《高等数学B第四章第五节定积分在物理上的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学B第四章第五节定积分在物理上的应用（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五节一、一、 变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功二、二、 液体的侧压力液体的侧压力三、三、 引力问题引力问题四、四、 转动惯量转动惯量 (补充补充)机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分在物理学上的应用 一、一、 变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 xa 移动到力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 .在其上所作的功元素为因此变力F(x) 在区间 上所作的功为机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.一个单求电场力所作的功 . 解解: 当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律库仑定律电场力为则功的元素为所求功为说明说明:机动 目录 上
2、页 下页 返回 结束 位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a b) , 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, 例例2.体, 求移动过程中气体压力所解解:由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从点 a 处移动到点 b 处 (如图), 作的功 .建立坐标系如图. 由波义耳马略特定律知压强 p 与体积 V 成反比 , 即功元素为故作用在活塞上的所求功为机动 目录 上页 下页 返回 结束 力为在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气 例例3.试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解解: 建立坐标系如图. 在任一小区间上的一薄层水的重力为这薄层水吸出桶外所作的功(功元
3、素功元素)为故所求功为( KJ )设水的密度为机动 目录 上页 下页 返回 结束 (KN)一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m, 面积为 A 的平板二、液体侧压力二、液体侧压力设液体密度为 深为 h 处的压强: 当平板与水面平行时, 当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 平板一侧所受的压力为小窄条上各点的压强例例4. 的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力. 解解: 建立坐标系如图. 所论半圆的利用对称性 , 侧压力元素端面所受侧压力为机动 目录 上页 下页 返回 结束 方程为一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为 说明说
4、明: 当桶内充满液体时,小窄条上的压强为侧压力元素故端面所受侧压力为奇函数奇函数( P350 公式67 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、三、 引力问题引力问题质量分别为的质点 , 相距 r ,二者间的引力 :大小:方向:沿两质点的连线若考虑物体物体对质点的引力, 则需用积分解决 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 设有一长度为 l, 线密度为 的均匀细直棒,其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M,该棒对质点的引力.解解: 建立坐标系如图. 细棒上小段对质点的引力大小为故垂直分力元素为机动 目录 上页 下页 返回 结束 在试计算利用对称性利用对称性棒对质点引力的
5、水平分力机动 目录 上页 下页 返回 结束 故棒对质点的引力大小为棒对质点的引力的垂直分力为 说明说明:2) 若考虑质点克服引力沿 y 轴从 a 处1) 当细棒很长时,可视 l 为无穷大 ,此时引力大小为方向与细棒垂直且指向细棒 .移到 b (a b) 处时克服引力作的功,机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有引力大小为机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意正负号3) 当质点位于棒的左端点垂线上时, 四、转动惯量四、转动惯量 (补充补充)质量为 m 的质点关于轴 l 的转动惯量为的质点系若考虑物体物体的转动惯量 , 则需用积分解决 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 关于轴 l 的转动惯
6、量为例例6. 求圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动惯量 ; 求圆盘对直径所在轴的转动惯量 .解解: 建立坐标系如图.设圆盘面密度为 .小圆环质量对应于的小圆环对轴 l 的转动惯量为故圆盘对轴 l 的转动惯量为机动 目录 上页 下页 返回 结束 设有一个半径为 R , 质量为 M 的均匀圆盘 , 平行 y 轴的细条关于 y 轴的转动惯量元素为细条质量:故圆盘对y 轴的转动惯量为机动 目录 上页 下页 返回 结束 取旋转轴为 y 轴, 建立坐标系如图.内容小结内容小结(1) 先用微元分析法求出它的微分表达式 dQ一般微元的几何形状有:扇扇、片片、壳壳 等.(2) 然后用定积分来表示整体量 Q , 并
7、计算之. 1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量 Q 的步骤:2.定积分的物理应用:变力作功 , 侧压力 , 引力, 转动惯量等.机动 目录 上页 下页 返回 结束 条条、段段、环环、带带、(99考研)思考与练习思考与练习提示提示: 作 x 轴如图.1.为清除井底污泥, 用缆绳将抓斗放入井底, 泥后提出井口,缆绳每在提升过程中污泥以20N /s 的速度从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N ,提升速度为3m /s , 问克服重力需作多少焦耳( J ) 功?已知井深30 m , 抓斗自重400N , 将抓起污泥的抓斗由机动 目录 上页 下页 返回 结束 抓起
8、污x 提升 dx 所作的功为 米重50N ,提升抓斗中的污泥:井深 30 m, 抓斗自重 400 N, 缆绳每米重50N, 抓斗抓起的污泥重 2000N, 提升速度为3ms, 污泥以 20Ns 的速度从抓斗缝隙中漏掉克服缆绳重:抓斗升至 x 处所需时间 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 克服抓斗自重: 2. 设星形线上每一点处线密度的大小等于该点到原点距离的立方,提示提示: 如图.在点O 处有一单 位质点 ,求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力.机动 目录 上页 下页 返回 结束 同理故星形线在第一象限的弧段对该质点的习题课 目录 上页 下页 返回 结束 引力大小为作业作业: P287 2 , 3 , 5 , 9 , 12锐角 取多大时, 薄板所受的压力 P 最大 .备用题备用题斜边为定长的直角三角形薄板, 垂直放置于解解: 选取坐标系如图. 设斜边长为 l ,水中, 并使一直角边与水面相齐, 则其方程为问斜边与水面交成的机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故得唯一驻点 故此唯一驻点即为所求. 由实际意义可知最大值存在 ,即
