC C直角三角形三边直角三角形三边之间的数量关系之间的数量关系a a2 2+b+b2 2=c=c2 2图中的三个正方形的面积有什么关系？图中的三个正方形的面积有什么关系？
4、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。abc如果如果直角三角形直角三角形两直角边长分别为两直角边长分别为a a、b,b,斜边斜边长长为为c c，那么那么勾股（弦）定理勾股（弦）定理1.1.成立条件成立条件： 在直角三角形中在直角三角形中3.3.作用作用：已知直角三角形任意两边长，：已知直角三角形任意两边长， 求第三边长。求第三边长。2.2.公式变形公式变形: :abc如果如果直角三角形直角三角形两直角边长分别为两直角边长分别为a a、b,b,斜边长为斜边长为c c，那么那么勾勾 股股 定定 理理（注意（注意：哪条边是斜边哪条边是斜边）1.1.求下列
5、直角三角形中未知边的长求下列直角三角形中未知边的长: :8 8171712125 5xx用勾股定理用勾股定理建立方程建立方程. .判断哪条边判断哪条边是斜边！是斜边！ 2. 受台风莎麦影响，一棵树在离地面受台风莎麦影响，一棵树在离地面4 4米处断裂，米处断裂，树的顶部落在离树根底部树的顶部落在离树根底部3 3米处，问这棵树折断前有米处，问这棵树折断前有多高？（注：树干与地面垂直）多高？（注：树干与地面垂直）4米米3米米ABC解：解：常用勾股数：常用勾股数：勾勾3 3，股，股4 4，弦，弦5 5（勾股定理）3、已知：、已知：RtABC中，中，AB12，AC5,则则 BC 等于等于_.169 或或
6、119注意：哪条边是斜边!分类讨论分类讨论思想思想12125 5ACBBCBC为斜边为斜边12125 5CABBABA为斜边为斜边4.4.高速公路上有高速公路上有A A、B B两站相距两站相距25km25km，C C、D D为两个小为两个小鎮，鎮，DA=15km,CB=10kmDA=15km,CB=10km，现在要在公路边上建设一现在要在公路边上建设一个收购站个收购站E E，使得它到两镇的距离相等，则使得它到两镇的距离相等，则E E站应建站应建在距在距A A站多远处站多远处? ?DAEBC1510x25-x方程思想方程思想你能用四个直角边长是你能用四个直角边长是a a、b(bb(ba)a)，斜
7、边长，斜边长c c的的全等三角形，拼成一个边长为全等三角形，拼成一个边长为c c的正方形吗？的正方形吗？abcabcabcabc想一想想一想（1 1）你能用几种方式表示正方形）你能用几种方式表示正方形ABCDABCD的面积？的面积？（2 2）由此你能得到怎样的等式？你能利用该等）由此你能得到怎样的等式？你能利用该等式证明勾股定理吗？式证明勾股定理吗？ABCDEFGHcaba 赵爽（即赵君卿）是三国时期吴赵爽（即赵君卿）是三国时期吴国的数学家，国的数学家，他在他在注释注释周髀算经周髀算经时，用四个全等的直角三角形拼图，时，用四个全等的直角三角形拼图，对勾股定理进行了详细证明。他是我对勾股定理进行
8、了详细证明。他是我国最早对勾股定理进行证明的数学家，国最早对勾股定理进行证明的数学家，也也是我们中华民族的骄傲。是我们中华民族的骄傲。ABCDEFGHcabcccaaabbb这就是赵爽的这就是赵爽的弦图弦图，又叫勾股圆方图！又叫勾股圆方图！ 为了纪念他的这一重大贡献，为了纪念他的这一重大贡献，20022002年在北京召开的年在北京召开的第第2424届国际数学家大会，将弦图作为了该届大会会徽。届国际数学家大会，将弦图作为了该届大会会徽。 通过构造几何图形通过构造几何图形, ,并利用不同方法去表示同并利用不同方法去表示同一个一个几何图形的面积，来证明代数式之间的恒等关几何图形的面积，来证明代数式之
9、间的恒等关系，这种方法既具严密性，又具直观性，是数形结系，这种方法既具严密性，又具直观性，是数形结合的一个典范。合的一个典范。面积面积构造法构造法ABCDEFGHcabcccaaabbb数形结合思想数形结合思想如果用四个直角边长是如果用四个直角边长是a a、b b，斜边长，斜边长c c的的全等三角形，拼成一个边长为（全等三角形，拼成一个边长为（a+ba+b）的正）的正方形，方形，你能根据所拼出的图形，利用面积法你能根据所拼出的图形，利用面积法证明勾股定理吗？证明勾股定理吗？动动手动动手动动手动动手abcabcabcabc如果用四个直角边长是如果用四个直角边长是a a、b b，斜边长，斜边长c
10、c的的全等三角形，拼成一个边长为（全等三角形，拼成一个边长为（a+ba+b）的正）的正方形，方形，你能根据所拼出的图形，利用面积法你能根据所拼出的图形，利用面积法证明勾股定理吗？证明勾股定理吗？动动手动动手动动手动动手证明：证明：周元治证法周元治证法 abbcABCD 总统证法总统证法 用两个直角边长分别为用两个直角边长分别为a,ba,b, ,斜边斜边长为长为c c的直角三角形和一个以的直角三角形和一个以c c为直角为直角边的等腰直角三角形拼成一个梯形。边的等腰直角三角形拼成一个梯形。acbbacADCBEacbbacACBEacbbacABE总统证法拼图正好是周元治总统证法拼图正好是周元治证
11、法拼图证法拼图 的一半！图图1图图2acbbacCDacbbacABE 总统证法总统证法周元治证法周元治证法 如果我们要找一个定理，它的出现称得上是数学发展如果我们要找一个定理，它的出现称得上是数学发展史上的里程碑，那么勾股定理一定是最佳选择史上的里程碑，那么勾股定理一定是最佳选择, ,很多具有很多具有古老文化的民族和国家都会说：我们首先认识的数学定理古老文化的民族和国家都会说：我们首先认识的数学定理是勾股定理，它的发现和证明在世界数学史上有着独特的是勾股定理，它的发现和证明在世界数学史上有着独特的贡献和地位。贡献和地位。 勾股定理勾股定理 人类伟大的发现人类伟大的发现勾勾 股股 弦弦 定定
12、理理商商 高高 定定 理理 中国是最早发现研究勾股定理的国家之一，中国是最早发现研究勾股定理的国家之一，我国古代著名的数学著作我国古代著名的数学著作周髀算经周髀算经中曾记中曾记载，早在三千多年前，周朝数学家商高就提出载，早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了：勾三，股四，弦五。了：勾三，股四，弦五。毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理百牛定理百牛定理图1图2毕达哥拉斯证法毕达哥拉斯证法（邹元治证明）（邹元治证明） （赵爽证明）（赵爽证明） （总统证明）（总统证明） 精彩纷呈的证明方法精彩纷呈的证明方法 迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500500余种，各种证法融
13、几何知识与代数知识于一余种，各种证法融几何知识与代数知识于一体，完美地体现了数形结合的魅力，勾股定理体，完美地体现了数形结合的魅力，勾股定理是数学中数与形的第一定理。是数学中数与形的第一定理。精彩纷呈的证明方法精彩纷呈的证明方法（欧几里得证明）（欧几里得证明） （刘徽的青朱出入图）（刘徽的青朱出入图） 精彩纷呈的证明方法精彩纷呈的证明方法精彩纷呈的证明方法精彩纷呈的证明方法（达芬奇证法）（达芬奇证法） 精彩纷呈的证明方法精彩纷呈的证明方法印度、阿拉伯世界和印度、阿拉伯世界和欧洲出现的一种拼图证明欧洲出现的一种拼图证明（李锐证明）（李锐证明） 精彩纷呈的证明方法精彩纷呈的证明方法（陈杰证明）（陈
14、杰证明） 精彩纷呈的证明方法精彩纷呈的证明方法（项明达证明）（项明达证明） 精彩纷呈的证明方法精彩纷呈的证明方法（向明达证法）（杨作玫证明）（杨作玫证明） 精彩纷呈的证明方法精彩纷呈的证明方法（辛卜松证明）（辛卜松证明） 精彩纷呈的证明方法精彩纷呈的证明方法（梅文鼎证明）（梅文鼎证明） 精彩纷呈的证明方法精彩纷呈的证明方法 毕达哥拉斯命题是1940年出版的一本勾股定理的证明专辑，其中收集了370种不同的证明方法。 毕达哥拉斯命题你收获了。你收获了。 如果别人思考数学的真理像我一样深入持久， 他也会找到我的发现。 高斯 如图如图, ,折叠长方形的一边，使点折叠长方形的一边，使点D D落在落在BCBC边上的点边上的点F F处，若处，若AB=8AB=8，AD=10.AD=10.求：求：ECEC的长的长. .1 10 04 46 68 81 10 0x xEFDCBA8 8- -x x8 8- -x x 如图所示是用边长分别为如图所示是用边长分别为2 2和和3 3的两个正方的两个正方形拼成的图形，你能通过拼剪，拼成一个大正形拼成的图形，你能通过拼剪，拼成一个大正方形，并利用拼成的图形验证勾股定理吗？方形，并利用拼成的图形验证勾股定理吗？ （要求：只能剪两刀）（要求：只能剪两刀）
