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1、12.3 角的平分线的性质 （第2课时）学习目标1、通过操作、验证等方式，掌握、通过操作、验证等方式，掌握角平分线的性质定理。角平分线的性质定理。2、能运用角平分线的性质解决简、能运用角平分线的性质解决简单的几何问题。单的几何问题。自主学习活动一：不利用任何工具，请同学们用一张纸片做的角分成两个相同的角，你有什么办法？对折对折 活动二：如图，是一个平分角的仪器，其中活动二：如图，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC。将点。将点A放在角的顶点，放在角的顶点，AB和和AD沿沿着角的两边放下，沿着角的两边放下，沿AC画一条射线画一条射线AE，AE就是角平分线。你能说明它的道理吗？就是角平分
2、线。你能说明它的道理吗？自主学习ADCBE 根据角平分仪的制作原理怎样作一根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）量角器）OABCENOMCENM探究分别以，为分别以，为圆心大于圆心大于 的长为的长为半径作弧两弧在半径作弧两弧在AOBAOB的的内部交于内部交于如何用尺如何用尺如何用尺如何用尺规规作角的平分作角的平分作角的平分作角的平分线线？A A作法：作法：以为圆心，适当以为圆心，适当长为半径作弧，交于，长为半径作弧，交于，交交于于作射线作射线OC则射线即为所求则射线即为所求 如图：将如图：将AOBAOB对折，再折出一个直角三角形对折，
3、再折出一个直角三角形( (使第使第一条折痕为斜边一条折痕为斜边) )，然后展开，观察两次折叠形成，然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？的三条折痕，你能得出什么结论？ AOBAOBCDEP可以看出，第一条折痕OC是AOB _第二次形成了_条折痕，分别为_,它们是角平分线上的一点到AOB两边的_这两个距离_平分线2PD、PE距离相等相等合作展示角的平分线上的点到角的两边的距离相等由此我们得到角平分线的性质定理：由此我们得到角平分线的性质定理：你能用三角形全等证明这个性质吗？AOBCDEP几何语言的表示方法：几何语言的表示方法：OCOC是是AOBAOB的平分线的平分线, , 且且
4、PDPDOA,PEOA,PEOBOBPD=PE PD=PE ( (角的平分线上的点到角的两边距离相等角的平分线上的点到角的两边距离相等) )OABED思考：思考：如图所示如图所示OC是是AOB 的平分线的平分线,P 是是OC上任意上任意一点一点,问问PE=PD?为什么为什么?CPPD,PE没有垂直没有垂直OA,OB,它们不是角平它们不是角平分线上任一点到这个角两边的距离分线上任一点到这个角两边的距离,所以所以不一定相等不一定相等1 1：如图，：如图，ABCABC的角平分线的角平分线BMBM，CNCN相交于相交于点点P P。求证：点。求证：点P P到三边到三边ABAB，BCBC，CACA的距离的
5、距离相等。相等。BACPMN随堂练习.证明：证明：过点过点P P作作PDPD，PEPE，PFPF分别垂直于分别垂直于ABAB，BCBC，CACA，垂足为，垂足为D D、E E、F F，BACPDEFMNBMBM是是ABCABC的角平分线，点的角平分线，点P P在在BMBM上，上，PDABPDAB， PEBCPEBC，PD=PE.同理同理 PE=PF.PE=PF.PD=PE=PFPD=PE=PF，即点即点P P到三边到三边ABAB，BCBC，CACA的距离相等的距离相等2 2. .如图如图,1,1= =2,2,AEAEOBOB于于E E, ,BDBDOAOA于于点点D D, ,AEAE与与BDB
6、D相交于点相交于点C.C.求证求证: :AC=BC.AC=BC.3.3.如图所示如图所示, ,在在RtACB,C=90,ADRtACB,C=90,AD平分平分BACBAC交交BCBC于点于点D.D. (1) (1)若若BC=BC=8,8,BD=BD=5,5,则点则点D D到到ABAB的距离是的距离是 . . (2)(2)若若BDDC=BDDC=3 32,2,点点D D到到ABAB的距离为的距离为6,6,则则BCBC的长为的长为 4.4.如图如图, ,在在ABCABC中中,C=C=90,90,ADAD是是BACBAC的平分线的平分线, ,DEDEABAB于于E E, ,F F在在ACAC上上, ,BD=DFBD=DF, ,求证求证: :CF=EB.CF=EB.角的平分线上的点到角的两角的平分线上的点到角的两边的距离相等边的距离相等小结
