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1、数学八年级上册BS版第四章一次函数第四章一次函数回顾与思考回顾与思考数学八年级上册BS版要点回要点回顾顾典例典例讲练讲练目目录录CONTENTS数学八年级上册BS版返回目录返回目录 1.函数的定义.一般地，如果在一个变化过程中有两个变量 x 和 y，并且对于变量 x 的每一个值，变量 y 都有唯一的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的 ，其中 x 是自变量.2.函数的三种表示方式.、.函数列表法图象法关系式法数学八年级上册BS版返回目录返回目录3.一次函数的表达式为 .当 b 0时，该一次函数的表达式为 ，它是正比例函数.4.正比例函数 y kx（k 0）的性质.y kx b（k，b 为常数
2、，k 0）y kx（k 0）当 k 0时，图象过第 象限；当 k 0时，图象过第 象限.注：当 k 1时，该函数图象平分第一、三象限，这条直线上的任何一点的横坐标都等于它的纵坐标；当 k 1时，该函数图象平分第二、四象限，这条直线上的任何一点的横坐标都等于它的纵坐标的相反数.一、三二、四数学八年级上册BS版返回目录返回目录5.一次函数 y kx b（k 0）的图象.当 x 0时，图象与 y 轴的交点坐标为 ；当 y 0时，图象与 x 轴的交点坐标为 .（0，b）数学八年级上册BS版返回目录返回目录6.一次函数 y kx b（k 0）的性质.（1）当 k 0时，y 的值随着 x 值的 而 ；当
3、k 0时，y 的值随着 x 值的 而 ；（2）当 k 0且 b 0时，函数的图象过第 象限；当 k 0且 b 0时，函数的图象过第 象限；当 k 0且 b 0时，函数的图象过第 象限；当 k 0且 b 0时，函数的图象过第 象限.增大增大增大减小一、二、三一、三、四一、二、四二、三、四数学八年级上册BS版返回目录返回目录7.确定函数的表达式.（1）一次函数 y kx b（k 0）中有两个未知系数，所以需要两个点，通过将两个点的坐标的代入，就可以求出一次函数的表达式；（2）正比例函数 y kx 只有一个未知系数，所以只要知道 就可以求出它的表达式.一个点的坐标数学八年级上册BS版返回目录返回目录
4、8.一次函数图象的位置关系.因为一次函数的图象是一条直线，所以两个一次函数的图象的位置关系有两种：平行和相交.设两条直线分别为 y k1 x b1，y k2 x b2.当 k1 k2，b1 b2时，两条直线平行；当 k1 k2时，两条直线相交.9.一元一次方程与一次函数的联系.一般地，当一次函数 y kx b 的函数值为0时，相应的自变量的值就是方程 kx b 0的解.从图象上看，一次函数 y kx b 的图象与 x 轴交点的横坐标就是方程 kx b 0的解.数学八年级上册BS版0 2典例典例讲练讲练数学八年级上册BS版返回目录返回目录 要点一函数的定义 （1）下列表示两个变量间的关系的图象中
5、，y 不是 x 的函数的是（D）ABCDD数学八年级上册BS版返回目录返回目录【解析】A，B，C三个选项中，对于 x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，不符合题意；选项D中，y 轴右侧一个 x 值对应两个 y 值，所以 y 不是 x 的函数，符合题意.故选D.【点拨】判断一个关系是函数关系的方法：（1）存在一个变化过程；（2）变化过程中有两个变量；（3）对于自变量每取一个确定的值，因变量都有唯一确定的值与之对应.三者必须同时满足.数学八年级上册BS版返回目录返回目录【解析】由题意，得 x 20且 x 50.解得 x 2且 x 5.故答案为 x 2且 x 5.x 2且 x 5数学八年级上册B
6、S版返回目录返回目录 1.下列函数中，自变量 x 的取值范围为 x 3的是（B）B数学八年级上册BS版返回目录返回目录要点二一次函数的图象和性质 已知一次函数 y（42 m）x m 4.（1）当 m 为何值时，y 的值随着 x 值的增大而减小？（2）当 m 为何值时，该函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴下方？（3）若 m 1，求该函数的图象与两坐标轴的交点坐标.数学八年级上册BS版返回目录返回目录解：（1）因为 y 的值随着 x 值的增大而减小，所以42 m 0，解得 m 2.所以当 m 2时，y 的值随着 x 值的增大而减小.（2）因为该函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴下方，所以 m
7、40且42 m 0，解得 m 4且 m 2.所以当 m 4且 m 2时，该函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴下方.数学八年级上册BS版返回目录返回目录【点拨】解答这类题目时，一定要注意隐含条件 k 0.数学八年级上册BS版返回目录返回目录 已知关于 x 的一次函数 y mx 4 m 2.（1）若这个函数的图象经过原点，求 m 的值；（2）若这个函数的图象不过第四象限，求 m 的取值范围；（3）不论 m 取何实数，这个函数的图象都过一个定点，试求这个定点的坐标.解：（1）因为这个函数的图象经过原点，所以当 x 0时，y 0，即4 m 20，（2）因为这个函数的图象不经过第四象限，所以 m 0且
8、4 m 20，数学八年级上册BS版返回目录返回目录（3）将一次函数 y mx 4 m 2变形为 m（x 4）y 2.因为不论 m 取何实数这个函数的图象都过定点，所以 x 40，y 20，解得 x 4，y 2.则不论 m 取何实数，这个函数的图象都过定点（4，2）.数学八年级上册BS版返回目录返回目录要点三一次函数在实际问题中的应用 小玲和小东姐弟俩分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行.小玲开始跑步，中途改为步行，到达图书馆恰好用30 min.小东骑自行车以300 m/min的速度直接回家，两人离家的路程 y（m）与各自离开出发地的时间 x（min）之间的函数图象如图所示.请解答下列问
9、题：（1）家与图书馆之间的路程为 m，小玲步行的速度为 m/min；（2）求小东离家的路程 y 与时间 x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；4 000100（3）当两人相遇时，他们离图书馆多远？数学八年级上册BS版返回目录返回目录（1）【解析】由图象，得家与图书馆之间的路程为4 000 m，小玲步行的速度为（4 0002 000）（3010）100（m/min）.故答案为4 000，100.数学八年级上册BS版返回目录返回目录（3）解：当两人相遇时，设他们走的时间为 m min.由点 A（10，2 000），易得 OA 的函数表达式为 y 200 x（0 x 10）.由图象，得300
10、 m 200 m 4 000，解得 m 8.所以当两人相遇时，他们离图书馆路程为30082 400（m）.故当两人相遇时，他们离图书馆2 400 m.【点拨】此类问题一般先观察图象特征，根据变量之间的关系，判断函数的类型，当确定是一次函数关系时，用待定系数法确定函数表达式，最后运用一次函数的图象和性质进一步求得所需结果.数学八年级上册BS版返回目录返回目录 甲、乙两个圆柱形水槽的横截面示意图如图1所示，乙槽中有一圆柱形实心铁块（圆柱形实心铁块的下底面完全落在乙槽底面上）.现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度 y（cm）与注水时间 x（min）之间的关系如图2所示.根据图象解答下
11、列问题：图1图2数学八年级上册BS版返回目录返回目录（1）图2中折线 EDC 表示 槽中水的深度 y 与注水时间 x 之间的关系，铁块的高度为 cm；（2）求 AB 的函数表达式；（3）求当甲、乙两个水槽中水的深度相同时的注水时间.乙16数学八年级上册BS版返回目录返回目录（2）解：设 AB 的函数表达式为 y kx b（k 0）.将点（0，14），（7，0）代入，得 b 14，7 k b 0.所以 k 2.所以 AB 的函数表达式为 y 2 x 14（0 x 7）.（1）【解析】由题意，知乙槽在注水的过程中，水的高度不断增加，当水位达到铁块顶端时，高度变化情况又同前面不同，所以折线 EDC
12、表示的是乙槽的水深 y 与注水时间 x 的关系.折线 EDC 中，点 D 表示乙槽水深16 cm，也就是铁块的高度为16 cm.故答案为乙，16.数学八年级上册BS版返回目录返回目录（3）解：设 ED 的函数表达式为 y mx n（m 0）.将点（0，4），（4，16）代入，得 n 4，4 m n 16.所以 m 3.所以 ED 的函数表达式为 y 3 x 4（0 x 4）.根据题意，得2 x 143 x 4，解得 x 2.故注水2 min，甲、乙两个水槽中水的深度相同.数学八年级上册BS版返回目录返回目录要点四一次函数在几何图形中的应用 如图，在平面直角坐标系中，已知直线 m 经过点（1，2
13、），交 x 轴于点 A（2，0），交 y 轴于点 B，直线 n 与直线 m 交于点 P，分别与 x 轴、y 轴交于点 C，D（0，2）.连接 BC，点 P 的横坐标为4.（1）求直线 m 的函数表达式和点 P 的坐标.（2）试说明：BOC 是等腰直角三角形.（3）直线 m 上是否存在点 E，使得 S ACE S BOC？若存在，求出所有符合条件的点 E 的坐标；若不存在，请说明理由.数学八年级上册BS版返回目录返回目录解：（1）设直线 m 的函数表达式为 y kx b（k 0）.因为直线 m 经过点（1，2），A（2，0），所以 k b 2，2 k b 0.所以 k 2，b 4.所以直线 m
14、的函数表达式为 y 2 x 4.将 x 4代入 y 2 x 4，得 y 2（4）44.所以点 P 的坐标为（4，4）.又因为 BOC 90，所以 BOC 是等腰直角三角形.数学八年级上册BS版返回目录返回目录数学八年级上册BS版返回目录返回目录【点拨】解答这类动点问题时，要注意动点所在位置，可以在图上画出使面积相等的点的大概位置，这样有助于分析题目，在分类讨论时不会遗漏和重复.数学八年级上册BS版返回目录返回目录 如图，已知一次函数 y x 2的图象交 y 轴于点 A，一次函数 y 4 x b 的图象交 y 轴于点 B，且分别与 x 轴，一次函数 y x 2的图象交于点 C，D，点 D 的坐标
15、为（2，4）.（1）求 ABD 的面积.（2）在 x 轴上是否存在点 E，使得以点 C，D，E 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点 E 的坐标；若不存在，请说明理由.数学八年级上册BS版返回目录返回目录解：（1）把点 D 的坐标代入一次函数 y 4 x b，得4（2）b 4，（2）存在符合条件的点 E.图1如图1，当点 E 为直角顶点时，过点 D 作 DE x 轴于点 E.因为 D（2，4），所以点 E 的坐标为（2，0）；当点 C 为直角顶点时，x 轴上不存在符合条件的点 E；如图2，当点 D 为直角顶点时，过点 D 作 DE CD 交 x 轴于点 E，作 DF x 轴于点 F.数学八年级上册BS版返回目录返回目录图2设 E（t，0）.当 y 0时，得4 x 40.所以 x 1.图2所以 C（1，0）.因为 F（2，0），所以 CF 1，CE 1 t，EF 2 t.因为 D（2，4），所以 DF 4.在Rt DEF 中，根据勾股定理，得 DE2 EF2 DF2（2 t）242 t24 t 20.在Rt CDF 中，根据勾股定理，得 CD2 CF2 DF2124217.数学八年级上册BS版演示完毕 谢谢观看
