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1、化归思想化归思想 化归思想就是化未知为已知、化繁为化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易简、化难为易.如将分式方程化为整式方程如将分式方程化为整式方程,将代数问题化为几何问题将代数问题化为几何问题,将四边形问题转化将四边形问题转化为三角形问题等为三角形问题等.实现这种转化的方法有实现这种转化的方法有:待待定系数法、配方法、整体代入法以及化动为定系数法、配方法、整体代入法以及化动为静、由抽象到具体等。静、由抽象到具体等。 【例例1 1】如图，反比例函数如图，反比例函数y=- y=- 与一次函数与一次函数y=y=x+2x+2的图象交于的图象交于A A、B B两点两点 （1 1）求）求 A A
2、、B B两点的坐标；两点的坐标； （2 2）求）求AOBAOB的面积的面积1.一次数学兴趣小组的活动课上，师生有下面的一段对话，请你阅读完后再解答一次数学兴趣小组的活动课上，师生有下面的一段对话，请你阅读完后再解答问题问题 老师：同学们，今天我们来探索如下方程的解法：老师：同学们，今天我们来探索如下方程的解法： (x2-x)2-8(x2-x)+12=0 学生甲：老师，这个方程先去括号，再合并同类项，行吗学生甲：老师，这个方程先去括号，再合并同类项，行吗? 老师：这样，原方程可整理为老师：这样，原方程可整理为x4-2x3-7x2+8x+12=0，次数变成了，次数变成了4次，用现有的次，用现有的知
3、识无法解答同学们再观察观察，看看这个方程有什么特点知识无法解答同学们再观察观察，看看这个方程有什么特点? 学生乙：老师，我发现方程中学生乙：老师，我发现方程中x2 -x是整体出现的，最好不要去括号是整体出现的，最好不要去括号! 老师：很好，如果我们把老师：很好，如果我们把x2 -x看成一个整体，用看成一个整体，用y表示，即表示，即x2-x=y，那么原方程，那么原方程就变为就变为y2-8y+12=0 全体学生：全体学生：(同学们都特别高兴同学们都特别高兴)噢，这不是我们最熟悉的一元二次方程吗噢，这不是我们最熟悉的一元二次方程吗?! 老师：大家真会观察和思考，太棒了老师：大家真会观察和思考，太棒了
4、!显然一元二次方程显然一元二次方程y2-8y+12=0的根是的根是y1=6，y2=2，那么就有，那么就有x2-x=6或或x2-x=2 学生丙：对啦，再解这两个方程，可得原方程的根，学生丙：对啦，再解这两个方程，可得原方程的根，x1 =3，x2 =-2，x3 =2， x4 =-1，嗬，有这么多根啊，嗬，有这么多根啊! 老师：同学们，通常我们把这种方法叫做换元法在这里，使用它最大的妙处老师：同学们，通常我们把这种方法叫做换元法在这里，使用它最大的妙处在于降低了原方程的次数，这是一种重要的转化方法在于降低了原方程的次数，这是一种重要的转化方法 全体同学：全体同学：OK，换元法真神奇，换元法真神奇!现
5、在，请你用换元法解下列分式方程：现在，请你用换元法解下列分式方程：2.阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+100？经过研究，这个问题的一般性结论是 ，其中是正整数。现在我们来研究一个类似的问题：12+23+？观察下面三个特殊的等式: ; ; .将这三个等式的两边相加，可以得到12+23+34. 读完这段材料，请你思考后回答：读完这段材料，请你思考后回答： . . .（只需写出结果，不必写中间的过程）3.阅读材料：我们知道，在数轴上，阅读材料：我们知道，在数轴上，x1表示一个点，而在平面直角坐表示一个点，而在平面直角坐标系中，标系中，x1表示一条直线；我们还知道
6、，以二元一次方程表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程2xy10的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y2x1的图象，的图象，它也是一条直线，如图它也是一条直线，如图.观察图观察图可以得出：直线可以得出：直线1与直线与直线y2x1的交点的交点P的坐标（的坐标（1，3）就是方程组就是方程组 的解，所以这个方程组的解为在直角坐标的解，所以这个方程组的解为在直角坐标系中，系中，x1表示一个平面区域，即直线表示一个平面区域，即直线x1以及它左侧的部分，如图以及它左侧的部分，如图；y2x1也表示一个平面区域，即直线也表示一个平面区域，即直线y2x1以及它下方的
7、部分，以及它下方的部分，如图如图。P(1,3)Oxy37-2题图lx=1y=2x+1Oxy72题图lx=1Oxy72题图ly=2x+1回答下列问题：回答下列问题：(1)在直角坐标系（图在直角坐标系（图）中，用作图象的方法求出）中，用作图象的方法求出方程组方程组 的解；的解；(2)用阴影表示用阴影表示 ，所围成的区域。，所围成的区域。 4. 阅读下表并探究，完成填空：(1)将你发现的结论一般化，并写出来(2)根据你所发现的结论,在实数范围内将二次三项式 因式分解 一元二次方程两个根二次三项式因式分解x2-2x+1=0x1=1 ， x2=1x2-2x+1=（x-1）（x-1）x2-3x+2=0x1
8、=1 ， x2=2x2-3x+2=（x-1）（x-2）3x2+x-2=0 ， x2=-12x2+5x+2=0 ， x2=-24x2+13x+3=0x1= ， x2= _ 4x2+13x+3=4（x+ ）（x+ ）5.已知：如图已知：如图8，AB是是 O的直径，的直径，P是是AB上的一点（与上的一点（与A、B不重合），不重合），QP AB，垂足为，垂足为P，直线，直线QA交交 O于于C点，过点，过C点作点作 O的切线交直线的切线交直线QP于点于点D。则则CDQ是等腰三角形。是等腰三角形。对上述命题证明如下：对上述命题证明如下：证明：连结证明：连结OC OAOCA1 CD切切O于于C点点OCD90
9、1290A290在在RtQPA中，中，QPA90AQ902QDQDC即即CDQ是等腰三角形。是等腰三角形。问题：对上述命题，当点问题：对上述命题，当点P在在BA的延长线上时，其他条件不变，如图的延长线上时，其他条件不变，如图9所示，所示，结论结论“CDQ是等腰三角形是等腰三角形”还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。说明理由。6我国古代数学家秦九韶在我国古代数学家秦九韶在算书九章算书九章中记述了中记述了“三斜求积术三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积。用现代式子表示即为：，即已知三角形的三边长，求它的面积。用现代式子表示即为：
10、（其中（其中a、b、c为三角形的三边长，为三角形的三边长，s为面积）。为面积）。而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式： （其中）（其中） (1)若已知三角形的三边长分别为若已知三角形的三边长分别为5、7、8，试分别运用公式，试分别运用公式和和公式公式，计算该三角形的面积。，计算该三角形的面积。(2)你能否由公式你能否由公式推导出公式推导出公式？请试试。？请试试。7.阅读下列材料，并解决后面的问题 在锐角ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、 c 过A作ADBC于D(如图)，则 ，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB
11、=bsinC，即 同理有 ， 所以 (*) 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 (1)在锐角三角形中，若已知三个元素a、b、A，运用上述结论(*)和有关定理就可以求出其余三个未知元素c、B、C，请你按照下列步骤填空，完成求解过程： 第一步：由条件a、b、A B； 第二步：由条件 A、B C； 第三步：由条件_ _ c (2)一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30的方向上，随后货轮以284海里时的速度按北偏东45的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西70的方向上(如图)，求此时货轮距灯塔A的距离AB(结果精确到01参考数据：sin40=06 4 3，sin6
12、5=090 6，sin70=0940，sin7 5=09 6 6)1.阅读下面操作过程，回答后面问题：在一次数学实践探究活阅读下面操作过程，回答后面问题：在一次数学实践探究活动中，小强过动中，小强过A、C两点画直线两点画直线AC把平行四边形把平行四边形ABCD分割成分割成两个部分（两个部分（a），小刚过），小刚过AB、AC的中点画直线的中点画直线EF，把平行四，把平行四边形边形ABCD也分割成两个部分（也分割成两个部分（b）；）； （a） （b） （c）（1）这两种分割方法中面积之间的关系为：）这两种分割方法中面积之间的关系为： ， ；（2）根据这两位同学的分割方法，你认为把平行四边形分割）根
13、据这两位同学的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上面积关系的直线有成满足以上面积关系的直线有 条，请在图（条，请在图（c）的平行）的平行四边形中画出一种；四边形中画出一种；（3）由上述实验操作过程，你发现了什么规律？）由上述实验操作过程，你发现了什么规律？2.阅读以下短文，然后解决下列问题：阅读以下短文，然后解决下列问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的的矩形为三角形的“友好
14、矩形友好矩形”. 如图如图8所示，矩形所示，矩形ABEF即为即为ABC的的“友好矩形友好矩形”. 显然，当显然，当ABC是钝角三角形时，其是钝角三角形时，其“友友好矩形好矩形”只有一个只有一个 .(1) 仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形友好平行四边形”；(2) 如图如图8，若，若ABC为直角三角形，且为直角三角形，且C=90，在图，在图8中画中画出出ABC的所有的所有“友好矩形友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；，并比较这些矩形面积的大小；(3) 若若ABC是锐角三角形，且是锐角三角形，且BCACAB，在图，在图8中画出中画出ABC的所有的所有“友好矩形友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明，指出其中周长最小的矩形并加以证明.
