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1、函数项级数的一致收敛性函数项级数的一致收敛性* *第六节第六节一、函数项级数的一致收敛性一、函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质及一致收敛级数的基本性质二、一致收敛级数的基本性质二、一致收敛级数的基本性质 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一章 一、函数项级数的一致收敛性一、函数项级数的一致收敛性幂级数在收敛域内的性质类似于多项式,但一般函数项级数则不一定有这么好的特点. 例如例如, 级数每项在 0,1 上都连续, 其前 n 项之和为和函数该和函数在 x1 间断.机动 目录 上页 下页 返回 结束 因为对任意 x 都有: 所以它的收敛域为 (, +) ,但逐项求导后的级数 其一
2、般项不趋于0, 所以对任意 x 都发散 .又又如如, 函数项级数问题问题: 对什么样的函数项级数才有:逐项连续 和函数连续; 逐项求导 = 和函数求导; 逐项积分 = 和函数积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义. 设 S(x) 为 若对 都有一个只依赖于 的自然数 N , 使 当n N 时, 对区间 I 上的一切 x 都有则称该级数在区间 I 上一致收敛于和函数S(x) .在区间 I 上的和函数,任意给定的 0,显然, 在区间 I 上 一致收敛于和函数S(x)部分和序列一致收敛于S(x) 余项 一致收敛于 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 几何解释几何解释 : (如图) 当
3、n N 时,曲线 总位于曲线之间.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.研究级数 在区间 0, +) 上的收敛性.解解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 余项的绝对值:因此, 任给 0, 取自然数 则当n N 时有这说明级数在 0, +) 上一致收敛于 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.证明级数 在 0,1 上不一致收敛 . 证证: 取正数 对无论多么大的正数 N ,因此级数在 0, 1 上不一致收敛 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:对任意正数 r 0, 欲使只要因此取只要即级数在 0, r 上一致收敛 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 维尔斯特拉斯维
4、尔斯特拉斯(Weierstrass) 判别法判别法 用一致收敛定义判别级数的一致收敛性时, 需求出 这往往比较困难. 下面介绍一个较方便的判别法.若函数项级数在区间 I 上满足:则函数项级数 在区间 I 上一致收敛 .简介 目录 上页 下页 返回 结束 证证:由条件2), 根据柯西审敛原理, 当 n N 时, 对任意正整数 p , 都有 由条件1), 对 x I , 有故函数项级数 在区间 I 上一致收敛 . 证毕机动 目录 上页 下页 返回 结束 推论推论.若幂级数的收敛半径 R 0 , 则此级 数在 (R, R ) 内任一闭区间 a , b 上一致收敛 .证证: 则对 a , b 上的一切
5、 x , 都有 由阿贝尔定理(第三节定理1) 级数 绝对收敛 , 由维尔斯特拉斯判别法即知推论成立. 说明说明: 若幂级数在收敛区间的端点收敛, 则一致收敛 区间可包含此端点. 证毕 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.证明级数在(, +) 上 一致收敛 .证证: 而级数收敛, 由维尔斯特拉斯判别法知所给级数在 (, +) 上 一致收敛 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:维尔斯特拉斯判别法不仅能判别级数的一致收 敛性, 而且能判别其绝对收敛性. 当不易观察到不等式可利用导数求例如例如, 级数用求导法可得已知收敛, 因此原级数在0, +) 上一致收敛 . 机动 目录 上页
6、下页 返回 结束 二、一致收敛级数的基本性质二、一致收敛级数的基本性质定理定理1. 若级数 证证: 只需证明由于机动 目录 上页 下页 返回 结束 因为级数一致收敛于S (x) , 使当 n N 时, 有对这样选定的 n , 从而必存在 0 ,从而得证毕 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:(1) 定理1 表明, 对一致收敛的级数, 极限运算与无限 求和运算可交换, 即有(2) 若函数项级数不一致收敛时, 定理结论不一定成立. 例如例如, 级数 在区间 0 , 1 上处处收敛, 而其和函数在 x = 1 处不连续 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2. 若级数 则该级数在
7、 a, b 上可逐项积分, 且上式右端级数在 a, b 上也一致收敛 . 证证: 因为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 所以只需证明对任意 一致有 根据级数的一致收敛性, 使当 n N 时, 有于是, 当 n N 时, 对一切 有因此定理结论正确. 证毕 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 若级数不一致收敛时, 定理结论不一定成立. 例如例如, 级数 它的部分和 因此级数在 0 , 1 上收敛于 S (x) = 0 , 所以但是为什么对级数定理结论不成立? 分析它是否满足 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理2 条件. 级数的余项 可见级数在 0, 1 上不一致收敛 , 此
8、即定理2 结论 对级数不成立的原因. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3. 若级数 且可逐项求导, 即 证证: 先证可逐项求导. 根据定理2, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 上式两边对 x 求导, 得 再证根据定理 2 , 而机动 目录 上页 下页 返回 结束 所以级数一致收敛并不保证可以逐项求导. 例如, 例3中的级数说明说明:在任意区间上都一致收敛, 但求导后的级数 其一般项不趋于 0, 所以对任意 x 都发散 . 证毕 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 证明函数 对任意 x 有连续导数.解解: 显然所给级数对任意 x 都收敛 , 且每项都有连续导数, 而逐项
9、求导后的级数 故级数在 (,+) 上一致收敛, 故由定理3可知 再由定理1可知 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理4 . 若幂级数的收敛半径则其和函在收敛域上连续, 且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分, 运算前后收敛半径相同,即证证: 关于和函数的连续性及逐项可积的结论由维尔斯 特拉斯判别法的推论及定理 1, 2 立即可得 . 下面证明逐项可导的结论:机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证:则由比值审敛法知级数 故故存在 M 0 , 使得 由比较审敛法可知机动 目录 上页 下页 返回 结束 上一致收敛, 故原级数内任一闭区间上满足定理3条件, 从而可逐项求导, 即知 再证级数 的收敛半径 由前面的证明可知 若将幂级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 级数的收敛半径不会缩小, 因逐项积分所得 幂级数 (R, R ) 内有任意阶导数, 且有 其收敛半径都为 R . 推论推论.的和函数 S (x) 在收敛区间 证毕作业作业P237 1; 3(2); 4(2), (4), (5) 第七节 目录 上页 下页 返回 结束
