131函数的单调性与最大（小）值

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1、-（第1课时）函数的单调性一、引入课题一、引入课题 观察下列各个函数的图象，你能说说它们分别反映了观察下列各个函数的图象，你能说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律吗？相应函数的哪些变化规律吗？yx11-1yx1-11-1x1-11y-1-1问题1画出f(x)=x的图像，并观察其图像。2、在区间 _上，随着x的增大，f(x)的值随着 _. o5-5-55f(x)=x1、从左至右图象上升还是下降 _?上升增大1、在区间 _ 上，f(x)的值随着x的增大而 _.问题2画出 的图像，并观察图像.o5-5-552、 在区间 _ 上，f(x)的值随着x的增大而 _. (-,0(0,+)减小增大OxyO

2、xyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxy在某一区间内在某一区间内当当x x的增大时，的增大时，函数值函数值y y反而反而减小减小图象在该区图象在该区间内呈下降间内呈下降趋势趋势；在某一区间内在某一区间内当当x x的增大时，的增大时，函数值函数值y y也增大也增大图象在该区图象在该区间内呈上升间内呈上升趋势；趋势；函数函数的这的这种性种性质称质称为函为函数的数的单调单调性性。一、函数单调性的概念：一、函数单调性的概念： 一一般般地地，设设函函数数y=f(x)的的定定义义域域为为I，如如果果对对于于定定义义域域I内内的的某某个个区区间间D内内的的任任意意两两个个 自自 变变 量量 x1， x

3、2， 当当 x1x2时时 ， 都都 有有f(x1)f(x2)，那那么么就就说说f(x)在在区区间间D上上是是增增函函数数,如图如图1 .1 1增函数增函数yx0x1x2f(x1)f(x2)y=f(x)图图1 那么就说在那么就说在f(x)这个区间上是单调这个区间上是单调减减函数函数，D称为称为f(x)的的单调单调 减减 区间区间.Oxyx1x2f(x1)f(x2)类比单调增函数的研究方法定义单调减函数类比单调增函数的研究方法定义单调减函数. .xOyx1x2f(x1)f(x2)设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I,区间区间D I. 如果对于属于定义域如果对于属于定义域I内内某个区间某个

4、区间D上上的的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2，设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I,区间区间D I. 如果对于属于定义域如果对于属于定义域I内内某个区间某个区间D上上的的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2， 那么就说在那么就说在f(x)这个区间上是单调这个区间上是单调增增 函数函数，D称为称为f(x)的的单调单调 区间区间.增增当当x1x2时，时，都有都有 f (x1 ) f(x2 )，当当x1x2时，时，都有都有f(x1 ) f(x2 )，单调区间单调区间函函数数的的单单调调性性是是在在定定义义域域内内的的某某个个区区间间上上的的性性质质，是函数的是函数

5、的局部性质局部性质.必须是对于区间必须是对于区间D内的内的任意任意两个自变量两个自变量x1，x2；当；当x1x2时，时，总有总有f(x1)f(x2) 分别是增函数分别是增函数和减函数和减函数.注意：注意：函数的单调性是相对某个区间而言，不函数的单调性是相对某个区间而言，不能直接说某函数是增函数或减函数。能直接说某函数是增函数或减函数。xy21013对于函数对于函数y= f(x) ，若在区间，若在区间 I I 上，上，上，上，当当x1时时, y1; 当当 x2时时, y3 , 能说在区间能说在区间 I 上函数值上函数值 y 随自变随自变量量 x的增大而增大吗的增大而增大吗?下列说法是否正确？请画

6、图说明理由。下列说法是否正确？请画图说明理由。（3）如果对于区间如果对于区间（0，+）上的任意上的任意x有有f( (x)f(0),(0),则函数在区间则函数在区间（0，+）上单调递增。上单调递增。（1）对于区间）对于区间（a,b）上得某上得某3个自变量的个自变量的x1,x2,x3, 当当a x1x2x3b 时，有时，有f(a)f(x1)f(x2)f(x3)f(b),则函数则函数f(x)在区间在区间（a,b）上单调上单调递增。递增。（2）对于区间）对于区间（a,b）上有无数个自变量的上有无数个自变量的x1,x2,x3,xn, 当当a x1x2xnb 时，有时，有f(a)f(x1)f(x2)f(x

7、n)0k0 a0的对称轴为归纳：归纳： 函数函数 的单调的单调性性课本P39 A 1练习：判断函数练习：判断函数 的单调区间。的单调区间。xy21o单调递增区间：单调递增区间：单调递减区间：单调递减区间：例例3. 指出下列函数的单调区间：指出下列函数的单调区间：xyO思考思考1：思考思考2：函数函数 的单调区间是什么？的单调区间是什么？ 的单调增区间是的单调增区间是 归纳：归纳： 在在 和和 上的单调性？上的单调性？_ ,解：没有单调增区间没有单调增区间 单调增区间单调增区间 单调减区间单调减区间 的单调区间，指出下列函数的单调区间：指出下列函数的单调区间：xyO_ 解：没有单调增区间没有单调

8、增区间成果运用成果运用若若二次函数二次函数 在区间在区间 上单调递增，求上单调递增，求a的取值范围。的取值范围。 oxy1xy1o解：解：二次函数二次函数 的对称轴为的对称轴为 , ,由图象可知只要由图象可知只要 ，即，即 即可即可. . 若若二次函数二次函数 的单调增区间的单调增区间是是 , ,则则a的取值情况是的取值情况是 （ ） 变式变式1变式变式2请你说出一个单调减区间是请你说出一个单调减区间是 的二次函数的二次函数变式变式3请你说出一个在请你说出一个在 上单调递减的函数上单调递减的函数A. B. C. D. 讨论函数讨论函数 在在(-2,2)(-2,2)内的单调性内的单调性. .变式

9、变式4解：解：f(x)的开头方向向上，对称轴是的开头方向向上，对称轴是x=a，（1）当当a-2时，时，f(x)在在(-2,2)单调递增；单调递增；（2）当当-2a2时，时，f(x)在在(-2,2)单调递减。单调递减。变式变式5讨论函数讨论函数f(x)=x2-2x+3在区间在区间(a,a+3)上的单调性。上的单调性。证明：函数证明：函数f( (x)= )= 在在(0(0，+)+)上是减函数。上是减函数。证明：证明：设设x1,x2是是(0(0，+)+)上任意两个实数，上任意两个实数，且且x10,又由又由x10所以所以f(x1)- f(x2)0, 即即f(x1) f(x2)因此因此 f(x)=1/x

10、 在在(0，+)上是减函数。上是减函数。取值定号变形作差下结论题型二、证明函数的单调性题型二、证明函数的单调性用定义证明函数单调性的步骤是：（1）取值（2）作差变形（3）定号（4）判断根据单调性的定义得结论 即取 是该区间内的任意两个值且 即求 ，通过因式分解、配方、有理化等方法 即根据给定的区间和 的符号的确定 的符号证明：证明：证明：证明：f（x1） f（x2）f（x1）f（x2）0f（x1）f（x2）（）（3x12）（）（ 3x22） 3（x1x2）由由x1x2，得，得 x1x20设设x1，x2是是R上的任意两个实数，且上的任意两个实数，且x1x2，则，则课本P39 A 2证明：函数证明

11、：函数f( (x)= )= 在在( (2 2，+)+)上上是增函数。是增函数。证明：函数证明：函数f( (x)= )= 在在( (- -，0 0) )上的单调性。上的单调性。判断函数判断函数 在区间在区间(0,1)上的单调性上的单调性.解解: :设设则则 f( (x1 1) )f( (x2 2) )0x1x21,1+x1x20,x2x10, f(x1)f(x2)0 .即即 f(x1)f(x2) .故此函数在故此函数在(0,1)上是减函数上是减函数. . 例4、物理学中的玻意耳定律 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强 p将增大。试用函数的单调性证明之。证明：证明：根据单调性的定义

12、，设根据单调性的定义，设V1，V2是定义域是定义域(0，+)上的任意两个实数，且上的任意两个实数，且V10, 由由V10又又k0,于是于是 所以，函数所以，函数 是减函数是减函数.也就是说，当体积也就是说，当体积V减少时，压强减少时，压强p将增大将增大.取值定号变形作差结论结论4.4.判断函数判断函数f(x)=x3+1在在( (,+,+) )上是增上是增函数还是减函数，并用定义证明你的结论函数还是减函数，并用定义证明你的结论. .所以所以f(xf(x) )在在( (,0),0)上是减函数上是减函数例例：已已知知函函数数f(x)是是定定义义在在（-，+）上上的的单单调调增函数，增函数， 解不等式

13、解不等式 f (2x) f (1+x) 例例5例：已知函数例：已知函数f(x)是定义在（是定义在（-1，1）上的单调）上的单调增函数，增函数， 解不等式解不等式 f (2x) f(1-3a)，求实数，求实数a的取值范围。的取值范围。 是定义在是定义在R上的单调函数，且上的单调函数，且 的图的图象过点象过点A（0，2）和）和B（3，0）（1）解不等式）解不等式 （2）求求适适合合 的的 的的取取值范围值范围变式变式四、作业布置四、作业布置书面作业：书面作业：课本课本P39 AP39 A组：第组：第2 2题题 2(2(选做选做) ) 证明函数证明函数f(x)=x3在在(-(-，+)+)上是上是增函

14、数增函数. .思考与讨论思考与讨论f(x)和和g(x)都是区间都是区间D D上的单调函数，上的单调函数，那么那么f(x)和和g(x)四则运算后在该区间四则运算后在该区间D D内还具备单调性吗？情况如何？内还具备单调性吗？情况如何？你能证明吗？能举例吗？你能证明吗？能举例吗？1.1.若若f(x)为增函数，为增函数，g(x)为增函数，为增函数，则则F(x)=f(x)+g(x)为增函数。为增函数。2.2.若若f(x)为减函数，为减函数，g(x)为减函数，为减函数，则则F(x)=f(x)+g(x)为减函数。为减函数。3.3.若若f(x)为增函数，为增函数，g(x)为减函数，为减函数，则则F(x)=f(

15、x)-g(x)为增函数。为增函数。4.4.若若f(x)为减函数，为减函数，g(x)为增函数，为增函数，则则F(x)=f(x)-g(x)为减函数。为减函数。1.已知函数已知函数f(x) 的定义域为的定义域为R ，且对任意，且对任意 ，都有都有f(a+b)=f(a)+f(b) ，且当，且当 x0时，时，f(x)0 恒成立，恒成立，证明：证明：函数函数 f(x)是是 R上的减函数；上的减函数；证明抽象函数的单调性证明抽象函数的单调性三、归纳小结三、归纳小结1.1.函数的单调性的判定、证明和单调区间的确定：函数的单调性的判定、证明和单调区间的确定：函数函数 的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明

16、画的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取取 值值 作作 差差 变变 形形 定定 号号 下结论下结论2.2.直接利用初等函数的单调区间。直接利用初等函数的单调区间。 ，则f(x)的单调递增区间是 -函数的最大（小）值1.1.理解函数的最大（小）值及其几何意义；理解函数的最大（小）值及其几何意义；( (重点）重点）2.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（难点）（难点

17、）画出下列函数的草图，并根据图象解答下列问题：画出下列函数的草图，并根据图象解答下列问题： 1.说出说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；2.指出图象的最高点或最低点，你是如何理解函数图象最高指出图象的最高点或最低点，你是如何理解函数图象最高点的？点的？ (1) (2) xyo2oxy-11.函数的最大值从图象上看是在指定的函数的最大值从图象上看是在指定的区间里最区间里最高高位置对应的点的位置对应的点的纵纵坐标坐标.2.函数的最小值从图象上看是在指定函数的最小值从图象上看是在指定的区间里最的区间里最低低位置对应的点的位置对应的点的纵纵坐

18、标坐标. 说明说明1最大值最大值 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果，如果存在实数存在实数M满足：满足： （1）对于任意的）对于任意的xI，都有，都有f(x)M; （2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0) = M那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的的最大值最大值 最大值的几何意义：函数图像上最高点的纵坐标。最大值的几何意义：函数图像上最高点的纵坐标。类比最大值的定义，请你给出最小值的定义。类比最大值的定义，请你给出最小值的定义。2最小值最小值 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如，如果存在实数果存在实数M满足：满足：

19、（1）对于任意的）对于任意的xI，都有，都有f(x)M; （2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0) = M那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的的最小值最小值 2.2.函数最大（小）值应该是所有函数值中函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的最大（小）的，即对于任意的xI，都有，都有f(x)M（f (x)M） 注注 意：意：1.1.函数最大（小）值首先应该是某一个函数函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，值， 即存在即存在x0I，使得，使得f (x0) = M；3.3.最大值和最小值统称为最值。最大值和最小值统称为最值。思考思考: :是否每个函数都有最大是否每个

20、函数都有最大值和最小值呢？举例说明？值和最小值呢？举例说明？并不是每个函数都有最大值和并不是每个函数都有最大值和最小值最小值. . 思考思考例3 “菊花菊花”烟花是最壮观的烟花之一烟花是最壮观的烟花之一. .制造时一般是期制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂望在它达到最高点时爆裂. . 如果在距地面高度如果在距地面高度h m与时间与时间t s之间的之间的关系为关系为:h(t)= -4.9t2+14.7t+18 ，那么烟花冲出后什么时候是那么烟花冲出后什么时候是它的爆裂的最佳时刻？这时它的爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确距地面的高度是多少（精确到到1m1m）解：作出函数h(t)= -

21、4.9t2+14.7t+18的图象(如图).显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度. 由于二次函数的知识，对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有: 于是，烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度为29 m.例3 求函数 在区间2，6上的最大值和最小值 解：设x1,x2是区间2,6上的任意两个实数，且x1x2,则由于2x1x20,(x1-1)(x2-1)0,于是所以，函数 是区间2,6上的减函数. 因此,函数 在区间2,6上的两个端点上分别取得最大值和最小值，即在点x=2时取最大值，最大值是2，在x=6

22、时取最小值，最小值为0.4 .如果函数如果函数f(x)的最大值是的最大值是b，最小值是，最小值是a，那么，那么函数函数f(x)的值域是的值域是a，b吗？吗？函数函数f(x)在定义域中既有最大值又有最小值在定义域中既有最大值又有最小值. 如果在函数如果在函数f(x)定义域内存在定义域内存在x1和和 x2，使对定义域内，使对定义域内任意任意x都有都有 成立，由此你能得到成立，由此你能得到什么结论？什么结论？（二）（二）判断函数的判断函数的最大最大( (小小) )值值的方法的方法 1.利用二次函数二次函数的性质（配方法配方法）求函数的最大(小)值 2. 利用图象图象求函数的最大(小)值 3.利用函数

23、单调性函数单调性的判断函数的最大(小)值 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a，b上单调递上单调递增增，则函数，则函数y=f(x)在在x=a处有处有最小值最小值f(a),在在x=b处有处有最大值最大值f(b) ； 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a，b上单调递上单调递减减，在区间，在区间b，c上上单调递单调递增增则函数则函数y=f(x)在在x=b处有处有最小值最小值f(b)； 例例3 写出函数写出函数 的单调的单调区间，并求出最值。区间，并求出最值。例例4 已知二次函数已知二次函数 （1）当）当 时，求时，求 的最值。的最值。（2）当）当 时，求时，求 的最值。的最值。例例5 已

24、知函数已知函数 f (x)=x2-2ax-1(1)当当a=1时，求时，求f(x)在区间在区间2,4上的最值。上的最值。(2)求求f(x)在区间在区间0,2上的最小值。上的最小值。 (3)求求f(x)在区间在区间0,2上的最大值。上的最大值。例例6 6 求下列函数的最小值求下列函数的最小值提示：提示：（1 1）将将f(x)变形变形用定义法证明用定义法证明f(x)的单调性的单调性求求f(x)的的最小值最小值（2 2）f(x)求求f(x)的的对称轴对称轴讨论对称轴讨论对称轴与所给区间与所给区间的位置关系的位置关系结论结论设f(x)是定义在R上的函数，对m,nR恒有 f(m+n)=f(m)f(n)，且当x0时，0f(x)0(3) 求证：f (x)在R上是减函数。