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1、第16章 一些特殊流动N-S方程精确解库埃特流动和泊肃叶流动1讲课材料16.1 引言4平行流：流线是直的，且互相平行4本章内容： N-S方程精确解，包括4 库埃特和泊肃叶流4基本概念：表面摩擦(skin fraction)4 热传导(heat transfer)4 恢复因子(recovery factor)4 雷诺比拟(Renolds analogy)2讲课材料 库埃特流动3讲课材料16.2 COUETTE FLOW(库埃特流): GENERRAL DISCUSSION 边界条件4At y=D: u=ue , T=Te。4上界流体和与动平板间的摩擦剪力e4热传导qe4平行流线（Paralel
2、streamline）4At y=0: u=0 , T=Tw。4下界流体和与动平板间的摩擦剪力w4热传导qw4讲课材料y方向的热流量 qy=-k dT/dy (15.2)流动方向从温度高的壁面流向温度低的冷壁：热量传输从流体到壁面热壁：热量传输从壁面到流体温度场：1.平板上下温度一般不同,产生温度梯度2. 动能由摩擦消耗变成内能,内能的变化由温度升高显示出来（粘性耗散）5讲课材料无穷长平行流动特点任何特性沿x方向不变,(任何量如果变化,就会变到无穷大或者无穷小)v=w=0 u/x= T/x= p/x=0考虑定常流，应用到粘性流动方程组：6讲课材料得到：x-momentum equation:
3、/y( u/y)=0 (16.1)y-momentum equation: p/y=0 (16.2)Energy equation: /y( kT/y)+ /y( uu/y)=0 (16.3)7讲课材料方程16.1到16.3 是严格的由ns方程得来(16.2) p/y=0代表垂直方向没有梯度,和以前的结果 p/x=0联系说明整个流场内部没有压力梯度.以前I和II章讲的无粘流都需要压力梯度来推动流动,现在讨论的粘性流动系另外一种可以对流体施加外力的流动库埃塔流动中运动平板对流体产生的剪力维持流体流动8讲课材料16.3 不可压流体库埃特流动下面先讲不可压流体（可压缩的不同，在16.4讲）库埃特流动
4、中由于在x方向没有变化,只有y方向的变化所以偏微分方程变成常微方程 d/dy ( du/dy)=0然而实际上大多数粘性流动总是表达为偏微分方程,所以为了教学目的我们还继续采用偏微分符号. /y( u/y)=0 (16.1)9讲课材料动量方程,都是常数. 为常数（不可压）, ,都是温度函数， T为常数时,为常数. d/dy ( du/dy)=0对为常数时,上式可以化为: 2u/ y2=0.积分得到u=ay+b10讲课材料代入边界条件At y=0,u=0; = b=0. At y=D,u=ue; = a=ue/D . 所以 u=ue(y/D).x向速度线性分布 剪力e= du/dy. 代入 u/y
5、=ue/D . 所以e= (ue/D)剪应力在全场为常值11讲课材料12讲课材料两个重要的趋势：4由e= (ue/D)可知，4Ue增加,剪力增加。4板间距增加,剪力减小以上论述限于牛顿流体:4符合牛顿内摩擦定律的流体称牛顿流体。4大部分航空气动问题属于牛顿流体。4非牛顿流体,血液,有机化合物. 。 13讲课材料能量方程4傅立叶热传导定律，qy=-k dT/dy (15.2)4/y( kT/y)+ /y( uu/y)=0 (16.3)4T变化不大时, ,变化不大,都看成是常数4即使很小的温度变化，也会引起明显的热通量4为简化研究，认为温度T沿y方向变化，但忽略,随温度的很小变化,认为其为常数14
6、讲课材料4At y=0: T=Tw。4At Y=D:T=Te4 (k/)2T/y2+ /y(uu/y)=0 。4应用焓h=CpT，Cp定压比热，常数压力时Cp k/(Cp) 2h/y2+ /y(uu/y)=04代入普朗特数的定义Pr= Cp./k得:41/Pr 2h/y2+ /y(uu/y)=042h/y2+ Pr/2 /y(u2/y)=04注意：上述公式反映了普朗特数Pr的含义15讲课材料对于库艾特流能量方程积分得到4h+Pr/2 u2 =ay+b。4代入边条4 y=0，T=Tw。4 y=D，T=Te 得到4b=hw4a=he-hw+(Pr/2)ue2/D16讲课材料将a,b代入h+Pr/2
7、 u2 =ay+b得4代入u的结果，u=ue(y/D)17讲课材料热流量4qy=-k T/ y=-k/cp h/ y4因h=hw +he-hw+(Pr/2) ue2 y/D 4 -(Pr/2) ue2(y/D)24微分得4 h/ y=he-hw+(Pr/2) ue2 /D -Pr ue2y/D24qy=-(he-hw)/Pr+1/2ue2 /D4 + ue2y/D218讲课材料4因ue2y/D2= uey/D= u，故4qy=-(he-hw)/Pr+1/2ue2 /D + u4 式中 u即为粘性耗散4若忽略 u（ ue很小时 u很小），上式为 qy=-(he-hw)/(PrD)4壁面时仅考虑热
8、流量的绝对值 qw=-k/cp| h/ y |w4下壁面y=0 qw= |(he-hw)/Pr+1/2ue2/D |4上壁面y=D h/ y=he-hw+(Pr/2) ue2 /D-Pr ue2y/D = he-hw-(Pr/2) ue2 /D qw= |(he-hw)/Pr-1/2ue2/D |19讲课材料分三种情况讨论热流量、焓、温度 (1)忽略粘性耗散4qy=-(he-hw)/(PrD)4h=hw +he-hw y/D4T=Tw +Te-Tw y/D4下壁面y=0 qw= |(he-hw)/ Pr/D |4上壁面y=D qw= |(he-hw)/Pr/D |或qw=k | (Te-Tw
9、) /D|20讲课材料忽略粘性耗散温度型沿Y轴线性分布21讲课材料（2）等壁面温度4条件Te=Tw, he=hw4h=hw +Pr/2ue2( y/D)4 -(Pr/2) ue2(y/D)24T=Tw +Pr/(2cp)ue2( y/D)-(y/D)24Y=D/2, Tmax= Tw +Pr/(8cp)ue24前面已知qy=-(he-hw)/Pr+1/2ue2 /D + ue2y/D24下壁面y=0 qw=-/2ue2/D4上壁面y=D qw=/2ue2/D4变形后qw=/2ue2/D=（ue/2)4结论22讲课材料等壁面温度的温度型 热量传输由粘性耗散产生23讲课材料（3）绝热壁 （以下壁为
10、例）4qw= |(he-hw)/Pr+1/2ue2/D |4下壁面t=0, qw=/2ue2/D4t0, qw/2ue2/D4绝热壁 qw=0 ( h/ y)w=0. (T/ y)w=0 he-haw+(Pr/2) ue2=0 绝热壁焓haw=he+(Pr/2) ue2 绝热壁温度Taw=Te+(Pr/(2cp) ue224讲课材料热流密度变化下璧温度变化最后达到平衡态4此时he-haw+(Pr/2) ue2=04绝热壁时hw=haw绝热壁焓4因此流体焓h=haw +he-haw+(Pr/2) ue2 y/D -(Pr/2) ue2(y/D)2=haw -(Pr/2) ue2(y/D)24流体
11、温度T=Taw -(Pr/2cp) ue2(y/D)24y=0, (T/ y)w=025讲课材料下璧绝热壁的温度型26讲课材料恢复因子 recovery Factor总焓h0=he+(1/2) ue2绝热壁面焓haw=he+(Pr/2) ue2绝热壁面温度Taw=Te+Pr/(2cp) ue2通用化haw=he+r ue2/2Taw=Te+r ue2/(2cp)r称为恢复因子r=(haw-he)/(h0-he)=(Taw-Te)/(T0-Te)27讲课材料雷诺类推reynolds analogy4表面摩擦系数Cf=w/(1/2eue2)= (ue/D)/(1/2eue2) =2 /(eueD)
12、=2/Re4传热系数cH= qw/(eue (haw-he) qw= (he-hw)/Pr+1/2ue2/D =/Pr (he-hw)+1/2Prue2/D 又 haw=he+(Pr/2) ue2 = /Pr hae-hw/D cH= /Pr haw-hw/D /(eue (haw-he) =1/(PrRe)故cH/Cf=Pr-1/2雷诺类推=传热系数/表面摩擦系数对不可压流，仅为Pr的函数28讲课材料16.4 可压库埃特流动4定义4速度变化很大，温度变化必须考虑，T=T(y)4,k是温度函数，故为y的函数4压力像不可压库埃特流一样全场为常数4=p/(RT),故= （T）29讲课材料流动控制方
13、程4动量方程 （ u/ y）/ y= / y=04能量方程 （ k T/ y）/ y+ （u u/ y）/ y = 0 改写为（应用了动量方程） （ k T/ y）/ y+ u/ y = 0 非线性常微分方程，无解析解，仅能求数值解 30讲课材料按常微分方程的记法并利用= （T）d/d y= (d/dT)(dT/d y)d (k dT/ d y）/ dy+ (du/dT)(dT/d y) = 0边界条件y=0,T=Tw; y=D,T=Te两点边界值问题整理后方程组为 （ u/ y）/ y= / y=0d (k dT/ d y）/ dy+ (du/dT)(dT/d y) = 0= （ue/D）边
14、界条件y=0,T=Tw; y=D,T=Te31讲课材料数值解法打靶法1.假设,如= （ue/D）、u(y)不可压解为初值2.边界条件y=0,T=Tw;y=D,T=Te变为 边界条件y=0,T=Tw;y=0, (dT/d y)w已知 通常为不可压流解 求解 d (k dT/ d y）/ dy+ (du/dT)(dT/d y) = 03.直到y=D,检查T=Te?,否则重假设(dT/d y)w，回到2步计算，重复直到T=Te 得到了T=T(y)32讲课材料4.T=T(y)_ = (y)5.du/dy= / ，利用1步的和 边界条件y=0,u=0求解上式6.直到y=D,检查u=ue？，否则，另假设进
15、行5步，反复直到u=ue7.用6步得到的，重新进行2-7,得到最终收敛的（大循环）33讲课材料时间相关有限差分法二维非定常流N-S方程34讲课材料4能量方程35讲课材料MacCormack法4网格划分4流入边界条件，x=0,用不可压流的解给u,v,p,T4初始条件，t=0, u,v,p,T.用不可压流解或均匀值36讲课材料预测-校正法，以x轴动量方程为例预测步37讲课材料校正步用向后查分38讲课材料重复预测-校正在下一时间步，得到结果39讲课材料上述格式为显示有限差分法，存在稳定性限制4格式的稳定性4CFL数，稳定性条件4tx= x/(u+a), ty= y/(v+a)4全场取最小值40讲课材
16、料可压库埃特流结果冷壁，速度和温度型4速度型影响小，温度型影响大41讲课材料绝热壁4速度型影响和温度型影响比冷壁大42讲课材料解析分析一些量随温度的变化 Pr近似常数43讲课材料能量方程恢复因子44讲课材料对于可压库埃特流，为常数4积分得h/Pr+u2/2-bu=c，积分时Pr为常数4按边界条件，y=0,h=hw,u=045讲课材料4按边界条件，y=D,h=he,u=ue得4代入b,c则46讲课材料可压库埃特流，恢复因子可压库埃特流，恢复因子r=Pr47讲课材料雷诺类推？48讲课材料49讲课材料50讲课材料对于常数Pr数，雷诺类推与不可压流相同51讲课材料泊肃叶流动4两静止平板，压力驱动52讲课材料控制方程53讲课材料速度分布54讲课材料55讲课材料剪应力56讲课材料实验结果完全发展流概念57讲课材料总结库埃特流58讲课材料泊肃叶流动59讲课材料
