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1、4-4 4-4 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件纯弯曲纯弯曲横力弯曲横力弯曲FS xF F xMFa F alaF . . 纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力几何方面几何方面表面变形情况表面变形情况(1)纵线弯成弧线纵线弯成弧线，靠近顶面的纵靠近顶面的纵线缩短，而靠线缩短，而靠近底面的纵线近底面的纵线则伸长；则伸长；(2)横线仍为直线横线仍为直线，并与变形后的并与变形后的纵线保持正交，纵线保持正交，只是横线间相只是横线间相对转动。对转动。平面假设平面假设 梁在纯弯曲时，横截面仍保持为平面，且与梁梁在纯弯曲时，横截面仍保持为平面，且与梁变
2、形后的轴线仍保持正交，只是绕垂直于纵对变形后的轴线仍保持正交，只是绕垂直于纵对称轴的某一轴转动。称轴的某一轴转动。即即中性轴中性轴mabmanbnMe Me mmnnaabb 根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层，称区，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层，称为为中性层中性层 。中性层中性层中性轴中性轴中性层与横截面的交线就是中性层与横截面的交线就是中性轴中性轴。中性层中性层中性轴中性轴Me Me r 中性层的曲率半径中性层的曲率半径C
3、ABryO1O2B1dqdxMe Me mmnnaabb物理方面物理方面单轴应力状态下的胡克定律单轴应力状态下的胡克定律 不计挤压，即认为梁内各点均处于单轴应力状不计挤压，即认为梁内各点均处于单轴应力状态。当态。当s 5 ），），纯弯曲时的正应力计算纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。Fl4lF例例 图示简支梁由图示简支梁由56a号工字钢制成，已知号工字钢制成，已知F=150kN。试求危险截面上的最大正应力试求危险截面上的最大正应力smax 和同一横截面上和同一横截面上翼缘与腹板交界处翼缘与腹板交界处a点处的正应力点处的正应力 a
4、 。B5 m10 mAF CFA FB 12.521166560za375 kN.m M解：解：1、作弯矩图如上，、作弯矩图如上，2、查型钢表得、查型钢表得56号工字钢号工字钢3、所求正应力为、所求正应力为 12.521166560za或或根据正应力沿梁高的线性分布关系的根据正应力沿梁高的线性分布关系的 12.521166560za 梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件由于由于smax处处t =0或极小，并且不计由横向力引起的或极小，并且不计由横向力引起的挤压应力，因此梁的正应力强度条件可按单向应挤压应力，因此梁的正应力强度条件可按单向应力状态来建立：力状态来建立：材料的许用弯曲正应力材料的许
5、用弯曲正应力中性轴为横截面对称轴的等直梁中性轴为横截面对称轴的等直梁拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁Ozyyt，maxyc，max为充分发挥材料的强度，最合理的设计为为充分发挥材料的强度，最合理的设计为例例 图示为由工字钢制成的楼板主梁的计算简图。图示为由工字钢制成的楼板主梁的计算简图。钢的许用弯曲正应力钢的许用弯曲正应力s =152 MPa 。试选择工字试选择工字钢的号码。钢的号码。ABFFF=75kN2.5m2.5m2.5m2.5m10 mFB FA 解：解：1、支反力为、支反力为作弯矩图如上。作弯矩图如上。281375单位：单位：kNm2、
6、根据强度条件确定截面尺寸、根据强度条件确定截面尺寸与要求的与要求的Wz相差不到相差不到1%，可以选用。，可以选用。查型钢表得查型钢表得56b号工字钢的号工字钢的Wz比较接近要求值比较接近要求值例例 跨长跨长 l= 2m 的铸铁梁受力如图，已知铸铁的许的铸铁梁受力如图，已知铸铁的许用拉应力用拉应力 st =30 MPa，许用压应力许用压应力 sc =90 MPa。试根据截面最为合理的要求，确定试根据截面最为合理的要求，确定T字形梁字形梁横截面的尺寸横截面的尺寸d ，并校核梁的强度并校核梁的强度 。解：解：根据截面最为合理的要求根据截面最为合理的要求1m2mBAF=80 kNCy1y2z60220
7、yO280d即即得得截面对中性轴的惯性矩为截面对中性轴的惯性矩为y1y2z60220yO280d梁上的最大弯矩梁上的最大弯矩于是最大压应力为于是最大压应力为即梁满足强度要求。即梁满足强度要求。y1y2z60220yO280dOsc,maxst,maxz例例 图示槽形截面铸铁梁，已知：图示槽形截面铸铁梁，已知：b = 2m，截面对截面对中性轴的惯性矩中性轴的惯性矩 Iz=5493104mm4， 铸铁的许用拉铸铁的许用拉应力应力 st =30 MPa，许用压应力许用压应力 sc =90 MPa。试求梁的许可荷载试求梁的许可荷载F 。 解：解：1、梁的支反力为、梁的支反力为zyC形心形心861342
8、04018012020BF Cbq=F/bDbbAFB FA 据此作出梁的弯矩图如下据此作出梁的弯矩图如下发生在截面发生在截面C发生在截面发生在截面BzyC形心形心86134204018012020Fb/2Fb/4BF Cbq=F/bDbbA2、计算最大拉、压正应力、计算最大拉、压正应力注意到注意到因此压应力强度条件由因此压应力强度条件由B截面控制，拉应力强度条截面控制，拉应力强度条件则件则B、C截面都要考虑。截面都要考虑。zyC形心形心86134204018012020Fb/2Fb/4而而考虑截面考虑截面B ：zyC形心形心86134204018012020Fb/2Fb/4考虑截面考虑截面C
9、：因此梁的强度由截面因此梁的强度由截面B上的最大拉应力控制上的最大拉应力控制zyC形心形心86134204018012020Fb/2Fb/44-5 4-5 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件、梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力推导思路：近似方法推导思路：近似方法不同于前面章节各种应力计算公式的分析过程不同于前面章节各种应力计算公式的分析过程分离体的平衡分离体的平衡横截面上切应力横截面上切应力分布规律的假设分布规律的假设横截面上弯曲切横截面上弯曲切应力的计算公式应力的计算公式一、矩形截面梁矩形截面梁mmnnq(x)F1 F2 xdxbhzyhmmnnnmm
10、dxbzyOxFS(x)M(x)M(x)+d M(x)FS(x)+d FS(x)m nnmm nyzyBAA1sdAy1 横截面上纵向力不平横截面上纵向力不平衡意味着纵截面上有水平衡意味着纵截面上有水平剪力，即有水平切应力分剪力，即有水平切应力分布。布。面积面积AA1mm 对中性轴对中性轴 z的静矩的静矩而横截面上纵向力的大小为而横截面上纵向力的大小为mnmyy1ABA1B1bdxdAsyzOx纵截面上水平剪力值为纵截面上水平剪力值为要确定与之对应的水平切应力要确定与之对应的水平切应力t 还需要补充条件。还需要补充条件。mnmyy1ABA1B1bdxdAsyzOx矩形截面梁对称弯曲时横截面上切
11、应力的分布规律矩形截面梁对称弯曲时横截面上切应力的分布规律 (1) 由于梁的侧面为由于梁的侧面为 =0的的自由表面，根据切应力互自由表面，根据切应力互等定理，横截面两侧边处等定理，横截面两侧边处的切应力必与侧边平行；的切应力必与侧边平行；(2) 对称轴对称轴y处的切应力必处的切应力必沿沿y轴方向，即平行于侧边；轴方向，即平行于侧边；(3)横截面两侧边处的切应横截面两侧边处的切应力值大小相等，对于狭长力值大小相等，对于狭长矩形截面则沿截面宽度其矩形截面则沿截面宽度其值变化不会大值变化不会大。mmnnnmmdxbyttA1ABB1hzyOx窄高矩形截面梁横截面上弯曲切应力分布的假设：窄高矩形截面梁
12、横截面上弯曲切应力分布的假设：(1) 横截面上各点处的切应力均与侧边平行；横截面上各点处的切应力均与侧边平行；(2) 横截面上距中性轴等远各点处的切应力大小相等。横截面上距中性轴等远各点处的切应力大小相等。根据切应力互等定理根据切应力互等定理推得：推得：(1) t 沿截面宽度方向均匀分沿截面宽度方向均匀分布；布；(2) 在在dx微段长度内可以认为微段长度内可以认为t 没有变化。没有变化。mmnnnmmdxbyttA1ABB1hzyOx根据前面的分析根据前面的分析mnmyy1ABA1B1bdxdAsyzOx即即又又由两式得由两式得其中：其中：FS 横截面上的剪力；横截面上的剪力；Iz 整个横截面
13、对于中性轴的惯性矩；整个横截面对于中性轴的惯性矩；b 与剪力垂直的截面尺寸，此时是矩形的宽度；与剪力垂直的截面尺寸，此时是矩形的宽度；矩形截面梁弯曲切应力计算公式矩形截面梁弯曲切应力计算公式zyyy1 横截面上求切应力的点处横线以外部分面积对横截面上求切应力的点处横线以外部分面积对中性轴的静矩中性轴的静矩矩形横截面上弯曲切应力的变化规律矩形横截面上弯曲切应力的变化规律zyyy1(1) 沿截面高度按二次抛物沿截面高度按二次抛物线规律变化；线规律变化；(2) 同一横截面上的最大切同一横截面上的最大切应力应力 max在中性轴处在中性轴处( y=0 )；(3)上下边缘处（上下边缘处（y=h/2)，切应
14、力为零。切应力为零。tmaxzyOtmax二.工字形截面梁工字形截面梁1 1、腹板上的切应力、腹板上的切应力xydhzOdbtydAxzyOsA*dxtt腹板与翼缘交界处腹板与翼缘交界处中性轴处中性轴处zyOtmaxtmintmax2、翼缘上的切应力、翼缘上的切应力 a、因为翼缘的上、下表面无切因为翼缘的上、下表面无切应力，所以翼缘上、下边缘处平行应力，所以翼缘上、下边缘处平行于于y 轴的切应力为零；轴的切应力为零； b、计算表明，工字形截面梁的计算表明，工字形截面梁的腹板承担的剪力腹板承担的剪力(1) 平行于平行于y 轴的切应力轴的切应力可见翼缘上平行于可见翼缘上平行于y 轴的切应力很小，工
15、程上一轴的切应力很小，工程上一般不考虑。般不考虑。xydhzOdbty(2) 垂直于垂直于y 轴的切应力轴的切应力dht1t1xydhzOdbth即翼缘上垂直于即翼缘上垂直于y轴的切应轴的切应力随力随 按线性规律变化。按线性规律变化。 且通过类似的推导可以得知，薄壁工字刚梁上、且通过类似的推导可以得知，薄壁工字刚梁上、下翼缘与腹板横截面上的切应力指向构成了下翼缘与腹板横截面上的切应力指向构成了“切应切应力流力流”。zyOtmaxtmaxtmint1max、梁的切应力强度条件、梁的切应力强度条件一般一般 max发生在发生在FS , ,max所在截面的中性轴处，该位置所在截面的中性轴处，该位置 =
16、0。不计挤压，则不计挤压，则 max所在点处于所在点处于纯剪切应力纯剪切应力状态状态。梁的切应力强度条件为梁的切应力强度条件为材料在横力弯曲时的许用切应力材料在横力弯曲时的许用切应力对等直梁，有对等直梁，有EtmaxFtmaxEmml/2qGHCDFlql2/8ql/2ql/2梁上梁上 max所在点处于所在点处于单轴应力状态单轴应力状态，其正，其正应力强度条件为应力强度条件为 梁上任意点梁上任意点G 和和H 平面应力状态平面应力状态，若这种应力状态的点需校核强度时不若这种应力状态的点需校核强度时不能分别按正应力和切应力进行，而必能分别按正应力和切应力进行，而必须考虑两者的共同作用（须考虑两者的
17、共同作用（强度理论强度理论）。）。Csmax DsmaxEmml/2qGHCDFlql2/8ql/2GtsHts横力弯曲梁的强度条件：横力弯曲梁的强度条件：强度强度足够足够确定截面尺寸确定截面尺寸验验证证设计截面时设计截面时Emml/2qGHCDFlql2/8ql/2例例 图示为一槽形截面简支梁及其横截面的尺寸和图示为一槽形截面简支梁及其横截面的尺寸和形心形心C的位置。已知横截面对中性轴的惯性矩的位置。已知横截面对中性轴的惯性矩Iz=1152104mm4。试。试绘出绘出D截面上的切应力分布截面上的切应力分布图。图。解解 求出支反力求出支反力D截面的剪力截面的剪力0.6m0.4mADF=110
18、kNBDFBFA2201010yzC1034714010中性轴以下两块腹板对中性轴的面积矩中性轴以下两块腹板对中性轴的面积矩a点以下一块腹板对中性轴的面积矩点以下一块腹板对中性轴的面积矩a点处的切应力为点处的切应力为y220a1010zC1034714010d点处的水平剪应力为点处的水平剪应力为d点以右点以右部分腹板对中性轴的面积矩部分腹板对中性轴的面积矩y220d1010zC1034714010yCzFSDtdtmaxta 例例 跨度为跨度为6m的简支钢梁，是由的简支钢梁，是由32a号工字钢在其中间号工字钢在其中间区段焊上两块区段焊上两块 100 10 3000mm的钢板制成。材料均的钢板制
19、成。材料均为为Q235钢，其钢，其 =170MPa， =100MPa。试校核该试校核该梁的强度。梁的强度。解解 计算反力得计算反力得F1F2 50kN 40kN 60kNCABFB1.5 m1.5 mFA1.5 m 1.5 mzy9.51001032010FS(kN)xM(kNmm)x80203070120150105F1F2 50kN 40kN 60kNCABFB1.5 m1.5 mFA1.5 m 1.5 mzy9.51001032010最大弯矩为最大弯矩为F1F2 50kN 40 kN 60kNCABFB1.5 m1.5 mFA1.5 m 1.5 mzy9.51001032010EC截面弯
20、矩为截面弯矩为FS(kN)xM(kNmm)x80203070120150105但未超过但未超过s的的5%，还是，还是允许的。允许的。F1F2 50kN 40 kN 60kNCABFB1.5 m1.5 mFA1.5 m 1.5 mzy9.51001032010例例 跨度跨度 l=4m 的箱形截面简支梁，沿全长受均布荷的箱形截面简支梁，沿全长受均布荷载载q作用，该梁是用四块木板胶合而成如图所示。已作用，该梁是用四块木板胶合而成如图所示。已知材料为红松，其弯曲容许正应力，顺纹容许剪应力；知材料为红松，其弯曲容许正应力，顺纹容许剪应力；胶合缝的容许剪应力。试求该梁的容许荷载集度胶合缝的容许剪应力。试求
21、该梁的容许荷载集度q之之值。值。yz20100100101802404545解：解：yz201001001018024045454-6 4-6 梁的合理设计梁的合理设计一、合理配置梁的荷载和支座一、合理配置梁的荷载和支座控制强度条件：控制强度条件：MWz辅梁辅梁lFl4 FFl4l4l2Fl8l/2qlql2/8BAqlaal/2ECDqa22ql2qla - 82二、合理选取截面形状二、合理选取截面形状1、 尽可能使横截面面积分布在距中性轴较远处，尽可能使横截面面积分布在距中性轴较远处，以使弯曲截面系数与面积比值以使弯曲截面系数与面积比值W/A增大。增大。yzzybhz2、 对于由拉伸和压缩
22、强度相等的材料对于由拉伸和压缩强度相等的材料 制成的制成的梁，其横截面应以中性轴为对称轴。梁，其横截面应以中性轴为对称轴。yzzybhz3、对于拉、压强度不等的材料制成的梁，应采用、对于拉、压强度不等的材料制成的梁，应采用对中性轴不对称的截面，以尽量使梁的最大工作对中性轴不对称的截面，以尽量使梁的最大工作拉、压应力分别达到拉、压应力分别达到(或接近或接近)材料的许用拉应力材料的许用拉应力 t 和许用压应力和许用压应力 c 。Ozyy1y2三、合理设计梁的外形三、合理设计梁的外形考虑各截面弯矩变化可将考虑各截面弯矩变化可将梁梁局部加强或设计为变截局部加强或设计为变截面梁。面梁。F1F2 50kN 40 kN 60kNCABFB1.5 m1.5 mFA1.5 m 1.5 mzy9.51001032010 若梁的各横截面上的最大正应力都达到材料的若梁的各横截面上的最大正应力都达到材料的许用应力，则称为许用应力，则称为等强度梁等强度梁（鱼腹梁鱼腹梁）。）。(a) l2Fh(x)b(b)Fl2
