《高中全程复习方略配套课件12.2二项式定理苏教版数学理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中全程复习方略配套课件12.2二项式定理苏教版数学理（41页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节 二项式定理高考指数高考指数:内内 容容要要 求求A AB BC C二项式定理二项式定理1.1.二项式定理二项式定理二项式定理二项式定理 二项展开式二项展开式的通项的通项 二项式系数二项式系数 ( (a+b)a+b)n n=_=_(_(nNnN* *) )T Tk+1k+1=_,=_,它表示第它表示第_项项二项展开式中各项的系数为二项展开式中各项的系数为 _(r=0,1,2,_(r=0,1,2,n) ,n) 【即时应用即时应用】(1)(1)思考：二项式定理中等号左侧思考：二项式定理中等号左侧( (a+b)a+b)n n中的中的a a与与b b能交换吗？能交换吗？提示：提示：不能不能. .
2、因为因为( (a+b)a+b)n n中的通项中的通项 与与( (b+a)b+a)n n的通项的通项 是不同的，故不能随便交换是不同的，故不能随便交换a a与与b.b.(2)(a+b)(2)(a+b)n n展开式中，二项式系数展开式中，二项式系数 (r=0,1,2,(r=0,1,2,n),n)与展开式与展开式中项的系数中项的系数_(_(填：填：“一定一定”，“不一定不一定”) )相同相同. .【解析解析】二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念, ,二项二项式系数是指式系数是指 它只与各项的项数有关，而与它只与各项的项数有关，而与a,ba,b无关；而项的系
3、数是指该项中除变量外的部分，它不仅与无关；而项的系数是指该项中除变量外的部分，它不仅与各项的二项式系数有关，而且也与各项的二项式系数有关，而且也与a,ba,b所代表的项有密切关系所代表的项有密切关系. .答案：答案：不一定不一定(3) =_.(3) =_.【解析解析】原式原式=(1-2)=(1-2)1111=-1.=-1.答案：答案：-1-1(4) (4) 的展开式中，的展开式中，x x3 3的系数等于的系数等于_._.【解析解析】 的通项为的通项为得得r r2 2， r r3 30 0，故，故x3x3的系数为的系数为 15.15.答案：答案：15152.2.二项式系数的性质二项式系数的性质(
4、 (a+b)a+b)n n展开式的二项式系数展开式的二项式系数 有如下性质：有如下性质：(1) =_;(1) =_;(2) =_;(2) =_;(3)(3)当当_时，时， 当当_时，时， (4) =_;(4) =_;(5)(5)当当n n是偶数时，二项式系数中，以是偶数时，二项式系数中，以_最大，当最大，当n n为奇数为奇数时，二项式系数中以时，二项式系数中以_和和_(_(两者相等两者相等) )最大最大; ;(6)(6)在在( (a+b)a+b)n n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即项的二项式系数的和，即 =_.=_.2
5、 2n n2 2n-1n-1【即时应用即时应用】(1)(1)若若 的展开式中第的展开式中第3 3项的二项式系数是项的二项式系数是1515，则展开式，则展开式中所有项的系数之和为中所有项的系数之和为_._.(2)(2)已知已知(3-x)(3-x)4 4=a=a0 0+a+a1 1x+ax+a2 2x x2 2+a+a3 3x x3 3+a+a4 4x x4 4，则，则a a0 0-a-a1 1+a+a2 2-a-a3 3+a+a4 4等于等于_._.(3)(3)二项式二项式(1-x)(1-x)4n+14n+1的展开式中，系数最大的项为第的展开式中，系数最大的项为第_项项. .(4)(4)若若 的
6、展开式中第的展开式中第6 6项的系数最大，则不含项的系数最大，则不含x x的项等的项等于于_._.【解析解析】(1)(1)依题意，得依题意，得 1515，即，即 1515，n(nn(n1)1)30(30(其中其中n2)n2)，由此解得，由此解得n n6 6，因此展开式中所有项的系数之，因此展开式中所有项的系数之和为和为 (2)(2)由题意可知，令由题意可知，令x x1 1，代入式子，可得，代入式子，可得a a0 0-a-a1 1+a+a2 2-a-a3 3+a+a4 43 3( (1)1)4 4256.256.(3)(3)因为因为4n+14n+1为奇数，所以展开式有为奇数，所以展开式有4n+2
7、4n+2项，则项，则T T2n+12n+1= = (-x) (-x)2n2n,T,T2n+22n+2= = 系数分别为系数分别为所以系数最大的项为第所以系数最大的项为第2n+12n+1项项. .(4)(4)由已知得，第由已知得，第6 6项应为中间项，则项应为中间项，则n=10.n=10.答案：答案：(1) (2)256 (3)2n+1 (4)210(1) (2)256 (3)2n+1 (4)210 求特定项或特定项的系数求特定项或特定项的系数【方法点睛方法点睛】理解二项式定理应注意的问题理解二项式定理应注意的问题(1)(1)通项公式通项公式T Tr+1r+1表示的是第表示的是第“r+1r+1”
8、项，而不是第项，而不是第“r r”项；项；(2)(2)通项公式中通项公式中a a和和b b的位置不能颠倒；的位置不能颠倒；(3)(3)展开式中第展开式中第r+1r+1项的二项式系数项的二项式系数 与第与第r+1r+1项的系数在一般项的系数在一般情况下是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符情况下是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心号，对根式和指数的运算要细心, ,以防出错以防出错. . 【例【例1 1】(2011(2011浙江高考改编浙江高考改编) )设二项式设二项式 (a(a0)0)的展的展开式中开式中x x3 3的系数为的系数为A A，常数项为，
9、常数项为B B，若，若B=4AB=4A，求，求a a的值的值. .【解题指南解题指南】先求通项公式先求通项公式T Tr+1r+1，然后求出，然后求出A A，B B，最后由，最后由B=4AB=4A求求a a的值的值. .【规范解答规范解答】由由B=4AB=4A可得可得a a2 2=4=4，又，又a a0 0，所以，所以a=2.a=2.【反思反思感悟感悟】解答此类问题的步骤解答此类问题的步骤(1)(1)根据所给出的条件根据所给出的条件( (特定项特定项) )和通项公式建立方程和通项公式建立方程. .(2)(2)解相应方程，注意二项式系数中解相应方程，注意二项式系数中n n和和r r的隐含条件，即的
10、隐含条件，即nrnr且且nNnN* *, ,rNrN. .(3)(3)写出相应项写出相应项. .2.2.在在(1+2x)(1+2x)1010的展开式中的展开式中, ,(1)(1)求系数最大的项求系数最大的项; ;(2)(2)若若x=2.5x=2.5，则第几项的值最大，则第几项的值最大? ?【解析解析】(1)(1)设第设第r+1r+1项的系数最大，由通项公式得项的系数最大，由通项公式得依题意知依题意知T Tr+1r+1项的系数不小于项的系数不小于T Tr r项及项及T Tr+2r+2项的系数项的系数. .则则解得解得 且且rN,rrN,r=7,=7,故系数最大的项为故系数最大的项为(2)(2)设
11、展开式中的第设展开式中的第r+1r+1项的值最大，项的值最大，则则T Tr+1r+1TTr r0,T0,Tr+1r+1TTr+2r+20 0，将将x=2.5x=2.5代入得代入得得得 rN,r=9rN,r=9，即展开式中的第，即展开式中的第1010项的值最大项的值最大. . 二项式系数和或各项的系数和二项式系数和或各项的系数和【方法点睛方法点睛】赋值法的应用赋值法的应用(1)(1)对形如对形如( (ax+b)ax+b)n n、(ax(ax2 2+bx+c)+bx+c)m m(a,b,cR)(a,b,cR)的式子求其展开式的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令的各项系数之和，常用赋值
12、法，只需令x=1x=1即可；对形如即可；对形如( (ax+by)ax+by)n n(a,bR(a,bR) )的式子求其展开式各项系数之和，只需令的式子求其展开式各项系数之和，只需令x=y=1x=y=1即可即可. .(2)(2)若若f(xf(x)=a)=a0 0a a1 1x xa a2 2x x2 2a an nx xn n，则，则f(xf(x) )展开式中各项系展开式中各项系数之和为数之和为f(1)f(1)，奇数项系数之和为奇数项系数之和为偶数项系数之和为偶数项系数之和为 【提醒提醒】“赋值法赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值要有利于问题的
13、解决，可以取一个值，也可以取几组值，意取值要有利于问题的解决，可以取一个值，也可以取几组值，解题易出现漏项等情况，应引起注意解题易出现漏项等情况，应引起注意. . 【例例2 2】设设(3x-1)(3x-1)4 4=a=a0 0+a+a1 1x+ax+a2 2x x2 2+a+a3 3x x3 3+a+a4 4x x4 4. .(1)(1)求求a a0 0+a+a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4; ;(2)(2)求求a a0 0+a+a2 2+a+a4 4; ;(3)(3)求求a a1 1+a+a3 3; ;(4)(4)求求a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4;
14、 ;(5)(5)求各项二项式系数的和求各项二项式系数的和. .【解题指南解题指南】本题给出二项式及其二项展开式，求各项系数和本题给出二项式及其二项展开式，求各项系数和或部分项系数和，可用赋值法，即令或部分项系数和，可用赋值法，即令x x取特殊值来解决取特殊值来解决. .【规范解答规范解答】(1)(1)令令x=1,x=1,得得a a0 0+a+a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4=(3-1)=(3-1)4 4=16.=16.(2)(2)令令x=-1x=-1得得 a a0 0-a-a1 1+a+a2 2-a-a3 3+a+a4 4=(-3-1)=(-3-1)4 4=256,=256,
15、 而由而由(1)(1)知知a a0 0+a+a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4=(3-1)=(3-1)4 4=16.=16. 两式相加，得两式相加，得a a0 0+a+a2 2+a+a4 4=136.=136.(3)(3)由由(1)(1)、(2)(2)得得(a(a0 0+a+a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4)-(a)-(a0 0+a+a2 2+a+a4 4)=a)=a1 1+a+a3 3=-120.=-120.(4)(4)令令x=0x=0得得a a0 0=1=1，即，即a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4=a=a0 0+a+a1 1+a+a2
16、 2+a+a3 3+a+a4 4-a-a0 0=16-1=15.=16-1=15.(5)(5)各项二项式系数的和为各项二项式系数的和为【反思反思感悟感悟】1.1.在求解本例第在求解本例第(4)(4)题时容易忽略题时容易忽略a a0 0的值导致错的值导致错解解. .2.2.运用赋值法求值时应充分抓住代数式的结构特征，通过一些运用赋值法求值时应充分抓住代数式的结构特征，通过一些特殊值代入构造相应的结构特殊值代入构造相应的结构. . 二项式定理的综合应用二项式定理的综合应用【方法点睛方法点睛】二项式定理的综合应用二项式定理的综合应用(1)(1)求近似计算：当求近似计算：当n n不很大，不很大，|x|
17、x|比较小时，比较小时，(1+x)(1+x)n n1+nx.1+nx.(2)(2)证明整除问题或求余数问题证明整除问题或求余数问题: :在证明整除问题或求余数问题在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式时要进行合理的变形，使被除式( (数数) )展开后的每一项都有除式展开后的每一项都有除式的因式，要注意变形的技巧的因式，要注意变形的技巧. .(3)(3)证明不等式证明不等式: :由于由于( (a+b)a+b)n n的展开式共有的展开式共有n+1n+1项，故可以对某些项，故可以对某些项进行取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的项进行取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的. . 【例例3
18、 3】(1)(1)求证：求证：4 46 6n n5 5n n1 19 9能被能被2020整除整除. .(2)(2)根据要求的精确度，求根据要求的精确度，求1.021.025 5的近似值的近似值.(.(精确到精确到0.01).0.01).【解题指南解题指南】(1)(1)将将6 6拆成拆成“5+15+1”，将，将5 5拆成拆成“4+14+1”, ,进而利用进而利用二项式定理求解二项式定理求解. .(2)(2)把把1.021.025 5转化为二项式，适当展开，根据精确度的要求取必转化为二项式，适当展开，根据精确度的要求取必要的几项即可要的几项即可. .【规范解答规范解答】(1)4(1)46 6n n
19、5 5n n1 19 94(64(6n n1)1)5(55(5n n1)1)4 4(5(51)1)n n1 15 5(4(41)1)n n1 12020(5(5n n1 1 ) )(4(4n n1 1 ) )是是2020的倍数，所的倍数，所以以4 46 6n n5 5n n1 19 9能被能被2020整除整除. .(2)1.02(2)1.025 5=(1+0.02)=(1+0.02)5 5当精确到当精确到0.010.01时，只要求展开式的前三项和便可，即时，只要求展开式的前三项和便可，即1+0.10+0.004=1.1041+0.10+0.004=1.104，所以所以1.021.025 5的近似值为的近似值为1.10.1.10.【反思反思感悟感悟】利用二项式定理证明整除问题时，首先需注意利用二项式定理证明整除问题时，首先需注意(a(ab)b)n n中，中，a a，b b中有一个是除数的倍数或对二项式整理后得到中有一个是除数的倍数或对二项式整理后得到除数的倍数；其次展开式有什么规律，余项是什么除数的倍数；其次展开式有什么规律，余项是什么. .
