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1、数列求和数列求和日照四中高二备课组日照四中高二备课组1 1a a四、裂项求和法四、裂项求和法二、倒序相加法二、倒序相加法 三、错位相减法三、错位相减法五、分组求和法五、分组求和法一、直接求和法一、直接求和法2 2a a1 等差数列求和公式：等差数列求和公式：（1）Sn=n(a1+an)/2(2) Sn=na1+n(n-1)d/22 等比数列求和公式：等比数列求和公式：(1) Sn=1-qa1(1-qn)q1 q1 (2) Sn=1-qa1-anq 当当q=1时时,Sn=na13 3a a 练习练习: 求和求和1. 1+2+3+n + +（n+1n+1） 答案答案: Sn=（n+2)(n+1)/
2、22. 2+4+8+2n 答案答案: Sn=2n+1-2方法一：方法一：直接求和法（公式法）直接求和法（公式法）4 4a a二、倒序相加法二、倒序相加法如果一个数列如果一个数列 a an n ，与首末两，与首末两项等距的两项之和等于首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相这一求和的方法称为倒序相加法加法. . 5 5a a三、错位相减法：三、错位相减法：如果一个数列的各项是由一如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列个等差数列与
3、一个等比数列对应项乘积组成，此时求和对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法可采用错位相减法. .6 6a a例例1 求数列求数列 x, 2x2,3x3, nxn， 的前的前n项和。项和。 解：解：当当x=0时时 Sn=0当当x=1时时 Sn=1+2+3+ n=n(n+1)/2当当x1时时 Sn=x+ 2x2+3x3+ + nxn xSn= x2 +2x3+3x4 + (n-1)xn +nxn +1 得：得：(1-x)Sn=x+ x2+x3+ +xn - nxn +1 化简得：化简得： Sn =x(1- xn )/(1-x) 2 - nxn +1 /(1-x) 7 7a a 0 (x=0) 综
4、合综合得得 Sn= n(n+1)/2 (x=1) x(1- xn )/(1-x) 2 - nxn +1 /(1-x) (x1）8 8a a小结小结 1:“错位相减法错位相减法”求和求和,常应用于通项常应用于通项型如型如anbn的数列求和的数列求和,其中其中an为为等等差差数列数列, bn 为等为等比比数列数列.9 9a a练习练习 1求和求和: 1/2+2/4+3/8+n/2n 方法方法:可以将等式两边同时乘以可以将等式两边同时乘以2或或1/2,然后利用然后利用“错位相减法错位相减法”求和求和.1010a a四、裂项求和法：四、裂项求和法：把把数数列列的的通通项项拆拆成成两两项项之之差差，即即
5、数数列列的的每每一一项项都都可可按按此此法法拆拆成成两两项项之之差差，在在求求和和时时一一些些正正负负项项相相互互抵抵消消，于于是是前前n n项项的的和和变变成成首首尾尾若若干干少少数数项项之之和和，这这一一求求和和方方法法称称 为裂向求和法为裂向求和法. . 1111a a例例2：求和求和解：解：数列的通项公式为数列的通项公式为1212a a小结小结2：本题利用的是本题利用的是“裂项法裂项法”，此法常用此法常用于形如于形如1/f(n)g(n)的数列求和，其中的数列求和，其中f(n),g(n)是关于是关于n（nN)的一次函数。的一次函数。把数列中的每一项都拆成两项的把数列中的每一项都拆成两项的
6、差，从而产生一些可以相消的项，差，从而产生一些可以相消的项，最后剩下有限的几项。最后剩下有限的几项。方法：方法：对裂项公式的分析，通俗地对裂项公式的分析，通俗地说，裂项，裂什麽？说，裂项，裂什麽？此方法应注意：此方法应注意：裂通项裂通项1313a a1414a a五、分组求和法：五、分组求和法：求求和和方方法法称称为为分分组组求求和和法法把把数数列列的的每每一一项项分分成成两两项项，或或把把数数列列的的项项“集集”在在一一块块重重新新组组合合，或或把把整整个个数数列列分分成成两两部部分分，使使其其转转化化为为等等差差或或等等比比数数列列，这这一一方方法法叫叫分分组组求和法。求和法。 1515a
7、 a例例 3：求和：求和解：解：1616a a小结小结 3：本题利用的是本题利用的是“分组求和法分组求和法”方法：方法：把数列的通项分解成几项，从把数列的通项分解成几项，从而出现而出现几个等差数列或等比数几个等差数列或等比数列，列，再根据公式进行求和。再根据公式进行求和。1717a a练练 习习 3：若若数数列列an中中，an= -2 n - (-1)n ，求求S10和和S99 分析：利用分组求和法分析：利用分组求和法1818a a总结：总结： 直接求和直接求和（公式法）（公式法）等差、或等比数列用求和公等差、或等比数列用求和公式，常数列直接运算。式，常数列直接运算。倒序相加法倒序相加法类比等差数列的求和方法。类比等差数列的求和方法。错位相减法错位相减法数列数列 anbn的求和，其中的求和，其中an是等差数列，是等差数列，bn是等比数列。是等比数列。裂项法裂项法分组求和法分组求和法把通项分解成几项，从而出现把通项分解成几项，从而出现几个等差数列或等比数列进行几个等差数列或等比数列进行求和，如求和，如 an+bn。常见求和方法常见求和方法适用范围及方法适用范围及方法数列数列1/f(n)g(n)的求和，其中的求和，其中 f(n),g(n)是关于是关于n的一次函数。的一次函数。1919a a课外作业： 基础训练 等比数列的前n项和2020a a
