第二部分-两自由度系统的振动

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1、第二部分第二部分第二部分第二部分 两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动基本知识点基本知识点2 两自由度简谐激励系统强迫振动两自由度简谐激励系统强迫振动1 两自由度系统自由运动两自由度系统自由运动第二部分第二部分第二部分第二部分 两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动1 两自由度系统自由运动两自由度系统自由运动写成矩阵形式写成矩阵形式考虑只有静力耦合的情况考虑只有静力耦合的情况第二部分第二部分第二部分第二部分 两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动1 两自由度系统自由运动两自由度系统自由运动l

2、固有频率及振型求解固有频率及振型求解(4.1-11)（1）固有频率求解）固有频率求解(2)称为特征行列式，称为特征行列式，它是它是 2的二次多项式。的二次多项式。 展开得展开得第二部分第二部分第二部分第二部分 两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动1 两自由度系统自由运动两自由度系统自由运动式式中中 1和和 2唯唯一一地地决决定定于于振振动动系系统统的的质质量量和和弹弹簧簧刚刚度度，称称为为系系统统的的固固有有频频率率。 1为为第第一一阶阶固固有有频频率率，简简称称为为基基频；频； 2为为第二阶固有频率第二阶固有频率。（2）阵型求解）阵型求解 用用 和和 表示

3、对应于表示对应于1的值，用的值，用 和和 表示对应于表示对应于2的值。的值。1 , ，2 , 。 将将 代入方程特征方程组代入方程特征方程组特征方程组特征方程组第二部分第二部分第二部分第二部分 两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动1 两自由度系统自由运动两自由度系统自由运动 将将 代入特征方程组代入特征方程组成对的常数成对的常数 和和 与另一对常数与另一对常数 和和 可以确定当系统分可以确定当系统分别以频率别以频率1和和2进行同步简谐运动时呈现的形状，称为进行同步简谐运动时呈现的形状，称为系统的系统的固有振型固有振型( (或主振型或主振型) )。 可以表示为

4、下列矩阵形式可以表示为下列矩阵形式第二部分第二部分第二部分第二部分 两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动1 两自由度系统自由运动两自由度系统自由运动式中式中 和和 称为称为振型向量或模态向量振型向量或模态向量。 为为第一阶固有第一阶固有振型振型， 为第二阶固有振型。为第二阶固有振型。 l响应求解响应求解 在在一一般般情情况况下下，振振动动系系统统的的响响应应将将通通过过两两个个固固有有振振型的叠加求得，即型的叠加求得，即式中常数式中常数C1和和C2以及相角以及相角1和和2由初始条件确定。由初始条件确定。 第二部分第二部分第二部分第二部分 两自由度系统的振动两

5、自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动1 两自由度系统自由运动两自由度系统自由运动 在在一一般般情情况况下下，两两自自由由度度系系统统的的自自由由振振动动是是两两种种不不同同频频率率的的固固有有振振动动的的叠叠加加，其其结结果果通通常常不不再再是是简简谐谐振振动。动。 在在特特殊殊的的情情况况下下，系系统统的的自自由由振振动动会会按按某某一一个个固固有频率作固有振动，其结果是简谐振动。有频率作固有振动，其结果是简谐振动。 初始条件的响应，由初始条件的响应，由第二部分第二部分第二部分第二部分 两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动1 两自由度系统自

6、由运动两自由度系统自由运动解得解得第二部分第二部分第二部分第二部分 两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动1 两自由度系统自由运动两自由度系统自由运动例例题题1：在在下下图图所所示示的的振振动动系系统统中中，设设m1=m，m2=2m，k1=k2=k，k3=2k，试试求求系系统统的的固固有有频频率率和和固固有有振振型型，并并画画出振型图。出振型图。解：解：振动的微分方程为振动的微分方程为(a)设设(b)第二部分第二部分第二部分第二部分 两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动1 两自由度系统自由运动两自由度系统自由运动代入振动微分

7、方程组，得代入振动微分方程组，得(c)代入代入m1=m, m2=2m, k1=k2=k, k3=2k，得得上上式式具具有有非非零零解解的的条条件件为为X1和和X2的的系系数数行行列列式式等等于于零零，即即(d)(e)得特征方程得特征方程第二部分第二部分第二部分第二部分 两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动1 两自由度系统自由运动两自由度系统自由运动(f)固有频率为固有频率为(g)将将 代入式代入式(d) ，有，有(h)得得(i)第二部分第二部分第二部分第二部分 两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动1 两自由度系统自由运动两

8、自由度系统自由运动将将 代入式代入式(d) ，有，有(j)得得(k)故根据故根据(4.1-15)得到的系统的固有振型为得到的系统的固有振型为图 4.1-2第二部分第二部分第二部分第二部分 两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动1 两自由度系统自由运动两自由度系统自由运动例题例题2：已知二自由度无阻尼自由振动系统的运动微分方：已知二自由度无阻尼自由振动系统的运动微分方程：程： 求该系统固有频率、主振型，求该系统固有频率、主振型，并画主振型图。并画主振型图。 解：解：由已知得特征方程由已知得特征方程第二部分第二部分第二部分第二部分 两自由度系统的振动两自由度系统的

9、振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动1 两自由度系统自由运动两自由度系统自由运动解特征方程得，解特征方程得，求振型，求振型，第二部分第二部分第二部分第二部分 两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动1 两自由度系统自由运动两自由度系统自由运动 第二部分第二部分第二部分第二部分 两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动2 两自由度简谐激励系统强迫振动两自由度简谐激励系统强迫振动考虑考虑F1(t)和和F2(t)为简谐激励，即为简谐激励，即l响应求解响应求解稳态响应的表达式稳态响应的表达式代入微分方程代入微分方程第二部分第二部分第二

10、部分第二部分 两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动2 两自由度简谐激励系统强迫振动两自由度简谐激励系统强迫振动引入记号：引入记号：(i, j=1, 2)方程可以改写为方程可以改写为于是有于是有式中式中第二部分第二部分第二部分第二部分 两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动2 两自由度简谐激励系统强迫振动两自由度简谐激励系统强迫振动第二部分第二部分第二部分第二部分 两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动2 两自由度简谐激励系统强迫振动两自由度简谐激励系统强迫振动如如下下图图所所示示，梁梁上上有

11、有一一固固定定转转速速的的马马达达，运运转转时时由由于于偏偏心心而而产产生生受受迫迫振振动动，激激振振力力 。马马达达的的质质量量为为m1、梁梁的的质质量量忽忽略略不不计计，梁梁的的刚刚度度为为k1。通通过过附附加加弹弹簧簧质质量量（m2,k2)系系统统可可进进行行动动力力消消振振，试试推推导导消消振振系系统统应应满满足足的的条件。条件。第二部分第二部分第二部分第二部分 两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动2 两自由度简谐激励系统强迫振动两自由度简谐激励系统强迫振动解：系统的力学模型见右图解：系统的力学模型见右图, ,相应的微分方程相应的微分方程为为稳态响应的表达式为稳态响应的表达式为解得解得第二部分第二部分第二部分第二部分 两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动2 两自由度简谐激励系统强迫振动两自由度简谐激励系统强迫振动减振的效果是为了使主振系统的振幅减振的效果是为了使主振系统的振幅所以有所以有即即 消振系统的固有频率等于外激励的频率消振系统的固有频率等于外激励的频率部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！