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1、西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系第七章第七章 埃尔米特（埃尔米特（Hermite）多项式）多项式特殊函数之三特殊函数之三2021/6/71西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系7.1 Hermite多项式的定义多项式的定义1. v阶阶Hermite方程的解方程的解v阶阶Hermite方程方程用幂级数法求解该方程，设方程的解为用幂级数法求解该方程，设方程的解为代入方程，整理，得代入方程，整理，得从而有从而有由上式知由上式知2021/6/72西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系2021/6/73西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系从而得方程的解为从而得方程的解为2
2、021/6/74西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系其中是任意常数，又是方程的两个线其中是任意常数，又是方程的两个线性无关的解，故上式是方程的通解。性无关的解，故上式是方程的通解。两个级数在实数域内收敛。两个级数在实数域内收敛。2021/6/75西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系考察系数递推关系式考察系数递推关系式为了了解上述多项式的系数形式，改写递推关系式为为了了解上述多项式的系数形式，改写递推关系式为2. Hermite多项式多项式当当v是正整数是正整数n（包括零）时，（包括零）时，进一步知，进一步知，当当n是偶数（包括零）时，变成了多项式，是偶数（包括零）时，变成了多项
3、式，仍为无穷级数；当仍为无穷级数；当n是奇数时，变成了多项式，仍是奇数时，变成了多项式，仍为无穷级数。为无穷级数。 则则2021/6/76西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系则则2021/6/77西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系取则取则当当n为为偶数时，有系数，对应多项式偶数时，有系数，对应多项式为关于为关于x的偶次方的的偶次方的多项式多项式当当n为为奇数时，有系数，对应多项式奇数时，有系数，对应多项式为关于为关于x的奇次方的多项式的奇次方的多项式n次次Hermite多项式多项式2021/6/78西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系统一写法，有统一写法，有前几次前几
4、次Hermite多项式多项式2021/6/79西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系7.2 Hermite多项式的母函数与递推公式多项式的母函数与递推公式令令将其展开成变量将其展开成变量t的的Taylor级数，则有级数，则有则是则是n次次Hermite多项式。多项式。证明：证明：2021/6/710西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系比较同次幂系数有比较同次幂系数有即即2021/6/711西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系即即比较同次幂系数有比较同次幂系数有即即2021/6/712西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系 是是Hermite方程的解，故是方程的解，故
5、是Hermite多项式。多项式。定义：称是定义：称是Hermite多项式的母函数。多项式的母函数。Hermite多项式的微分形式：多项式的微分形式：2021/6/713西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系Hermite多项式的微分形式：多项式的微分形式：Hermite多项式的递推公式：多项式的递推公式：2021/6/714西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系证明从略。证明从略。7.3 Hermite多项式的正交性及其应用多项式的正交性及其应用结论：结论：Hermite多项式在上关于权函数多项式在上关于权函数 正交，即正交，即结论：结论：设设f(x)为定义在上的函数，且满足为定义
6、在上的函数，且满足（1）f(x)在任何有限区间内都是分段光滑的函在任何有限区间内都是分段光滑的函数；数；（2）2021/6/715西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系则则f(x)必能展成如下形式的级数：必能展成如下形式的级数：其中其中在不连续处有在不连续处有在连续处有在连续处有2021/6/716西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系解解 ：设设则则注：注：例例2 2：将将 在在 内展成内展成Hermite多项式多项式的级数形式的级数形式 2021/6/717西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系故故2021/6/718西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！
