主章节杨先林教授

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1、主讲：杨先林主讲：杨先林 教授教授高等数学基础一元函数微分学高等数学基础一元函数微分学重难点讲解重难点讲解酪愉郸怖瞧秽纯宛顿迂翰吧玄痘躺琐腿欠虏贰良络累玉獭舞阅识氖袁噪莎主章节杨先林教授主章节杨先林教授一、函数一、函数一、函数一、函数1.1.函数的定义域函数的定义域2.2.复合函数复合函数3.3.函数的属性函数的属性4.4.建立函数关系举例建立函数关系举例滦郑坠桅堰塔鞋宽愈漫咎夹阀赠初拱穿袄驮睛题峻瘟泳残搔夺弧诽痒眷著主章节杨先林教授主章节杨先林教授一、函数的概念一、函数的概念一、函数的概念一、函数的概念 1.1.1.1.函数的定义域函数的定义域函数的定义域函数的定义域定定义义设设 D 为为一

2、一个个非非空空实实数数集集合合，若若存存在在确确定定的的对对应应规规则则 f ，使使得得对对于于数数集集 D 中中的的任任意意一一个个数数 x , 按按照照 f 都都有有唯唯一一确确定定的的实实数数 y 与与之之对对应应，则则称称 f 是是定定义在集合义在集合 D 上的函数上的函数 . D : f 的定义域的定义域吠笛败烯睫惑饱拔但街查否舅特苇息搔狙惹钒胁劝炼评超耪伙氯换墩源匠主章节杨先林教授主章节杨先林教授的定义域的定义域 .解解该函数的定义域应为满足不等式组该函数的定义域应为满足不等式组解此不等式组，得其定义域解此不等式组，得其定义域用集合表示为用集合表示为的的 x 值的全体，值的全体，确

3、定函数确定函数例例 1悠豁够蚀娱遭原辣代态懒项寂伪洛告到婿铱楞琅维抑矛摧色拽坑韧抿南童主章节杨先林教授主章节杨先林教授基本初等函数基本初等函数基本初等函数基本初等函数三角函数三角函数反三角函数反三角函数 y = arc sinx, y = arc cos x, y = arc tan x, y = arc cot x ；等五类函数统称为等五类函数统称为基本初等函数基本初等函数 .y = sinx, y = cos x, y = tan x, y= cot x, y = sec x, y = csc x ；幂函数幂函数指数函数指数函数对数函数对数函数瓢欺较检毗踏寝昼赞诧唱挺院慌颜拂授漆榜馅硷渠玖

4、蛀逆竹刘菜佬甩辐蛀主章节杨先林教授主章节杨先林教授2.2.复合函数复合函数若函数若函数 y = F(u), 定义域为定义域为 U1 , 函函数数 u = ( (x) ) 的的值值域为域为 U2,则则 y 通过变量通过变量 u 成为成为 x 的函数的函数,这这个个函函数数称称为为由由函函数数 y = F(u) 和和函函数数 u = ( (x) ) 构构成成的的复合函数复合函数, , 其中变量其中变量 u 称为中间变量称为中间变量.记为记为嘘葵澈庭宜墓蔫套祭萤壤苗奴盒舵琅役纷筑臃磅作侩者鞋万搀就卉傈胺蝇主章节杨先林教授主章节杨先林教授例例 2解解 方法一方法一 令令 u = x 1, 得得 f (

5、u) = (u 1)2,再将再将u = 2x 1 代入代入, 即得复合函数即得复合函数爆眶片瓤螺炽揭剧顿衰籽烬恒焕泅硅绑展咖赤娜廊限甸哼衅硼敌星锐押陀主章节杨先林教授主章节杨先林教授例例 2方法二方法二 因为因为 f (x 1) = x2 = (x 1) + 12, 于于是是问题转化为问题转化为 求求 y = f (x) = (x 1)2 与与 (x) = 2x 1 的复合函数的复合函数 f (x) , 因此因此弦记庚聂堵出蛆郸阉扔毕挎迅施绘阑昌横开笔腑留抑肥硫帕捅交抵躯记仁主章节杨先林教授主章节杨先林教授3.3.函数的属性函数的属性设设函函数数 y = f (x) 的的定定义义域域关关于于原

6、原点点对对称称，如如果果对对于于定定义义域域中中的的任任何何 x，都都有有 f (x) = f (- - x) ，则则称称 y = f (x) 为为偶偶函函数数；如如果果有有 f (- - x) = - - f (x) ，则则称称 f (x) 为为奇奇函函数数. 不不是是偶偶函函数数也也不不是是奇奇函函数数的函数，称为非奇非偶函数的函数，称为非奇非偶函数.（1 1）奇偶性）奇偶性）奇偶性）奇偶性辕辫谈椿腆狸熔汀他麓浙影朽收给踞骄拂葡期云扬活棒棠被郴镜厚证钦碴主章节杨先林教授主章节杨先林教授（2 2）周期性）周期性）周期性）周期性设设函函数数 y = f (x) 的的定定义义域域为为 (- -

7、, + + ) ，若存在正数若存在正数 T，使得对于一切实数，使得对于一切实数 x，都有：，都有：则称则称 y = f (x) 为周期函数为周期函数.f (x + T) = f (x). 匿录领鲁礼挥应育疏茵渊钎整殊乓懊渐贾惧脉灶曳钻酱作款潭疑灯酵佃属主章节杨先林教授主章节杨先林教授设设 x1 和和 x2 为区间为区间 (a, b) 内的任意两个数内的任意两个数，若当若当 x1 x2 时，有时，有则称该函数在区间则称该函数在区间 (a, b) 内内单调增加单调增加，或或称称递增递增；若当若当 x1 x2 时，有时，有则称该函数在区间则称该函数在区间 (a, b) 内内单调减少单调减少，或称递减

8、或称递减；（3 3）单调性）单调性）单调性）单调性揽颂仟惊蘑抛钓汾蒲馋达赴腿慢炼讯梭疤粥繁尖右荚爵浮焕革林匆贪擅驶主章节杨先林教授主章节杨先林教授函数的递增、递减统称函数是单调的函数的递增、递减统称函数是单调的. . 从几何从几何直观来看，直观来看， 递递增增，就就是是当当 x 自自左左向向右右变变化化时时，函函数数的图形上升；的图形上升；递递减减，就就是是当当 x 自自左左向向右右变变化化时时，函函数数的的图图形形下降下降 . .aabbxyOxyOy = f (x)y = f (x)方痈渔术紧乔肘页仓鲜障帮潦缴帧批辟舰尸资脚捉梗热搜揣谴解沪兴糠湛主章节杨先林教授主章节杨先林教授设设函函数数

9、 f (x) 在在区区间间 I 上上有有定定义义，若若存存在在一一个正数个正数 M ，当当 x I 时时，恒有恒有成立成立，则称函数则称函数 f (x) 为在为在 I 上的有界函数，上的有界函数，(4) (4) 有界性有界性有界性有界性 如如果果不不存存在在这这样样的的正正数数 M，则则称称函函数数 f (x) 为为在在 I 上上的无界函数的无界函数 . .据韭攫砒平凑勉侨养嗡犹撅狠拓加唱逻仲使诧植没搓分缕忍猛刘灰充代趣主章节杨先林教授主章节杨先林教授例例 3 由由直直线线 y = x， y = 2 x 及及 x 轴轴所所围围的的等等腰三角形腰三角形 OBC ，xy = xyxO12y = 2

10、 xCB 在在底底边边上上任任取取一一点点 x 0, 2.过过 x 作作垂垂直直 x 轴轴的的直直线线，将将图图上上阴阴影影部部分分的的面面积积表表示示成成 x 的的函数函数 . .解解 设阴影部分的面积为设阴影部分的面积为 A ，当当 x 0, 1) ) 时，时，4.4.4.4.建立函数关系举例建立函数关系举例建立函数关系举例建立函数关系举例浮筹威巫吟免吱臀涟钓咱叁功辑独挞铺勃嗣型丧侵租源腺胡雁促开柔僳烙主章节杨先林教授主章节杨先林教授当当 x 1, 2 时时，所以所以xy = xyxO12y = 2 xCB夜裹宋渝毡误盯阔幽幂欠挽曲箍观官仪急字授鬼色匙汉谣嗽提溶纳垮赫镁主章节杨先林教授主章

11、节杨先林教授二、极限与连续二、极限与连续二、极限与连续二、极限与连续1.1.1.1.函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限2.2.2.2.极限的运算极限的运算极限的运算极限的运算3.3.3.3.两个重要极限两个重要极限两个重要极限两个重要极限4.4.4.4.函数的连续性函数的连续性函数的连续性函数的连续性针屹怂淑腊减残庸捕汕阀朋数蓬抹错宁咋特锡鸽罩胰管司元纬跪裹这责箍主章节杨先林教授主章节杨先林教授一一般般地地，当当 x 无无限限接接近近于于 x0 时时，函函数数 f ( (x) ) 趋向于趋向于 A 的定义如下：的定义如下：定义定义如果当如果当 x 无限接近于无限接近于 x0 时，时，恒有

12、恒有| f (x) - - A| e e ( (e e 是任意小的正数是任意小的正数) )， 则则称称当当自自变变量量 x 趋趋向向于于 x0 时时，函函数数 f (x) 趋趋向向于于 A ，记作记作1.1.函数的极限函数的极限痒割徒洒践渊噶搏人讨党湿肤咙奎伟俘括妊锣舅蔫茧戈径意报蛙韩蜀逸爬主章节杨先林教授主章节杨先林教授A A e e f ( (x) ) A e e几何解释几何解释 : :AA e eA A e ey = f (x)x0 d dx0 + d dx0yxO 不不管管它它们们之之间间的的距距离离有有多多么么小小. 只只要要 x 进入进入 U( ( 是是指指：当当 0 |x - x

13、0| d d 时，时， 恒有恒有 | f (x) - A | e e . . 即即作两条直线作两条直线 y = A e e 与与 y = A e e . d d ) 内内，曲曲线线 y = f (x) 就就会会落落在在这这两条直线之间两条直线之间. 风远拯毛驻糕唆吓兽券掸椽龟行亿袖圆钦誉涯顽獭谣帜脊反澳斧伸庄二鼓主章节杨先林教授主章节杨先林教授例例 4试求函数试求函数解解 ( (1) )因为因为函数函数 f (x) 在在 x = 0 处左、右极限存在但不相等，处左、右极限存在但不相等，所以当所以当 x 0 时，时， f (x) 的极限不存在的极限不存在. 刮蜗挤眠蟹聊精共咽焚镭嗽资渊搬告目夏凰

14、波我筷疹鸵请戒休周隙酿既虱主章节杨先林教授主章节杨先林教授( (2) ) 因为因为函数函数 f (x) 在在 x = 1 处左、右极限存在而且相等，处左、右极限存在而且相等，所以当所以当 x 1 时，时， f (x) 的极限存在且的极限存在且搬婴金阅精氧拂钳膛牡较振井钎盏温夜喂浙峰欲踞笑硫擅跌陨弦停食候廉主章节杨先林教授主章节杨先林教授2.2.2.2.极限的运算极限的运算极限的运算极限的运算疚傍独浮戈脚蹈本虽乐愁潦梅镊炳垄拇嚼毙探董铜称鞠桌糜买灿弊脉屑执主章节杨先林教授主章节杨先林教授解解例例5伎淫凿翰矮利尘僵遥蔗鸣妻惦惶察民兑虚派乒尘爬俩龄姑彪焦棠未檄理党主章节杨先林教授主章节杨先林教授3.

15、3.3.3.两个重要极限两个重要极限两个重要极限两个重要极限第一个重要极限第一个重要极限第一个重要极限第一个重要极限第二个重要极限第二个重要极限第二个重要极限第二个重要极限烧现弥剖箩炔赖弗咀糕吴啮惺翱缮押防腆简膏匈睫恃衷足巷巧六濒庭品校主章节杨先林教授主章节杨先林教授解解例例 6牙皑牧挝驹盈抉菇盟襟省绥娱讶蛋粗暇锌聂陛谆氓呕撇墒偏曾绢筛锋睦静主章节杨先林教授主章节杨先林教授解解因为因为所以，有所以，有例例 7辆睛摈县泪用泡岗份厢渠黍政烁叹颠占榷匝典升痰薄弧闭膨凄鞘尚触乖营主章节杨先林教授主章节杨先林教授4.4.函数的连续性函数的连续性定定义义 设设函函数数 y = f (x) 在在 x0 的的

16、一一个个邻邻域域内内有有定义定义，则则称称函函数数 y = f ( x ) 在在 x0 处处连连续续，或或称称 x0 为为函函数数 y = f (x) 的连续点的连续点 .且且诺婪秉锑摩壁皇轩酸府魏春吮乔扩茅蹿暑铅吱荫鞠三荡税驹藉己疮岂考呵主章节杨先林教授主章节杨先林教授若函数若函数 y = f (x) 在点在点 x0 处有处有：则分别称函数则分别称函数 y = f (x) 在在 x0 处是处是左连续或右连续左连续或右连续. 由此可知，函数由此可知，函数 y = f (x) 在在 x0 处连续的充处连续的充要条件可表示为要条件可表示为：即函数在某点连续的充要条件为函数在该点处左、即函数在某点连

17、续的充要条件为函数在该点处左、右连续右连续弃泥牺据态祸在摄蹦透往文黄倘墨酥曲者锰玲箱训燎拘酿癣脾售脯磕机第主章节杨先林教授主章节杨先林教授例例 8证证因为因为且且 f (0) = 1，即即 f (x) 在在 x = 0 处处左左，右右连连续续，所所以以它它在在 x = 0 处连续处连续 .龄见庶刚栅拢从阵背赞秽白痪侣肠筐堑襄称延珊惨戚倪沸僵蔽借替寺鸟皿主章节杨先林教授主章节杨先林教授三、导数与微分三、导数与微分1.1.导数的概念导数的概念2.2.求导法求导法3.3.微分法微分法毙喀祁盘罗钙迭倍西荡盯笨唯戌搔趁期牧卑柴纤色纂秃珍政蹋叮楼嘉办星主章节杨先林教授主章节杨先林教授定定义义设设函函数数

18、y = f (x) 在在点点 x0 的的一一个个邻邻域域内有定义内有定义. . 在在 x0 处处给给 x 以以增增量量 x ( (x0 + x 仍仍在在上上述邻域内述邻域内) )，函数函数 y 相应地有增量相应地有增量 y = f (x0 + + x ) - - f (x0) ，1.1.导数的概念导数的概念哨迈未陷久薄韧败徐吨探些英傲涛遍喜愈汾札题瓦驴斗苔陪索独新扮甘阵主章节杨先林教授主章节杨先林教授 则称此极限值为则称此极限值为函数函数y = f (x)在点在点 x0 处的导数处的导数.即即此此时时也也称称函函数数 f (x) 在在点点 x0 处处可可导导. 如如果果上上述述极极限限不存在不

19、存在，则称则称 f (x) 在在 x0 处不可导处不可导. .焦溉迁链颖眩黔芍诣奢湛豺闭碉劝虾勿讲存瘦壤醒箔梧躺邮谢眨妨浚召儒主章节杨先林教授主章节杨先林教授函数函数 y = = f (x) 在点在点 x0 处的导数的几何意义处的导数的几何意义就就是是曲曲线线 y = = f (x) 在在点点 (x0 ，f (x0) 处处的的切切线线的的斜率斜率, ,即即 tan = f (x0 0).yOxy = f (x) x0 0P导数的几何意义导数的几何意义导数的几何意义导数的几何意义恐哄兴芦逮辟脑婿刑幢毫峦咏足拒獭通迪遥夜珠巾毫妮磐雇萌陇搓研落瓮主章节杨先林教授主章节杨先林教授例例 9求求曲曲线线

20、y = x2 在在点点 ( (1, 1) ) 处处的的切切线线和和法线方程法线方程.解解 (x2) |x=1 = 2 , 即即点点 ( (1, 1) ) 处处的的切切线线斜斜率率为为 2 ，所以所以, 切线方程为切线方程为:y 1 = 2(x - - 1).即即y = 2 x - - 1.法线方程为法线方程为即即唬疑澜标闰感稗乖下隔婪啪醛卡仿隙榜哦茅阜了役跟八苹太尿肠迷锌扎欠主章节杨先林教授主章节杨先林教授定义定义 存存在在，则则称称此极限值为此极限值为 f (x) 在点在点 x0 处的处的左导数左导数，记作记作 f (x0)；则称此极限值为则称此极限值为 f (x) 在点在点 x0 处的处的

21、右导数右导数，记作记作 f + +(x0) . .显显然然，f (x) 在在 x0 处处可可导导的的充充要要条条件件是是 f - -(x0) 及及 f + +(x0) 存在且相等存在且相等 . .如果如果同样同样，猖茂逮测蝶满决催缠啮舍坍贤网货纪役糯买秸涪籽垃素镰糊玲扰毫哭涵蓝主章节杨先林教授主章节杨先林教授定理定理如果函数如果函数 y = f (x) 在点在点 x0 处可导处可导, 则则 f (x) 在点在点 x0 处连续处连续，其逆不真其逆不真.可导与连续的关系可导与连续的关系可导与连续的关系可导与连续的关系牲虫觉复塞僳贪剔袭茂衫北鞍宅绵花如铀冰乖咋客作霜蠕椰晒蔷征坛吱眺主章节杨先林教授主

22、章节杨先林教授在在 x = 1 处的连续性与可导性处的连续性与可导性.解解先求在先求在 x = 1 时的时的 y .当当 x 0 时，时， y = f (1+ + x) - - f (1) = 2(1+ + x)3 - - 2= 6 x + + 6( x)2 + + 2( x)3 ，= 6 + + 6 x + + 2( x)2 .久剐戊崇桩遂昼辑拱吭妓号娇负辕亲揽竭像趋屈瞪航娜苦仑掸趋仇妒穷酗主章节杨先林教授主章节杨先林教授从而知从而知因此因此所以函数在所以函数在 x = 1 处连续，但不可导处连续，但不可导.容易算出容易算出又又篇枯垒久铺挚拣搐徐痈獭驴颓气摊界督影泽租缉斑垂歉太呻兆翟骚英踩是

23、主章节杨先林教授主章节杨先林教授(u(x) v(x) = u (x) v (x);(u(x)v(x) = u(x)v (x) + + u (x)v(x);2.2.求导法求导法档盯助跌携遮诅刮芯肛旁凶独酿坐术磊鹏匙昏邹诅梢岂亚哥抚迂控臆良诸主章节杨先林教授主章节杨先林教授定理定理 设函数设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导均可导，则复合函数则复合函数 y = f ( (x) 也可导也可导.且且或或或或茫访豪蓝笔阮疲蛰无子霄寺铁孟娃解童价酱刃包惕娄泵实谊慌敝斤删氧媚主章节杨先林教授主章节杨先林教授例例 11设设 y = (2x + + 1 1)5，求，求 y .解解把把 2x +

24、+ 1 看成中间变量看成中间变量 u，y = u5，u = 2x + + 1复合而成，复合而成，所以所以 将将 y = (2x + + 1)5看成是看成是由于由于戴城徒颊蚕旗辐舆袁蜒显懒村枷萍诗昧稍舟陕跃天迅科正垮昌侵逆箕办卒主章节杨先林教授主章节杨先林教授定定义义设设函函数数 y = f (x) 在在点点 x 的的一一个个邻邻域域内有定义，内有定义， y = A x + + ， 其中其中 A 与与 x 无关无关， 是是 x 的高阶无穷小量，的高阶无穷小量，则则称称 A x 为为函函数数 y = f (x) 在在 x 处处的的微微分分，记记作作 dy，即即dy = A x . 也称函数也称函数

25、 y = f (x) 在点在点 x 处处可微可微. 如如果果函函数数 f (x) 在在点点 x 处处的的增增量量 y = f (x + x ) - - f (x) 可以表示为可以表示为3. 3. 微分法微分法阉金涣私挛韧奄鸟觉谱曾毕唯倍嫁惊见峙杂簇花鹤揩亡故瑟谷姻里炒教组主章节杨先林教授主章节杨先林教授解解因为因为所以所以例例 12求函数求函数 y = 2ln x在在x 处的微分，并求处的微分，并求当当 x = 1 时的微分时的微分( (记作记作dy | x = 1) ). 迪厄森枕消活侍摧将棒案阴触专迈侯词留煮邯妙蓟担郭蜕拥陋畜晒呜凋爵主章节杨先林教授主章节杨先林教授微分的四则运算微分的四则

26、运算微分的四则运算微分的四则运算定理定理 设函数设函数 u、v 可微，可微，则则d(u v) = du dv.d(uv) = udv + + vdu.烫潭暗怂仰坎兆唯肖荆饱尽芍广掂周氯沁饥招蜕菊腾咋眠汐目肄炽撬铸及主章节杨先林教授主章节杨先林教授例例 13设设 y = excos x，求，求 dy .解解dy = d(excos x) = ex dcos x + + cos xdex= ex (cos x - - sin x)dx .骤萄蔼想答毁隧唬刹柑羽串气瀑牢砰吹曲尤才印总惫缀乐嘘务韩勺吱疟拒主章节杨先林教授主章节杨先林教授复合函数的微分复合函数的微分复合函数的微分复合函数的微分定理定理

27、设函数设函数 y = f (u)， u = (x) 均可均可微，微，dy = f (u) (x) dx .则则 y = f ( (x) 也可微，也可微， 且且佳锰噶荡殿启宜臣只否淑肮障季慢毅陕居窝拨邻戍慌罕眠锤孜终亩配鳖萎主章节杨先林教授主章节杨先林教授由于由于du = (x) dx，所以上式可写为所以上式可写为dy = f (u) du .从上式的形式看，从上式的形式看， 它它与与 y = f (x) 的的微微分分 dy = f (x)dx 形形式式一一样样，这这叫叫一一阶阶微微分分形形式式不不变变性性. 其其意意义义是是：不不管管 u 是是自自变变量量还还是是中中间间变变量量，函函数数 y

28、 = f (u) 的微分形式总是的微分形式总是 dy = f (u)du .烛合痴氖脯隶肠籽弓须屹态快霸桌辟倚秩甸橱滇斌橱滤狐悯胞幻惮唇琵埋主章节杨先林教授主章节杨先林教授例例 14设设 y = sin(2x)，求微分，求微分 dy . 解解利用微分形式不变，利用微分形式不变， 有有dy = cos 2x d(2x) = 2cos 2xdx .愁坟痴捞蝉时骑碧阶虎椰弱纲孩赎堪共瞎万踞皮血极薪齿蛀耸胞附疚黄虾主章节杨先林教授主章节杨先林教授隐函数的微分法隐函数的微分法隐函数的微分法隐函数的微分法例例 15 设设方方程程 x2 + y2 = R2( (R 为为常常数数) )确确定定函函数数 y =

29、 y(x)， 解解 在方程两边求微分，在方程两边求微分，d(x2 + y2 ) = dR2，即即2xdx + 2ydy = 0.由此，当由此，当 y 0 时解得时解得或或南漳碴屯纲令恍谦消闸猩码讽鄙皿堪怪琼渡菇韵桐装虽坦死玛漏爱贩途掷主章节杨先林教授主章节杨先林教授四、导数的应用四、导数的应用1.1.中值定理中值定理2.2.洛必塔法则洛必塔法则3.3.函数的单调性和极值函数的单调性和极值4.4.函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值丘蜒锣纷鸦零盔谨接哮穿试料誉邑腰傻女岸泻怕肚撬捎膛低罪枷芳产胁谈主章节杨先林教授主章节杨先林教授1.1.1.1.中值定理中值定理中值定理中值定理罗罗尔尔定定理理如

30、如果果函函数数 y = f (x) 在在闭闭区区间间 a, b 上连续上连续， 那么至少存在一点那么至少存在一点 x x ( (a, b) ) ，使使 f (x x ) = 0. . 且在区间端点处且在区间端点处的函数值相等的函数值相等，即即 f (a) = f (b) ，在开区间在开区间 ( (a, b) )内可导内可导，富倾躁彰誊纯伺小悼潭阀趟聪希埂瀑那愉屈续骄蕊虱垒讲辞擎诞黔乔遵点主章节杨先林教授主章节杨先林教授x xyxOy = f (x)ba罗尔定理的几何意义是：如果连续曲线除端点罗尔定理的几何意义是：如果连续曲线除端点外处处都具有不垂直于外处处都具有不垂直于 Ox 轴的切线，轴的切

31、线， 那那么么其其上上至至少少有有一一条条平平行行于于 Ox 轴轴的切线的切线( (如图所示如图所示).).且两端点处且两端点处的纵坐标相等，的纵坐标相等，惭泻末蜡年泽硫淆朝衰盈瓣烘邓颗杖扶委江倒晰禹押算节硷恭绪蘑拌蛀苇主章节杨先林教授主章节杨先林教授拉格朗日定理拉格朗日定理若函数若函数 f (x) 在闭区间在闭区间 a, b 上连续上连续， 在开区间在开区间( (a, b) )内可导内可导，使得使得 则则至至少少存存在在一一点点 x x ( (a, b) )，盐擞窜墅叭基撼筑踩搓搏番答示茨柬疯桌钳蠕置徐像示并桃引插恢栏卓衍主章节杨先林教授主章节杨先林教授拉格朗日中值定理的几何意义：拉格朗日中

32、值定理的几何意义：如如果果连连续续曲曲线线除除端端点点外外处处处处都都具具有有不不垂垂直直于于 Ox 轴的切线，轴的切线， 那那么么该该曲曲线线上上至至少少有有这这样样一一点存在，点存在，y = f (x)bx xayxOCDAB在在该该点点处处曲曲线线的的切切线线平平行行于于联联结结两两端端点点的的直直线线( (如如图图所所示示).).赐蜗肛栗信雁黄礁防躬岁殖谈玻吐挖某司窗惩软掏堵留贡草虫至恼宵呐短主章节杨先林教授主章节杨先林教授2.2.2.2.洛必达法则洛必达法则洛必达法则洛必达法则定定理理设设函函数数 f (x) 和和 (x) 在在 x0 的的某某邻邻域域( (或或 | x | M， M

33、 0) )内可微内可微， 且且当当 x x0 ( (或或 x ) ) 时时， f (x) 和和 (x) 的的极极限限为零为零，如果如果 的极限存在的极限存在 ( (或为或为 ) )，则当则当 x x0 (或或 x ) 时时，它们之比的极限存在且它们之比的极限存在且 (x) 0傻珐獭耽龟抿参绷胁险华年沽显楷斩矢样堵范饱烤酣护氖独荣酚唐衙肛色主章节杨先林教授主章节杨先林教授例例 16解解压疙湿端罢哦坛虐茶兵众搔臣归捻笆阑摸姨咳轰渐铲研裔妓沏兜砂兔移粘主章节杨先林教授主章节杨先林教授定理定理设函数设函数 y = f (x) 在区间在区间 ( (a, b) ) 内可微内可微，( (1) )若当若当 x

34、 ( (a, b) )时时，f (x) 0， 则则 f (x) 在在( (a, b) )内内单调递增单调递增； ( (2) )若当若当 x ( (a, b) )时时， f (x) 0，x ( ( 1, 1) )时，时，f (x) 0，所以所以( ( , - -1) )和和( (1, )是是 f (x) 的递增区的递增区间，间， (- (-1, , 1) )是是 f (x) 的递减区间的递减区间. .将上述讨论归纳为如下的表格：将上述讨论归纳为如下的表格：x( ( , - - 1) )(-(- 1, ,1) ) ( (1, ) ) f (x) f (x)明挥序适舅吾窑伊晤威爱锭空罚购奴敦附西贰漫

35、俊迟恶哀典寥依未豆溯辅主章节杨先林教授主章节杨先林教授定义定义 设函数设函数 y = f(x) 在在 x0 的一个邻域内有定义的一个邻域内有定义，若对于该邻域内异于若对于该邻域内异于 x0 的的 x 恒有恒有( (1) ) f (x0) f (x)，则称则称 f (x0) 为函数为函数 f (x) 的极大值的极大值，x0 称为称为 f (x) 的极大值点的极大值点；( (2) ) f (x0) 0 时时，则则 x0 为为极极小小值值点点，f (x0)为极小值为极小值；( (2) )当当 f (x0) 0；f (x) 0； 当当 x (2, + + ) 时，时， f (x) 0. 因因此此，由由

36、定定理理 可可知知， x = 1 为为极极大大值点，值点， x = 2 不不是是极极值值点点( (因因为为在在 x = 2 的两侧的两侧 f (x) 同为正号同为正号) ).( (3) )计算极值计算极值旗抑筒宣歪或勒淌觉攻伊声遍盈狗毅牟钾桓辅蛹拌府脯摘不低坏饿劈嫁滔主章节杨先林教授主章节杨先林教授极大值极大值 f (1) = (1 - - 1)2 (1 - - 2)3 = 0，有时，可以将整个解题过程以表格形式表示：有时，可以将整个解题过程以表格形式表示：x(-(- , 1) )f (x)12( (2, + + ) )+ +0- -0+ +0+ +f (x)极大值极大值0无极值无极值兄椒宫丢

37、睡墩襟汪盆府坟匹萤聊谭戏茄蛰淆禹怔驱煎踊掇猎林级谆疆岁渴主章节杨先林教授主章节杨先林教授4.4.函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值例例 19试求函数试求函数 f (x) = 3x4 - -16x3 + + 30x2 24x + + 4在区间在区间 0, ,3 上的最大值和最小值上的最大值和最小值. .决猪诈痴悠贩渍贪府甫卸小搞氏涉窗漂惹围京企圣咖蛊票赵抢僧贷鹊霖援主章节杨先林教授主章节杨先林教授解解f (x) = 12x3 - - 48x2 + + 60x 24 令令 f (x) = 0，得驻点，得驻点 x = = 1， x = = 2， 它它们们为为 f (x) 可可能的极值点，能的极

38、值点，算出这些点及区间端点处的函数值：算出这些点及区间端点处的函数值：= 12( (x - - 1) )2( (x - - 2) )，f (0) = 4，f (1) = - - 3，f (2) = - - 4，f (3) = 13，将它们加以比较将它们加以比较 可可知知在在区区间间 0, 3 上上 f (x) 的的最最大大值值为为 f (3) = 13，最小值为最小值为 f (2) = - - 4.海孙准喇汐螟畦僧赂蕴现嵌奶茧颅数忠瘟壳拦戊翁雁橇教尾仕姐了佳摆诉主章节杨先林教授主章节杨先林教授谢谢大家堂蔗托君荔饵坦安醇沏锁桌温蹋害窜示堡舜创砷饯糕墓厘摆锅藐控张狭搪主章节杨先林教授主章节杨先林教授