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1、2.3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数一一 概念概念二二 分布函数的性质分布函数的性质三三 小结小结 思考题思考题 一一 随机变量的分布函数随机变量的分布函数称为称为 X 的的分布函数分布函数0xxX 设设 X 是一个随机变量，是一个随机变量，x 是任意实数是任意实数, 函数函数几何定义几何定义：(1) 在分布函数的定义中在分布函数的定义中, X是随机变量是随机变量, x是参变量是参变量. (2) F(x) 是是r.v X取值不大于取值不大于 x 的概率的概率.(3) 对任意实数对任意实数 x1x2，随机点落在区间，随机点落在区间( x1 , x2 内内的概率为：的概率为：P x1X x
2、2 因此，只要知道了随机变量因此，只要知道了随机变量X的分布函数，的分布函数， 它它的统计特性就可以得到全面的描述的统计特性就可以得到全面的描述. =P X x2 - P X x1 = F(x2)-F(x1)请注意请注意请注意请注意 : : 分布函数是一个普通的函数，分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用高等数正是通过它，我们可以用高等数学的工具来研究随机变量学的工具来研究随机变量.二、分布函数的性质二、分布函数的性质(1) 如果一个函数具有上述性质，则一定是某个如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.v X 的分布函数的分布函数. 也就是说，性质也就是说，性质(1)-(3)是鉴别
3、一个函是鉴别一个函数是否是某数是否是某 r.v 的分布函数的充分必要条件的分布函数的充分必要条件.(3) F(x) 右连续，即右连续，即 (2) 例例2 判别下列函数是否为某随机变量的分布函数判别下列函数是否为某随机变量的分布函数? ?(1)(2)(3)解解(1) 由题设由题设, ,在在上单调不减上单调不减, ,右连续右连续, ,并有并有所以所以是某一随机变量是某一随机变量的分布函数的分布函数. .(2) 因因在在上单调下降上单调下降, ,不可能是分布函数不可能是分布函数. .(3) 因为因为在在上单调不减上单调不减, , 右连续右连续, ,且有且有所以所以所以所以是某一随机变量是某一随机变量
4、的分布函数的分布函数. .完完二离散型随机变量的分布函数二离散型随机变量的分布函数设离散型随机变量的概率分布为设离散型随机变量的概率分布为则则的分布函数为的分布函数为即，即，当当时，时，时，时，当当当当时，时，当当时，时，当当时，时，如图，如图，是一个阶是一个阶它在它在有跳跃，有跳跃，反之，反之， 若一个随机变量若一个随机变量和分布函和分布函则则一定是一个离散型随机变量，一定是一个离散型随机变量，其概率分布亦由其概率分布亦由分布亦由分布亦由唯一确定唯一确定.完完梯函数，梯函数，跳跃度恰为随机变量跳跃度恰为随机变量点处的概率点处的概率在在数，数，数为阶梯函数为阶梯函当当 x0 时时， X x =
5、 ， 故故 F(x) =0例例1 设设 随机变量随机变量 X 的分布律为的分布律为当当 0 x 1 时时， F(x) = PX x = P(X=0) =F(x) = P(X x)解解X求求 X 的分布函数的分布函数 F (x) .当当 1 x 2 时时， F(x) = PX=0+ PX=1= + =当当 x 2 时时， F(x) = PX=0 + PX=1 + PX=2= 1故故注意右连续注意右连续下面我们从图形上来看一下下面我们从图形上来看一下.的分布函数图的分布函数图【练习练习 】0xX-1xXpk -1 2 3解解Xpk -1 2 3xX-1xxX-1xXpk -1 2 3同理当同理当-
6、1 0 1 2 3 x1-1 0 1 2 3 x1-1 0 1 2 3 x1 分布函数分布函数 F (x) 在在 x = xk (k =1, 2 ,) 处有处有跳跃跳跃, 其跳跃值为其跳跃值为 pk=PX= xk.Xpk -1 2 3说明说明练习练习 具有离散均匀分布具有离散均匀分布, ,即即求求的分布函数的分布函数. .解解 将将所取的所取的个值按从小到大的顺序排列为个值按从小到大的顺序排列为则则时时, ,时时, ,时时, ,时时, ,时时, ,例例4具有离散均匀分布具有离散均匀分布, ,即即求求的分布函数的分布函数. .解解 将将所取的所取的个值按从小到大的顺序排列为个值按从小到大的顺序排
7、列为故故中恰有中恰有个不大于个不大于且且完完例例1 等可能地在数轴上的有界区间等可能地在数轴上的有界区间上投点上投点, ,记记为落点的位置为落点的位置(数轴上的坐标数轴上的坐标), , 求随机变量求随机变量的分布函数的分布函数. .解解 当当时时, ,是不可能事件是不可能事件, ,于是于是, ,当当时时, ,由于由于且且由几何概率得知由几何概率得知, ,当当时时, ,由于由于于是于是例例1 等可能地在数轴上的有界区间等可能地在数轴上的有界区间上投点上投点, ,记记为落点的位置为落点的位置(数轴上的坐标数轴上的坐标), , 求随机变量求随机变量的分布函数的分布函数. .解解当当时时, ,由于由于于是于是综上可得综上可得的分布函数为的分布函数为完完三三 小结小结1.分布函数分布函数2.基本性质基本性质F (x) 是一个不减的函数是一个不减的函数
