高等数学(下)微分方程

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1、微分方程 第十二章 积分问题积分问题 微分方程问题微分方程问题 推广 一阶微分方程高阶微分方程微分方程的基本概念 第一节微分方程的基本概念微分方程的基本概念引例引例 几何问题几何问题物理问题物理问题 第十二章 引例引例1. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的解解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:(C为任意常数)由 得 C = 1,因此所求曲线方程为由 得切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 引例引例2. 列车在平直路上以的速度行驶, 制动时获得加速度求制动后列车的运动规律.解解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 ,已知由前一式两次积分, 可得利用后

2、两式可得因此所求运动规律为即求 s = s (t) .常微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫做微分方程微分方程 .方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(本章内容)( n 阶显式微分方程)微分方程的基本概念微分方程的基本概念一般地 , n 阶常微分方程的形式是的阶阶.分类或引例2 使方程成为恒等式的函数.通解通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程 确定通解中任意常数的条件.n 阶方程的初始条件初始条件( (或初值条件或初值条件) ):的阶数相同.特解特解引例1 通解:特解:微分方程的解解 不含任意常数的解, 定解条件定解条件 其图形称为积分曲线积分曲线. .线性：未知函数及其各

3、阶导数都是一次的。第二节 第十二章 一阶微分方程一、可分离变量微分方程二、齐次方程三、全微分方程（数一）四、一阶线性微分方程一、可分离变量微分方程 转化 解分离变量方程解分离变量方程 可可分离变量方程分离变量方程 分离变量方程的解法分离变量方程的解法:设 y (x) 是方程的解, 两边积分, 得 则有恒等式 当G(y) 与F(x) 可微且 G(y) g(y)0 时, 说明由确定的隐函数 y(x) 是的解. 则有称为方程的隐式通解, 或通积分.同样,当F(x)= f (x)0 时,上述过程可逆,由确定的隐函数 x(y) 也是的解. 例例1. 求微分方程的通解.解解: 分离变量得两边积分得即( C

4、 为任意常数 )或说明说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、减解.( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )例例2. 解初值问题解解: 分离变量得两边积分得即由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 )故所求特解为例例3. 求下述微分方程的通解:解解: 令 则故有即解得( C 为任意常数 )所求通解:练习练习:解法解法 1 分离变量即( C 0 )解法解法 2故有积分( C 为任意常数 )所求通解:二、齐次方程 一、齐次方程一、齐次方程二、可化为齐次方程二、可化为齐次方程一、齐次方程一、齐次方程形如的方程叫做齐次方程齐次方程 .令代入原方程得两边积分, 得积分后再用代

5、替 u, 便得原方程的通解.解法:分离变量: 例例1. 解微分方程解解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)( C 为任意常数 )例例2. 解微分方程解解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即说明说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在(C 为任意常数)求解过程中丢失了. ( h, k 为待 二、可化为齐次方程的方程二、可化为齐次方程的方程(数一数一)作变换原方程化为 令 , 解出 h , k (齐次方程)定常数), 求出其解后, 即得原方 程的解.原方程可化为 令(可分离变量方程)注注: 上

6、述方法可适用于下述更一般的方程 例例4. 求解解解:令得再令 YX u , 得令积分得代回原变量, 得原方程的通解:得 C = 1 , 故所求特解为思考思考: 若方程改为 如何求解? 提示提示:三、一阶线性微分方程 一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程二、伯努利方程二、伯努利方程 一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若 Q(x) 0, 若 Q(x) 0, 称为非齐次方程非齐次方程 .1. 解齐次方程分离变量两边积分得故通解为称为齐次方程齐次方程 ;对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2. 解非齐次方程用常数变易法常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端

7、积分得例例1. 解方程 解解: 先解即积分得即用常数变易法常数变易法求特解. 令则代入非齐次方程得解得故原方程通解为例2、解：例例3. 求方程的通解 .解解: 注意 x, y 同号,由一阶线性方程通解公式通解公式 , 得故方程可变形为所求通解为 这是以为因变量, y为 自变量的一阶线性方程例4、解微分方程解：方程变形为令方程化为二、伯努利二、伯努利 ( Bernoulli )方程（数一）方程（数一） 伯努利方程的标准形式:令求出此方程通解后,除方程两边 , 得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法解法:(线性方程)例例4. 求方程的通解.解解: 令则方程变形为其通解为将代入, 得原方程通解: 内

8、容小结内容小结1. 一阶线性方程方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法.方法2 用通解公式化为线性方程求解.2. 伯努利方程思考与练习思考与练习判别下列方程类型:提示提示: 可分离 变量方程齐次方程线性方程线性方程伯努利方程1. 求一连续可导函数使其满足下列方程:提示提示:令则有利用公式可求出2. 设有微分方程其中试求此方程满足初始条件的连续解.解解: 1) 先解定解问题利用通解公式, 得利用得故有2) 再解定解问题此齐次线性方程的通解为利用衔接条件得因此有3) 原问题的解为四、全微分方程（数一） 判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数, 为全微分方程 则求解步骤:方法1 凑微分

9、法;方法2 利用积分与路径无关的条件.1. 求原函数 u (x, y)2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .一、全微分方程一、全微分方程则称为全微分方程.例例1. 求解解解: 因为故这是全微分方程. 则有因此方程的通解为例例2. 求解解解: 这是一个全微分方程 .用凑微分法求通解. 将方程改写为即故原方程的通解为或可降阶高阶微分方程 第三节一、一、 型的微分方程型的微分方程 二、二、 型的微分方程型的微分方程 三、三、 型的微分方程型的微分方程 （数一、数二）一、一、令因此即同理可得依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .型的微分方程型的微分方程 例例

10、1. 解解: 型的微分方程型的微分方程 设原方程化为一阶方程设其通解为则得再一次积分, 得原方程的通解二、二、例例3. 求解解解: 代入方程得分离变量积分得利用于是有两端再积分得利用因此所求特解为三、三、型的微分方程型的微分方程 令故方程化为设其通解为即得分离变量后积分, 得原方程的通解例例4. 求解代入方程得两端积分得(一阶线性齐次方程)故所求通解为解解:例例5. 解初值问题解解: 令代入方程得积分得利用初始条件,根据积分得故所求特解为得为曲边的曲边梯形面积上述两直线与 x 轴围成的三角形面例例6.二阶可导, 且上任一点 P(x, y) 作该曲线的切线及 x 轴的垂线,区间 0, x 上以解

11、解:于是在点 P(x, y) 处的切线倾角为 ,满足的方程 .积记为( 99 考研考研 )再利用 y (0) = 1 得利用得两边对 x 求导, 得定解条件为方程化为利用定解条件得得故所求曲线方程为内容小结内容小结可降阶微分方程的解法 降阶法逐次积分令令第四节 第十二章 高阶微分方程1、高阶微分方程解的结构2、常系数齐次线性微分方程3、常系数非齐次线性微分方程一、高阶线性微分方程解的结构 一、线性齐次方程解的结构一、线性齐次方程解的结构 二、线性非齐次方程解的结构二、线性非齐次方程解的结构 n 阶线性微分方程阶线性微分方程的一般形式为为二阶线性微分方程. 时, 称为非齐次方程 ; 时, 称为齐

12、次方程.复习复习: 一阶线性方程通解:非齐次方程特解齐次方程通解Y证毕一、线性齐次方程解的结构一、线性齐次方程解的结构是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.证证:代入方程左边, 得(叠加原理) 定理定理1.说明说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解 并不是通解但是则为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 定义定义:是定义在区间 I 上的 n 个函数,使得则称这 n个函数在 I 上线性相关线性相关, 否则称为线性无关线性无关.例如在( , )上都有故它们在任何区间 I 上都线性相关线性相关;又如，若在某区间 I 上则根据二次

13、多项式至多只有两个零点 ,必需全为 0 ,可见在任何区间 I 上都 线性无关线性无关.若存在不全为不全为 0 的常数两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件充要条件:线性相关存在不全为 0 的使( 无妨设线性无关常数思考思考:中有一个恒为 0, 则必线性相关相关线性无关定理定理 2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解, 则数) 是该方程的通解.例如例如, 方程有特解且常数,故方程的通解为推论推论. 是 n 阶齐次方程 的 n 个线性无关解, 则方程的通解为二、线性非齐次方程解的结构二、线性非齐次方程解的结构 是二阶非齐次方程的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解,定理定理

14、3.则是非齐次方程的通解 .证证: 将代入方程左端, 得是非齐次方程的解, 又Y 中含有两个独立任意常数,例如例如, 方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为证毕因而 也是通解 .定理4、若是二阶非齐次方程的特解, 则是齐次方程的解。证明：证明：两式相减定理定理 5.分别是方程的特解,是方程的特解. (非齐次方程之解的叠加原理) 定理3, 定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程. 定理定理 6.是对应齐次方程的 n 个线性无关特解, 给定 n 阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解, 则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解常数, 则该方程的通解是 ( ).设线性无关函数都是二阶非齐

15、次线性方程的解, 是任意例例1.提示提示:都是对应齐次方程的解,二者线性无关 . (反证法可证)(89 考研考研 )例例2. 已知微分方程个解求此方程满足初始条件的特解 .解解:是对应齐次方程的解, 且常数因而线性无关, 故原方程通解为代入初始条件故所求特解为有三 例3、（10、二、三）设是一阶线性齐次微分方程的两个特解，若常数使的解，则 （ ） 是该方程是该方程对应的齐次方程的解，A. B. C. D. 二、常系数 齐次线性微分方程 基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程(代数方程)之根转化二阶常系数齐次线性微分方程:和它的导数只差常数因子,代入得称为微分方程的特征方程特征方程,

16、1. 当时, 有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为( r 为待定常数 ),所以令的解为 则微分其根称为特征根特征根.2. 当时, 特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解( u (x) 待定)代入方程得:是特征方程的重根取 u = x , 则得因此原方程的通解为3. 当时, 特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解: 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为小结小结:特征方程:实根 特 征 根通 解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .若特征方程含 k 重复根若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项则其通解中必含对应

17、项特征方程: 推广推广:例例1.的通解.解解: 特征方程特征根:因此原方程的通解为例例2. 求解初值问题解解: 特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为例例4.的通解. 解解: 特征方程特征根:因此原方程通解为例例5.解解: 特征方程:特征根 :原方程通解:(不难看出, 原方程有特解例例6. 解解: 特征方程:即其根为方程通解 :例例7.解解: 特征方程:特征根为则方程通解 :内容小结内容小结特征根:(1) 当时, 通解为(2) 当时, 通解为(3) 当时, 通解为可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解 .解解:

18、根据给定的特解知特征方程有根 :因此特征方程为即故所求方程为其通解为（小综合）三、常系数非齐次线性微分方程 一、一、二、二、二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理 , 其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法待定系数法一、一、 为实数 ,设特解为其中 为待定多项式 , 代入原方程 , 得 (1) 若 不是特征方程的根, 则取从而得到特解形式为为 m 次多项式 .Q (x) 为 m 次待定系数多项式(2) 若 是特征方程的单根 , 为m 次多项式, 故特解形式为(3) 若 是特征方程

19、的重根 , 是 m 次多项式,故特解形式为小结小结 对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .即即当 是特征方程的 k 重根 时,可设特解例例1.的一个特解.解解: 本题而特征方程为不是特征方程的根 .设所求特解为代入方程 :比较系数, 得于是所求特解为例例2. 的通解. 解解: 本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数, 得因此特解为代入方程得所求通解为例例3. 求解定解问题解解: 本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为代入方程得故故对应齐次方程通解为原方程通解为由初始条件得于是所求解为解得二、二、第二步第二步 求出如下两个方程的特解分析思路:第一步第一步 将

20、 f (x) 转化为第三步第三步 利用叠加原理求出原方程的特解第四步第四步 分析原方程特解的特点对非齐次方程则可设特解:其中 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 上述结论也可推广到高阶方程的情形.例例4. 的一个特解 .解解: 本题 特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数 , 得于是求得一个特解例例5. 的通解. 解解: 特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数, 得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根 ,因此设非齐次方程特解为例例6.解解: (1) 特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为(2) 特征方程有根利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为设下

21、列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:内容小结内容小结 为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根, 则设特解为为特征方程的 k (0, 1 )重根, 则设特解为3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.第五节欧拉方程（数一） 欧拉方程欧拉方程 常系数线性微分方程 第十二章 欧拉方程的算子解法欧拉方程的算子解法: 则计算繁! 则由上述计算可知: 用归纳法可证 于是欧拉方程 转化为常系数线性方程:例例1. 解解:则原方程化为亦即其根则对应的齐次方程的通解为特征方程 的通解为换回原变量, 得原方程通解为设特解:代入确定系数, 得例例2.解解: 将方程化为(欧拉方程) 则方程化为即特征根:设特解:代入

22、 解得 A = 1,所求通解为 例例3.解解: 由题设得定解问题则化为特征根: 设特解: 代入得 A1 第六节差分方程(数三)一、差分的概念设取非负整数，表示函数值是一个数列关于函数的一阶差分例如：二阶差分：记做二、差分的性质三、差分方程含未知函数及其差分的方程叫做差分方程差分方程 . 使方程成为恒等式的函数.通解通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同.特解特解差分方程的解解 不含任意常数的解, 阶：差分的最高阶，即下标最大最小值的差例如：一阶常系数线性差分方程解法：齐次非齐次齐次方程： 特征方程即特征根为对应的通解为非齐次方程的通解=对应的齐次方程的通解+特解()令特解当取当取()令特解当取当取()令特解例1、 求差分方程满足的特解。解：代入得，由初值条件例2、 求差分方程解：特征方程齐次的通解代入方程得所以，差分方程的通解为