必修4-1.1-任意角和弧度制

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1、人教人教A A版必修四第一章版必修四第一章 三角函数三角函数1.11.1任意角和弧度制任意角和弧度制2021/6/71知识回顾: 同学们同学们, ,我们回顾一下学过的这些角我们回顾一下学过的这些角: :2021/6/72知识回顾:角的定义角的定义1:1: 平面内从一个点平面内从一个点出发引出的出发引出的两条射线两条射线构成的几构成的几何图形何图形. . 这种这种静态定义静态定义是从图形形是从图形形状来定义角，因此角的范围是状来定义角，因此角的范围是0, 3600, 3602021/6/73同学们现实生活中确定有存在不在学过范围的角同学们现实生活中确定有存在不在学过范围的角现状生活中：现状生活中

2、：体操、跳水、滑冰、体操、跳水、滑冰、转体转体720720度度的高难度动作的高难度动作, ,直体后空直体后空翻转体翻转体900900度及度及以上的旋转以上的旋转时钟的时针、分针转动和调准时间时钟的时针、分针转动和调准时间时顺时针、逆时针拨转角度时顺时针、逆时针拨转角度主从动轮转动角主从动轮转动角车的轮子的转动角车的轮子的转动角风车风车, ,风扇叶片等转动风扇叶片等转动2021/6/74定义定义2:2:平面内平面内一条射线绕一条射线绕着着端点端点从从一个位一个位置置旋转旋转到到另一个位置另一个位置所成的图形所成的图形. .射线射线OAOA、OBOB分别是角的始边和终边，端点分别是角的始边和终边，

3、端点O O为角的顶为角的顶点。点。思考思考：这些旋转形成的角该如何表示和区分：这些旋转形成的角该如何表示和区分? ?引入新的角定义引入新的角定义: :2021/6/75类比初中数的扩展学习，我们可以把这种运动形类比初中数的扩展学习，我们可以把这种运动形成的角推广到成的角推广到任意角。任意角。为了方便规定：为了方便规定：按逆时针方向旋转按逆时针方向旋转所形成的角叫做所形成的角叫做正角正角按顺时针方向旋转按顺时针方向旋转所形成的角叫做所形成的角叫做负角负角没有作任何旋转没有作任何旋转形成的角叫做形成的角叫做零角零角1.1.任意角任意角: :含任意大小的正角，负角，零角。含任意大小的正角，负角，零角

4、。OA（B）2021/6/76在初中我们研究了锐角三角函数，为了研究任意在初中我们研究了锐角三角函数，为了研究任意角的三角函数，用角和长度定位点，实现几何问角的三角函数，用角和长度定位点，实现几何问题代数化。我们常在直角坐标系内讨论角。把角题代数化。我们常在直角坐标系内讨论角。把角的顶点重合于的顶点重合于坐标原点坐标原点，角的始边重合于，角的始边重合于x x轴的轴的正半轴。正半轴。角的终边落在第几象限，就说这个角是第几角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限的角（包含象限的角（包含第一、第一、 二、三、二、三、 四象限角四象限角）角的终边落在哪坐标轴上，就说这个角是角的终边落在哪坐标轴上，就

5、说这个角是哪坐标轴上角（包含哪坐标轴上角（包含x,yx,y正负半轴上的角正负半轴上的角） 2021/6/772象限角和坐标轴上角象限角和坐标轴上角xyo始边始边终边终边 终边终边终边终边终边终边2021/6/78用旋转定义的任意角，需要注意三个要素：用旋转定义的任意角，需要注意三个要素：旋旋转中心、旋转方向和旋转量转中心、旋转方向和旋转量 （当旋转超过一周（当旋转超过一周时，旋转量即超过时，旋转量即超过360360，角度的绝对值可大于，角度的绝对值可大于360 360 。于是就有。于是就有720 720 ， 540540，第一象限的，第一象限的角也已经超越原来锐角的范畴角也已经超越原来锐角的范

6、畴. .）角角2021/6/793终边相同的角终边相同的角 观察：观察： 330330 ，750750 角，它们的终边与角，它们的终边与3030 角的终边角的终边有何关系？有何关系？探究：与探究：与30 30 终边相同的角（含终边相同的角（含30 30 角本身）角本身）集合用描述法如集合用描述法如何表示？何表示？ 330330 =30=30 +(+( 1)1)360360 ( (k k= =1)1) , , 3030 =30=30 +0+0360360 ( (k k=0), =0), 750750 =30=30 +2+2360360 ( (k k=2)=2) (3)(3)结论：结论：思考：从终

7、边相同的角集合表示中可以悟出什么？思考：从终边相同的角集合表示中可以悟出什么？与与 终边相同的角（含终边相同的角（含 本身）集合用描述法又本身）集合用描述法又将如何表示？将如何表示？2021/6/710例例1 1：写出终边落在写出终边落在y y轴上的角的集合轴上的角的集合。n解：终边落在解：终边落在轴轴正正半轴上的角的集合为半轴上的角的集合为S S1 1=| | =90=900 0+K+K3603600 0,KZ,KZ = =| | =90=900 0+2K+2K1801800,0,KZKZ=| | =90=900 0+180+1800 0 的的偶偶数倍数倍 终边落在终边落在轴轴负负半轴上的角

8、的集合为半轴上的角的集合为S S2 2=| | =270=2700 0+K+K3603600 0,KZ,KZ=| | =90=900 0+180+1800 0+2K+2K1801800 0,KZ,KZ=| | =90=900 0+ +（2K+12K+1）1801800 0 ，KZKZ=| | =90=900 0+180+1800 0 的的奇奇数倍数倍 2021/6/711S=SS=S1 1SS2 2所以终边落在所以终边落在轴轴上的角的集合为上的角的集合为=| | =90=900 0+180+1800 0 的的偶偶数倍数倍 | | =90=900 0+180+1800 0 的的奇奇数倍数倍 =|

9、 | =90=900 0+180+1800 0 的整数倍的整数倍 =| | =90=900 0+K+K1801800 0 ，KZKZ2021/6/712 根据角的动态定义：角是由根据角的动态定义：角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋转的射线绕它的端点旋转而成的，在旋转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧。过程中射线上的点必然形成一条圆弧。 思考：思考：不同的点所形成的圆弧不同的点所形成的圆弧的长度是不同的，但都对应同一的长度是不同的，但都对应同一个圆心角，探索弧长与其半径之个圆心角，探索弧长与其半径之比有什么关系比有什么关系? ? 1 1 的角是的角是周角的周角的 用用11角角作作单位单位来度量

10、角的制度叫做来度量角的制度叫做角度制角度制但角的度量单位如同长度，面积，体积等有不同单位一样，也由于数但角的度量单位如同长度，面积，体积等有不同单位一样，也由于数据大，书写不便等有引入不同单位的需要。据大，书写不便等有引入不同单位的需要。2021/6/713设设= =n n,AB,AB弧长为弧长为l l，半径，半径OAOA为为r r，则可以看出，等式右端不含则可以看出，等式右端不含半径，表示弧长与半径的半径，表示弧长与半径的比值跟半径无关，只与比值跟半径无关，只与的的大小有关。大小有关。 3弧度弧度2021/6/7143 3弧度弧度 弧长等于半径长（弧长等于半径长（l=r)的圆弧的圆弧所对的圆

11、心角叫做所对的圆心角叫做1弧度的弧度的角角，弧度记作，弧度记作rad.角角 的弧度数的绝对值的弧度数的绝对值规定等于规定等于 . 的正负由的正负由 的终边的旋转方向决定。的终边的旋转方向决定。 这种以弧度为单位来度量角的制度叫做这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制。弧度制。 360360 = = ， 180180 = = rad rad， 1 =1 rad注：注：radrad今后可以省略不写今后可以省略不写2021/6/715 用弧度来度量角，实际上用弧度来度量角，实际上角的集合角的集合与与实数集实数集R R之间建立一一对应的关系：之间建立一一对应的关系：弧度的集合（实数集弧度的集合（实数

12、集R R）角的集合角的集合正角正角零角零角负角负角正实数正实数零零负实数负实数2021/6/716请运用转换公式，填写下表：请运用转换公式，填写下表：度度0-3045 -13512015030弧度弧度60609090-150-1502702702021/6/7173 3弧度弧度对比记忆：初中弧长和面积公式：对比记忆：初中弧长和面积公式：思考：扇形的弧长和面积共含几个变量，已知几思考：扇形的弧长和面积共含几个变量，已知几个量个量, ,才能求出另外的量呢？才能求出另外的量呢？2021/6/718例例2.2. 已知一半径为已知一半径为R R的扇形，它的周长等于所在圆的扇形，它的周长等于所在圆的周长，

13、那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度的周长，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？扇形的面积是多少？ 解：周长解：周长=2=2R R=2=2R R+ +l l，所以，所以l l=2(=2(1)1)R R. .所以扇形的中心角是所以扇形的中心角是2(2(1) rad.1) rad.合合 度度扇形面积是扇形面积是2021/6/719合作探究练习合作探究练习1：用角度和弧度分别表示:1.终边在x轴上的角的集合2.终边在坐标轴上的角的集合3.终边在第一象限角的集合4.终边在y=x直线上的角的集合.| =k1800 ，kZZ | | =k =k ，kZkZ.| =k900 ，kZZ |

14、 | =k=k ，kZkZ3.| k 3603600 0 k 3603600 0+ +900 ，kZZ | | 2 2k k 2 2kk + + ，kZkZ4.| =k 1801800 0+ +450 ，kZZ | | =k=k + + ，kZkZ思考思考: :终边在过直角坐标系原点的直线上角终边在过直角坐标系原点的直线上角的集合共同特征是怎样的的集合共同特征是怎样的? ?2021/6/720合作探究练习合作探究练习2 2. .在在0 0到到360360度度(02(02）范围内，找出与下）范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角？列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角？（

15、1 1）-120-120（2 2） （3 3） -950 12-950 12（4 4）所以与所以与-120 -120 角终边相同的角是角终边相同的角是240 240 角角, ,它是第三象它是第三象限角。限角。 所以与所以与 角终边相同的角是角终边相同的角是 ，它是第四象限角。，它是第四象限角。 所以与所以与-95012 -95012 角终边相同的角是角终边相同的角是12948 12948 角，角，它是第二象限角。它是第二象限角。 （2 2）因为）因为 解解（1 1）因这）因这-120-120=-1360 +240 =-1360 +240 （3 3）因为）因为-95012 = -3360+129

16、48-95012 = -3360+12948（4 4）因为）因为所以与所以与 角终边相同的角是角终边相同的角是 ， 它是第一象限角。它是第一象限角。2021/6/721小结：小结：1.1.在在0 0到到360360度（度（02)02)内找与已知角终边相同的角，内找与已知角终边相同的角，方法是：方法是：用所给角除以用所给角除以3603600 0(2)(2)所给角是所给角是正正的：按通常的除法进行；的：按通常的除法进行；所给角是所给角是负负的：度数除以的：度数除以3603600 0(2(2），商是负数，它的绝对值），商是负数，它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大应比被除数为其相反数时相应的商

17、大1 1，以便使余数为正值。，以便使余数为正值。2.2.判断一个角是第几象限角，判断一个角是第几象限角，方法是：方法是：把所给角把所给角 改写成改写成 ： 0 0+k +k 3603600 0 ( KZ,0( KZ,00 0 0 03603600 0) ) 的形式，的形式， 0 0在第几象限在第几象限, , 就是第几象限角。就是第几象限角。0 0 +k+k22 ( KZ, 0( KZ, 0 0 02 2 ) ) 2021/6/722合作探究练习合作探究练习3 3：(1)(1)在半径为在半径为R R的圆中，的圆中，240240的中心角所对的弧长为的中心角所对的弧长为 ，面积，面积为为2 2R R

18、 2 2的扇形的中心角等于的扇形的中心角等于 弧度。弧度。(2)(2)一手表现发现走慢十五分钟需调正一手表现发现走慢十五分钟需调正, ,分针要转多少弧度分针要转多少弧度? ?解：（解：（1 1）240= 240= ，根据，根据l l= =R R，得，得(2)(2)需顺时针转需顺时针转9090度度, ,即为即为 根据根据S S= = lR= lR= R R2 2，且，且S S=2=2R R2 2. .所以所以 = =4.4.2021/6/723课堂小结：课堂小结： 1.1.任意角：任意角：角的不同分类：正角、负角和零角角的不同分类：正角、负角和零角 象限角和坐标轴上的角象限角和坐标轴上的角终边相同的角集合表示终边相同的角集合表示: : 2.2.角度制和弧度制的转化：角度制和弧度制的转化： 1 =1 rad3.3.扇形的弧长和面积公式扇形的弧长和面积公式.(.(角度和弧度制角度和弧度制) )2021/6/724部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！