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1、Section 1.3Normal Distributions常態分配單一變數的分配將觀察資料圖示直方圖、莖葉圖檢視圖形的整體型態外形、中心點、分散度及離群值 (outliers) 。以統計數字概述資料的中心點及分散度。若觀察資料數量夠大，則圖形的整體型態可用平滑曲線顯示。密度曲線(Density Curve)若觀察資料數量夠大，則直方圖(組數適當增加)的整體型態可用一近似的平滑曲線顯示。上述直方圖中縱軸改為次數比例，則該平滑曲線稱為密度曲線(density curve)。直方圖顯示資料的分配直方圖顯示資料的分配(續)平滑曲線顯示分配密度曲線顯示分配直方圖面積密度曲線下面積密度曲線的性質曲線都
2、在水平線上 (i.e., 密度函數=0)。曲線下所 涵蓋的全部面積正好為1 (i.e., 所有可能性為 1)。曲線下任何範圍所涵蓋的面積，為觀察值落在該範圍的比例 (i.e., 機率)。密度曲線可視為是觀察變數的理論分配圖形。 密度曲線的中位數密度曲線的中位數，即為將密度曲線下的面積等分的點(數)。也可視為是觀察變數的理論中位數。四分位數將曲線下的面積分為四等分。對稱密度曲線的中位數，即為密度曲線的中心點。偏斜密度曲線的中位數，並不容易找到，需使用數學方法如微積分來求得。密度曲線與中位數、四分位點Q1Q3M密度曲線的平均值密度曲線的平均值，即為密度曲線(當成實體時)的平衡點。也可視為是觀察變數
3、的理論平均值，多以希臘字 m 表示。密度曲線的平均值與中位數對稱密度曲線的 平均值，即密度 曲線的中心點。Figure 1.15 偏斜密度曲線的 平均值，多使用 數學方法如微積 分來求得。密度曲線的其他統計量密度曲線的標準差則須以數學模式推導。為區隔觀察變數與密度曲線的平均值與標準差，我們以 m 代表理論平均值，以 s 代表理論標準差。觀察值的樣本平均數為 ，標準差為 s。常態分配常態曲線所有常態曲線都有相同的外型具有對稱、單峰及鐘形的特性。常態曲線所代表的分配即為常態分配(normal distribution)每一常態分配都有其平均值m 與標準差s 。常態曲線ms常態曲線 s 較大ms常態
4、曲線的分割反曲點落在一個s處反曲點落在-s處Why 常態分配 很重要 in StatisticsGood descriptions for some distributions of real data身高, 體重, 考試成績 Good approximations to the results of many kinds of chance outcomesTossing a coin many timesMany statistical inference procedures are based on normal distributions常態分配的68-95-99.7規則常態分配有其
5、特定的資料分佈規則：平均值為m , 標準差為 s 的常態分配68%的觀察資料落在m 的 1s 之內95%的觀察資料落在m 的 2s 之內99.7%的觀察資料落在m 的 3s 之內圖示68-95-99.7規則0123-1-2-3mm+sm+2sm+3sm-sm-2sm-3s68% 的資料95% 的資料99.7% 的資料資料標準化(Standardization)令觀察值 x 服從平均值為m ，標準差為 s 的分配，則 x 的標準化值(standardized value)定為標準化值又稱為 z-值(z-score)。標準化資料的平均值變數z 的平均值為 0 (m = 0 )。n 筆資料的z-值分
6、別為 z1, z2, , zn， 其中 ，則z-值之平均數為 0。 標準化資料的標準差變數z的標準差為 1 (s = 1)。n 筆資料的 z-值標準差為 sz，標準常態分配變數 X 服從平均值為 m ，標準差為 s 的常態分配，簡記為 X N(m, s2)。X 經過標準化後為 Z(=(X- m)/ s )，則 Z 的平均值為 0 ，標準差為 1，即Z N(0, 1)。我們稱 Z 服從標準常態(standard normal)。標準常態表(Table A)z表列數字是z左邊的面積z = - 0.44z左邊的面積為0.33- 0.440.33標準常態表實例z表列數字是z左邊的面積z = 0.44z
7、左邊的面積為0.67常態資料例題1.16 : 14 歲男孩之膽固醇值 X (單位mg/dl)服從常態，N(170, 302)。求膽固醇值大於240 (i.e., may need medical attention)的男孩比例？問題轉換：求 X 240的機率？ 標準化：查表：z = 2.33，曲線下小於 z的面積為0.9901，所以 z 2.33的面積為 1- 0.9901=0.0099 。圖示例題1.16z = 2.33 z 右邊的面積為0.0099由數值求比例(proportion)例題1.17：求膽固醇值介於170與240之間的男孩比例？問題轉換：求 的機率？ 標準化：查表：z = 2.
8、33，曲線下小於 z的面積為0.9901，曲線下小於 0的面積為 0.5，所以 例題1.17：求膽固醇值介於170與240之間的男孩比例？問題轉換：求 的機率？ 標準化：查表：z = 2.33，曲線下小於 z的面積為0.9901，曲線下小於 0的面積為 0.5，所以 的面積為 0.9901- 0.5 = 0.4901。圖示例題1.172.33 面積為0.4901 面積為0.50由比例求數值例題1.18：SAT字彙分數的分配近似 N(505, 1102)，則前10%的分數應該是多少？問題轉換：大於 x 的機率為 0.1， x 應為多少？ 查表：曲線下大於 z的面積為 0. 1，曲線下小於 z的面積為 1- 0.1 = 0.9，則 z = 1.28。標準化： 。圖示例題1.18 面積為0.9x = 505x = ?z = 0z = 1.28 面積為0.1
