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1、第五章第五章 线性系统的根轨迹法线性系统的根轨迹法 5.1 5.1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念 5.2 5.2 根轨迹的绘制规则根轨迹的绘制规则 5.3 5.3 广义根轨迹广义根轨迹 5.4 5.4 零度根轨迹零度根轨迹 5.5 5.5 系统性能分析系统性能分析2007-2-231控制工程基础控制工程基础1本章重点本章重点 根轨迹的概念、幅值条件、根轨迹的概念、幅值条件、 相角条相角条件件 根轨迹的基本绘制规则根轨迹的基本绘制规则 等效传递函数的概念等效传递函数的概念 根轨迹的简单应用根轨迹的简单应用2007-2-232控制工程基础控制工程基础1一、一个例子一、一个例子一、一个例子一、一
2、个例子5.1 5.1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念一单位负反馈系统的开环传递函数为：一单位负反馈系统的开环传递函数为：试分析该系统的特征方程的根随系统参数试分析该系统的特征方程的根随系统参数 的变化在的变化在S S平平面上的分布情况。面上的分布情况。 例5-1系统的闭环特征方程：系统的闭环特征方程：特征方程的根是：特征方程的根是：设设 的变化范围是的变化范围是0, 0, 解解2007-2-233控制工程基础控制工程基础1当当 时时, , 当当 时时, , 与与 为不相等为不相等的两个负实根；的两个负实根；当当 时，时， 为等实根；为等实根；该系统特征方程该系统特征方程的根，随开环系的根，随
3、开环系统参数统参数k k从从0 0变到变到时，在时，在S S平面平面上变化的轨迹如上变化的轨迹如图所示。图所示。当当 时，时， 共轭复根。共轭复根。 性能2007-2-234控制工程基础控制工程基础1 二、根轨迹与系统性能二、根轨迹与系统性能稳定性稳定性 当增益当增益K1K1由由0 0 ，根轨迹不会越过虚轴进入，根轨迹不会越过虚轴进入s s平面右平面右半边，因此系统对所有的值都是稳定的。如果系统特征方程的半边，因此系统对所有的值都是稳定的。如果系统特征方程的根都位于根都位于s s平面的左半部，系统是稳定的，否则是不稳定的。若平面的左半部，系统是稳定的，否则是不稳定的。若根轨迹穿越虚轴进入右半根
4、轨迹穿越虚轴进入右半s s平面平面, ,根轨迹与虚轴交点处的根轨迹与虚轴交点处的K K值，就值，就是临界稳定的开环增益。是临界稳定的开环增益。稳态性能稳态性能 开环系统在坐标原点有一个极点，所以属开环系统在坐标原点有一个极点，所以属型系统型系统, , 因而根轨迹上的因而根轨迹上的K K值就是静态速度误差系数。如果给定系统的稳值就是静态速度误差系数。如果给定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图确定闭极点位置的允许范围。态误差要求，则由根轨迹图确定闭极点位置的允许范围。动态性能动态性能 当当 时时, , 所有闭环极点均位于实轴所有闭环极点均位于实轴上上, ,系统为系统为过阻尼过阻尼系统，其单位阶跃响应
5、为单调上升的非周期系统，其单位阶跃响应为单调上升的非周期过程。过程。 当当 时，特征方程的两个相等负实根，系统时，特征方程的两个相等负实根，系统为为临界阻尼临界阻尼系统，单位阶跃响应为响应速度最快的非周期过系统，单位阶跃响应为响应速度最快的非周期过程。程。 当当 时，特征方程为一对共轭复根系统为时，特征方程为一对共轭复根系统为欠欠阻尼系统阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程，振荡幅度或超调，单位阶跃响应为阻尼振荡过程，振荡幅度或超调量随量随 值的增加而加大，但调节时间不会有显著变化。值的增加而加大，但调节时间不会有显著变化。2007-2-235控制工程基础控制工程基础1设系统的开环传递函数为设
6、系统的开环传递函数为: : 为为根轨迹增益根轨迹增益( (或或根轨迹的放大系数根轨迹的放大系数) ) 三、根轨迹的概念三、根轨迹的概念其中其中: : 可得到系统的闭环特征方程式为可得到系统的闭环特征方程式为: : 即：即：开环的零点开环的零点开环的极点开环的极点2007-2-236控制工程基础控制工程基础1 根根轨轨迹迹图图是是闭闭环环系系统统特特征征方方程程的的根根（闭闭环环极极点点）随随开开环环系统某一参数由系统某一参数由0 0变化到变化到时在时在S S平面上留下的轨迹。平面上留下的轨迹。由此可得到满足系统闭环特征方程的幅值条件和相角条件为：由此可得到满足系统闭环特征方程的幅值条件和相角条
7、件为：幅值条件幅值条件幅值条件幅值条件: : : : 相角条件相角条件相角条件相角条件: : : : 2007-2-237控制工程基础控制工程基础1 我们可以把系统的闭环特征方程的根描述成我们可以把系统的闭环特征方程的根描述成: :凡是满足幅值条件和相角条件的凡是满足幅值条件和相角条件的s s值称为特征方程值称为特征方程的根的根即闭环极点。即闭环极点。注：注：注：注：因为因为 变化，因此不论什么变化，因此不论什么s s值值, ,总有一个总有一个 存在存在, ,使幅值条件得到满足使幅值条件得到满足, ,所以所以, ,实际上只要实际上只要满足相角条件的满足相角条件的s s值就是闭环极点值就是闭环极
8、点, ,而由此而由此s s值值, ,再由幅再由幅值条件可确定此时系统对应的值条件可确定此时系统对应的 值。值。2007-2-238控制工程基础控制工程基础1规则一规则一 根轨迹的起点根轨迹的起点此时系统的闭环极点与开环极点相同此时系统的闭环极点与开环极点相同( (重合重合) )，把，把开环极点开环极点称为根轨迹的起点称为根轨迹的起点。5.2 5.2 根轨迹的绘制规则根轨迹的绘制规则当当 , ,必必有有由根轨迹的幅由根轨迹的幅值条件可知：值条件可知： 通常，我们称以开环根轨迹增益为可变参数绘制的根轨迹为通常，我们称以开环根轨迹增益为可变参数绘制的根轨迹为普通根轨迹（或普通根轨迹（或 180180
9、根轨迹根轨迹），简称根轨迹。），简称根轨迹。2007-2-239控制工程基础控制工程基础1规则二规则二 根轨迹的终点根轨迹的终点由根轨迹的幅由根轨迹的幅值条件可知：值条件可知：结论：根轨迹起始于开环极点结论：根轨迹起始于开环极点 ，终，终止于开环零点止于开环零点 。 当当 时，必有时，必有 此时，系统的闭环极点与开环零点相同（重合），我们此时，系统的闭环极点与开环零点相同（重合），我们把把开环零点称为根轨迹的终点开环零点称为根轨迹的终点。 如果开环极点数如果开环极点数n n大于开环零点数大于开环零点数m,m,则有则有n-mn-m条根轨迹终条根轨迹终止于止于S S平面的无穷远处平面的无穷远处(
10、(无限零点无限零点) )，如果开环零点数，如果开环零点数m m大于开大于开环极点数环极点数n n，则有，则有m-n m-n 条根轨迹起始于条根轨迹起始于S S平面的无穷远处。平面的无穷远处。2007-2-2310控制工程基础控制工程基础1规则三规则三 根轨迹的分支数、连续性和对称性根轨迹的分支数、连续性和对称性 根轨迹的分支数即根轨迹的条数。根轨迹是描述闭环系统根轨迹的分支数即根轨迹的条数。根轨迹是描述闭环系统特征方程的根（即闭环极点）特征方程的根（即闭环极点） 在在s s平面上的分布，那么，根平面上的分布，那么，根轨迹的分支数就应等于系统特征方程的阶数。轨迹的分支数就应等于系统特征方程的阶数
11、。 由由例例5-15-1 看出，系统开环根轨迹增益看出，系统开环根轨迹增益 （实变量）与复（实变量）与复变量变量s s有一一对应的关系。有一一对应的关系。 当当 由由0 0到到连续变化时，描述系统特征方程根的复变连续变化时，描述系统特征方程根的复变量量s s在平面上的变化也是连续的，因此在平面上的变化也是连续的，因此, ,根轨迹是根轨迹是n n条条连续连续的曲的曲线。线。 由于实际的物理系统的参数都是实数由于实际的物理系统的参数都是实数, ,如果它的特征方程有如果它的特征方程有复数根的一定是对称于实轴的共轭复根，因此，根轨迹总是复数根的一定是对称于实轴的共轭复根，因此，根轨迹总是对对称于实轴称
12、于实轴的。的。结论：结论：根轨迹的分支数等于系统的闭环极点数。根轨迹的分支数等于系统的闭环极点数。根轨根轨迹是连续且对称于迹是连续且对称于实轴实轴的曲线。的曲线。2007-2-2311控制工程基础控制工程基础1规则四规则四 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹 实轴上的根轨迹由相角条件可证实轴上的根轨迹由相角条件可证: :设某段右侧的零设某段右侧的零, ,极点数极点数分别为：分别为：则则: : 即即右侧开环零右侧开环零, ,极点数的和为奇数时极点数的和为奇数时, ,该段为根轨迹该段为根轨迹。2007-2-2312控制工程基础控制工程基础1规则五规则五 渐近线渐近线 当当开开环环极极点点数数 n n大大
13、于于开开环环零零点点数数m m时时, , 系系统统有有n-mn-m条条根根轨轨迹迹终终止止于于S S平平面面的的无无穷穷远远处处，这这n-mn-m条条根根轨轨迹迹变变化化趋趋向向的的直直线线叫叫做做根根轨轨迹迹的的渐渐近近线线，因因此此渐渐近近线线也也有有n-mn-m条条, , 且且它它们们交于实轴上的一点。交于实轴上的一点。渐近线与实轴的交点位置渐近线与实轴的交点位置 和与实轴正方向的交角和与实轴正方向的交角 分别分别为为: : 2007-2-2313控制工程基础控制工程基础1已知系统的开环传递函数已知系统的开环传递函数, ,试画出该系统根轨迹的渐近线。试画出该系统根轨迹的渐近线。例5-21
14、 1渐近线：渐近线：系统有系统有n=4,m=1,n-m=3n=4,m=1,n-m=3 三条渐近线与实轴交点位置为：三条渐近线与实轴交点位置为：解解实轴正方向的交角分别是实轴正方向的交角分别是渐近线如图所示。渐近线如图所示。 -4 -4 -3 -3 -2 -2 -1 -10 0B BC CA A2007-2-2314控制工程基础控制工程基础12007-2-2315控制工程基础控制工程基础1规则六规则六 根轨迹的分离点、会（汇）合点根轨迹的分离点、会（汇）合点 根轨迹在根轨迹在s s平面上相遇，表明系统有相同的根。即在分离平面上相遇，表明系统有相同的根。即在分离点和会合点处必有闭环特征重根点和会合
15、点处必有闭环特征重根, ,令闭环特征方程为令闭环特征方程为: : 如果令如果令 即可求得即可求得 2007-2-2316控制工程基础控制工程基础1故在重根处有故在重根处有: :因为：因为： 所以：所以： 即：即： 分离点分离点/ /会合点会合点: : 和和以上分析没有考虑以上分析没有考虑 ( (且为实数且为实数) )的约束条的约束条件，所以只有满足件，所以只有满足 的这些解，才是真正的这些解，才是真正的分离点（或会合点）。的分离点（或会合点）。2007-2-2317控制工程基础控制工程基础1事实上，分离点还可由下式确定事实上，分离点还可由下式确定 因为因为 即即 其中其中 即即 所以所以-20
16、07-2-2318控制工程基础控制工程基础1的单位负反馈系统的的单位负反馈系统的( (180)根轨迹。根轨迹。绘制开环系统传函数为绘制开环系统传函数为例5-31 1）此系统无开环零点，有三个开环极点，分别为：）此系统无开环零点，有三个开环极点，分别为： 2 2）渐近线：）渐近线：根据规则可知，系统根轨迹有三条分支，当根据规则可知，系统根轨迹有三条分支，当 分别从开环极点分别从开环极点 出发，出发， 时趋向无穷远处，其渐近线夹角为：时趋向无穷远处，其渐近线夹角为：解解渐近线与实轴的交点为渐近线与实轴的交点为2007-2-2319控制工程基础控制工程基础1由上式可求由上式可求上式的根为上式的根为求
17、分离点：求分离点：分离点必位于分离点必位于0 0至至-1-1之间的线段上，之间的线段上，故故 为分离为分离点点d d的坐标。的坐标。2007-2-2320控制工程基础控制工程基础12007-2-2321控制工程基础控制工程基础1规则七、根轨迹的出射角和入射角规则七、根轨迹的出射角和入射角由相角条件可直接得到由相角条件可直接得到 出射角出射角: : 入射角：入射角：2007-2-2322控制工程基础控制工程基础1规则八规则八 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点 根轨迹与虚轴的交点就是闭环系统特征方程的纯虚根根轨迹与虚轴的交点就是闭环系统特征方程的纯虚根（实部为零）。（实部为零）。 (1) (1
18、) 用用 代入特征方程可得代入特征方程可得 令此方程中虚部为零，即可求得令此方程中虚部为零，即可求得 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点处的频率为处的频率为 。用。用 代入实部方程，即可求出系代入实部方程，即可求出系统开环根轨迹临界值统开环根轨迹临界值 。(2) (2) 利用利用劳斯表劳斯表求取。求取。将劳斯表中将劳斯表中s s2 2行系数构造的辅助方行系数构造的辅助方程求得。若根轨迹与虚轴的交点多于两个，则应取劳斯表程求得。若根轨迹与虚轴的交点多于两个，则应取劳斯表中大于中大于2 2的偶次方行的系数构造的辅助方程求得。的偶次方行的系数构造的辅助方程求得。2007-2-2323控制工程基础控
19、制工程基础1规则九、根轨迹的走向规则九、根轨迹的走向 当当n-m2n-m2满足时，随着满足时，随着K Kg g增加，一些根轨迹分支向左增加，一些根轨迹分支向左方移动，则另一些根轨迹分支将向右方移动。方移动，则另一些根轨迹分支将向右方移动。开环传递函数：开环传递函数：特征方程特征方程： 当满足当满足n-m2 n-m2 时，上式时，上式s sn-1n-1项将没有同次项可以合并，通项将没有同次项可以合并，通常把常把 称为极点的称为极点的“重心重心”。2007-2-2324控制工程基础控制工程基础1 当当 K Kg g变化时，极点的重心保变化时，极点的重心保持不变。所以，为了平衡持不变。所以，为了平衡
20、“重心重心”的位置，当一部分根轨迹随着的位置，当一部分根轨迹随着的增加向左方移动时，另一部分的增加向左方移动时，另一部分根轨迹将向右方移动。根轨迹将向右方移动。例例2007-2-2325控制工程基础控制工程基础1规则十、规则十、 根轨迹上根轨迹上k kg g值的计算值的计算根轨迹上任一点根轨迹上任一点S S1 1处的处的k kg g可由可由幅值条件幅值条件来确定。即来确定。即 = = 2007-2-2326控制工程基础控制工程基础1绘制根轨迹图的法则绘制根轨迹图的法则序号序号内内 容容规规 则则1 1起点终起点终点点起始于开环极点（含无限极点），终止于开环零点（含无限零点）。起始于开环极点（含
21、无限极点），终止于开环零点（含无限零点）。2 2分支数、分支数、对称性、对称性、连续性连续性分支数等于开环传递函数的极点数分支数等于开环传递函数的极点数 n n（n n m m），）， 或开环传递函数的零点数或开环传递函数的零点数 m m（m nm n）。）。对称于实轴且具有连续性。对称于实轴且具有连续性。3 3渐近线渐近线n n m m条渐近线相交于实轴上的同一点：条渐近线相交于实轴上的同一点：坐标为：坐标为： 倾角为：倾角为：4 4实轴上实轴上的分布的分布实轴的某一区间内存在根轨迹，则其右边开环传递函数的零点、实轴的某一区间内存在根轨迹，则其右边开环传递函数的零点、极点数之和必为奇数极点数
22、之和必为奇数2007-2-2327控制工程基础控制工程基础1序序号号内容内容规规 则则 5 5分离分离（会回（会回合）点合）点实轴上的分离（会合）点实轴上的分离（会合）点（必要条件）（必要条件）6 6出射角出射角入射角入射角复极点处的出射角：复极点处的出射角： 复零点处的入射角：复零点处的入射角：7 7虚轴交虚轴交点点（1 1）满足特征方程）满足特征方程 的的 值；值；（2 2）由劳斯阵列求得（及）由劳斯阵列求得（及k kg g相应的值）；相应的值）；8 8走向走向当当 时时 ， 一些轨迹向右，则另一些将向左。一些轨迹向右，则另一些将向左。9 9k kg g计算计算 根轨迹上任一点处的根轨迹上
23、任一点处的k kg g：2007-2-2328控制工程基础控制工程基础1 系统开环传递函数为系统开环传递函数为 试绘制根轨迹图试绘制根轨迹图解：开环极点：解：开环极点：0 0、-3-3、-1+j-1+j、-1-j-1-j 开环零点：开环零点：-2-2，3 3个无限零点个无限零点(1)(1)渐近线：应有渐近线：应有n-m=4 -1=3n-m=4 -1=3条渐近线，渐近线的倾角：条渐近线，渐近线的倾角： 渐近线与实轴的交点：渐近线与实轴的交点： (2) (2) 实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：0 -20 -2，- -3- -3例5-42007-2-2329控制工程基础控制工程基础1(3)(3)极点
24、极点-p-p3 3的出射角的出射角 ：不难求得极点：不难求得极点-p-p1 1、-p-p2 2、-p-p4 4到到-p-p3 3的幅角分别的幅角分别 、 、 , ,有限零点有限零点-z-z1 1到到p p3 3的幅角为的幅角为所以所以同理不难求得极点同理不难求得极点-p-p4 4处的出射角：处的出射角：(4)(4)根轨迹与虚轴的交点：根轨迹与虚轴的交点： 方法一：由特征方程求：方法一：由特征方程求： 特征方程特征方程 ：2007-2-2330控制工程基础控制工程基础1实部方程：实部方程： 虚部方程：虚部方程： 解得：解得：方法二：由劳斯阵列求：方法二：由劳斯阵列求：列出劳斯阵列列出劳斯阵列 令
25、令s s1 1行为零，即行为零，即 得得K Kg g =7=7，再根据，再根据 行行s s2 2得辅助方程：得辅助方程：( (舍去舍去) )2007-2-2331控制工程基础控制工程基础1S0j-3-2-2-1+j-1-j2007-2-2332控制工程基础控制工程基础12007-2-2333控制工程基础控制工程基础1例5-5, ,绘制以绘制以T T为参数的根轨迹。为参数的根轨迹。 设某系统的开环传递函数为：设某系统的开环传递函数为： 5.3 5.3 广义根轨迹广义根轨迹 前面介绍的根轨迹绘制法则前面介绍的根轨迹绘制法则, ,只适用于以放大系数只适用于以放大系数 为参为参量的情况量的情况, ,如
26、果变化参数为其它参数情况将如何处理？如果变化参数为其它参数情况将如何处理？解解根据根轨迹的定义根据根轨迹的定义, ,根轨迹是闭环极点随某个参量变化在根轨迹是闭环极点随某个参量变化在s s平面上留下的轨迹平面上留下的轨迹, ,故根轨迹上的点满足闭环特征方程故根轨迹上的点满足闭环特征方程 ：2007-2-2334控制工程基础控制工程基础1是一样的是一样的, ,我们我们将具有相同闭环特征方程的开环传递函数将具有相同闭环特征方程的开环传递函数称为称为相互等效的开环传递函数相互等效的开环传递函数（简称为（简称为等效传递函数等效传递函数）。）。 具有相同的闭环特征方程具有相同的闭环特征方程, ,则随则随t
27、 t从从 变化变化, ,其根轨迹其根轨迹 总有一种等效开环传递函数总有一种等效开环传递函数, ,可将变化参数位于放大系可将变化参数位于放大系数数 的位置的位置. .这时就可利用前面的规则了。这时就可利用前面的规则了。2007-2-2335控制工程基础控制工程基础1解解(4) (4) 为使系统对速度输入的稳态误差为零为使系统对速度输入的稳态误差为零, ,加怎样的环加怎样的环 节可使系统稳定。节可使系统稳定。绘制绘制 的根轨迹，确定的根轨迹，确定: :例5-6(3) (3) 在该系统中增加一个怎样的环节在该系统中增加一个怎样的环节, ,可使系统不论可使系统不论 怎样变化都稳定。怎样变化都稳定。(1
28、)(1) 为何值系统非振荡稳定为何值系统非振荡稳定, ,振荡稳定振荡稳定, ,不稳定不稳定? ?(2) (2) 求使系统具有求使系统具有 时的时的 值。值。(1)(1)分离点分离点: : 渐近线渐近线: : 2007-2-2336控制工程基础控制工程基础1与虚轴交点与虚轴交点: : 分离点处分离点处 的值的值由此可见由此可见: : 振荡稳定振荡稳定 无振荡稳定无振荡稳定临界稳定临界稳定不稳定不稳定 (2)(2)在在 时时, ,极点为极点为: : 代入闭环特征方程代入闭环特征方程: :解得解得:s=-0.45+j0.45, :s=-0.45+j0.45, 2007-2-2337控制工程基础控制工
29、程基础1 ( (一般一般a0,d0a0,d0为好为好, ,是最小相位是最小相位系统系统) )(4)(4)如果使系统速度输入误差为零如果使系统速度输入误差为零, ,则系统应是则系统应是IIII型的型的, ,那么从开环零那么从开环零, ,极点分布图上可见极点分布图上可见: :应该附加两个应该附加两个零点零点, , 系统才可能完全稳定下来。系统才可能完全稳定下来。渐近线渐近线: : (3)(3)增加一零点增加一零点(s+a)(s+a)有可能使系统完全稳定有可能使系统完全稳定, ,此时渐近线此时渐近线: : 否则否则, ,在在 时时, ,根轨迹有可能与根轨迹有可能与纵轴相交。纵轴相交。2007-2-2
30、338控制工程基础控制工程基础1解解开环传递函数为：开环传递函数为： 绘制根轨迹绘制根轨迹, , 并证明有一段根轨迹为圆（并证明有一段根轨迹为圆（a,pa,p为实数为实数) )。例5-7根据相角条件可知：根据相角条件可知：令令 两边取正切变换：两边取正切变换：圆心圆心 ， 半径半径2007-2-2339控制工程基础控制工程基础1下面验证半径是零点到分离点或汇合点的距离：下面验证半径是零点到分离点或汇合点的距离：分离点：由分离点：由 ，得，得2007-2-2340控制工程基础控制工程基础15.4 5.4 零度根轨迹零度根轨迹如果系统的开环传递函数的放大系数如果系统的开环传递函数的放大系数 为负为
31、负, ,的相角条件的相角条件, ,此根轨迹称为此根轨迹称为 根轨迹。根轨迹。前面讨论的根轨迹均是满足前面讨论的根轨迹均是满足设设开环传递函数为：开环传递函数为：其闭环特征方程为其闭环特征方程为: : 对应的即是零度对应的即是零度 根轨迹。根轨迹。相角条件为相角条件为: : 2007-2-2341控制工程基础控制工程基础1 在绘制在绘制 根轨迹时，只需在根轨迹时，只需在 根轨迹的画根轨迹的画法规则中，与相角条件有关的规则作相应的修改。法规则中，与相角条件有关的规则作相应的修改。规则三规则三 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹 实轴上，若某线段右侧的开环实数零、极点个数之和为实轴上，若某线段右侧的开环实
32、数零、极点个数之和为偶数偶数，则此线段为根轨迹的一部分。，则此线段为根轨迹的一部分。规则四规则四 渐近线渐近线 渐近线与实轴的交点位置渐近线与实轴的交点位置 和与实轴正方向的和与实轴正方向的交角交角 分别为：分别为：2007-2-2342控制工程基础控制工程基础1规则六、根轨迹的出射角和入射角规则六、根轨迹的出射角和入射角入射角：入射角：由相角条件可直接得到由相角条件可直接得到: : 出射角出射角: : 2007-2-2343控制工程基础控制工程基础1 由由修修改改后后的的规规则则三三知知，实实轴轴上上的的根根轨轨迹迹是是由由0 0至至+线段和由线段和由-1-1至至-2-2线段。线段。 由由修
33、修改改后后的的规规则则四四知知，渐渐近近线线与与实实轴轴正正方方向向的的夹夹角角分分别别是是: : 0(k 0(k = = 0)0)、120(k 120(k = = 1)1)、-120 -120 (k (k = = 2)2)。 渐近线与实轴的交点为渐近线与实轴的交点为-1-1。已知已知正反馈正反馈系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为 试绘制该系统的根轨迹图。试绘制该系统的根轨迹图。 例5-8解解2007-2-2344控制工程基础控制工程基础1 由由规规则则五五求求出出的的极极值值方方程程的的解解有有两两个个，即即 ， ，由由于于是是正正反反馈馈，实实轴轴上上的的根根轨轨迹迹改改变变了了。因
34、因为为 不不在在实实轴轴根根轨轨迹迹上上，舍舍去去。可可见见，虽虽然然规规则则五五没没改改变变，但但在在确确定定分分离离点点时应考虑规则三变化。时应考虑规则三变化。 sswj1)0(PKr=rK0120-120-1rKrK3)0(PKr=)0(2=rKP-22a 根轨迹如图所示。可看出，有根轨迹如图所示。可看出，有一条从起点到终点全部位于一条从起点到终点全部位于S S平面平面右半部的根轨迹，这意味着无论右半部的根轨迹，这意味着无论KrKr为何值，系统都存在为何值，系统都存在S S平面右半部平面右半部的闭环极点，表明的闭环极点，表明系统总是不稳定系统总是不稳定的的。在开环传递函数相同的情况下，在
35、开环传递函数相同的情况下，负反馈系统的稳定性比正反馈系统负反馈系统的稳定性比正反馈系统好。好。2007-2-2345控制工程基础控制工程基础15.5 5.5 系统性能分析系统性能分析 一、闭环主导极点的概念一、闭环主导极点的概念 在工程实际中，常常用主导极点的概念对系统进行分析，在工程实际中，常常用主导极点的概念对系统进行分析，这样可使系统分析简化。下面研究闭环传递函数的系统。这样可使系统分析简化。下面研究闭环传递函数的系统。 闭环主导极点闭环主导极点指的是闭环极点中离虚轴最近，而附近有无指的是闭环极点中离虚轴最近，而附近有无其它闭环零、极点或闭环偶极子的实数或共轭复数极点。其它闭环零、极点或
36、闭环偶极子的实数或共轭复数极点。 闭环偶极子闭环偶极子 是一对彼此相近的闭环零点和闭环极点，偶是一对彼此相近的闭环零点和闭环极点，偶极点若不十分靠近坐标原点，即可以认为零点和极点的影响极点若不十分靠近坐标原点，即可以认为零点和极点的影响彼此相消。彼此相消。 闭环的极点和零点闭环的极点和零点 对闭环系统的响应都有影响，但它们对闭环系统的响应都有影响，但它们影响程度是不一样的，对闭环响应影响最大的是主极点。影响程度是不一样的，对闭环响应影响最大的是主极点。2007-2-2346控制工程基础控制工程基础1二、增加开环零点对根轨迹的影响二、增加开环零点对根轨迹的影响 从下面的例子中，可看到附加开环零点
37、对根轨迹的影响。从下面的例子中，可看到附加开环零点对根轨迹的影响。解解已知系统的开环传递函数为：已知系统的开环传递函数为：试用根轨迹法分析系统的稳定性。如果给该系统增加一试用根轨迹法分析系统的稳定性。如果给该系统增加一个开环零点，试分析附加开环零点对根轨迹的影响。个开环零点，试分析附加开环零点对根轨迹的影响。例5-9 原系统的根轨迹有两条根轨迹分支完全位于原系统的根轨迹有两条根轨迹分支完全位于S S平面的右半部，故该系统无论平面的右半部，故该系统无论 为何值都是不稳定的。为何值都是不稳定的。2007-2-2347控制工程基础控制工程基础1 当当b ba a时时，根根轨轨迹迹的的渐渐近近线线与与
38、实实轴轴的的交交点点为为 ，与与原原系系统统相相比比较较，虽虽然然根根轨轨迹迹的的形形状状发发生生了了变变化化，但但仍仍有有两条根轨迹全部位于两条根轨迹全部位于S S平面右半部，系统仍然是不稳定的。平面右半部，系统仍然是不稳定的。 如果给原系统增加一个负开环实零点如果给原系统增加一个负开环实零点 （b b0 0），则开环传递函数为），则开环传递函数为: : 当当b ba a时时，根根轨轨迹迹的的渐渐近近线线与与实实轴轴的的交交点点为为 ，它它们们与与实实轴轴正正方方向向的的夹夹角角分分别别为为9090和和-90-90，三三条条根根轨轨迹迹均均在在S S平平面面左左半半部部。这这时时无无论论开开
39、环环根根轨轨迹迹增增益益KrKr为为何何值值，系系统统都是稳定的。都是稳定的。 分析可知，分析可知，附加开环零点能使不稳定的系统变为稳定系统，附加开环零点能使不稳定的系统变为稳定系统，但附加零点的取值要适当，否则便达不到预期的目的但附加零点的取值要适当，否则便达不到预期的目的。2007-2-2348控制工程基础控制工程基础1原系统的根轨迹原系统的根轨迹附加零点的根轨迹附加零点的根轨迹2007-2-2349控制工程基础控制工程基础1本章小结本章小结根轨迹的有关概念根轨迹的有关概念 幅值条件；相角条件；等效传递函数；幅值条件；相角条件；等效传递函数； 根轨迹；根轨迹； 根轨迹根轨迹根轨迹的绘制根轨迹的绘制 根轨迹的绘制、根轨迹的绘制、 根轨迹的绘制根轨迹的绘制根轨迹的应用根轨迹的应用 判定稳定性；确定系统稳定的参数取值判定稳定性；确定系统稳定的参数取值 范围；确定系统振荡稳定、非振荡稳定的范围；确定系统振荡稳定、非振荡稳定的 参数取值范围；附加零极点对系统的影参数取值范围；附加零极点对系统的影 响响2007-2-2350控制工程基础控制工程基础1
