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1、高中数学高中数学高中数学高中数学 必修必修必修必修4 4 4 4 第二章第二章第二章第二章 平面向量平面向量平面向量平面向量7/22/2024复习复习复习复习1:1:向量的加法向量的加法向量的加法向量的加法BA如图如图如图如图, , , ,已知向量已知向量已知向量已知向量a a a a和向量和向量和向量和向量b,b,b,b,作向量作向量作向量作向量a+ba+ba+ba+b. . . .bao.OO. .C C C Ca+bbaABba+ba7/22/2024复习复习复习复习2:2:向量的减法向量的减法向量的减法向量的减法o.BAa-b如图如图如图如图, , , ,已知向量已知向量已知向量已知向
2、量a a a a和向量和向量和向量和向量b,b,b,b,作向量作向量作向量作向量a-b.a-b.a-b.a-b.aba-b-bo.BAab7/22/2024练习练习练习练习1:1:O OA AP PB B探究探究探究探究: : 相同向量相加以后，和的长度与方向有什么变化？相同向量相加以后，和的长度与方向有什么变化？相同向量相加以后，和的长度与方向有什么变化？相同向量相加以后，和的长度与方向有什么变化？-a如图如图如图如图, , , ,已知向量已知向量已知向量已知向量a,a,a,a,作向量作向量作向量作向量a+a+aa+a+aa+a+aa+a+a和和和和(-a)+(-a).(-a)+(-a).(
3、-a)+(-a).(-a)+(-a).aa-aaa-aOA= a+a+aPB= (-a)+(-a)=3a=-2a7/22/2024定义定义定义定义: :特别地，当特别地，当特别地，当特别地，当 =0 =0 =0 =0 或或或或 a = 0 a = 0 a = 0 a = 0 时时时时, , , , aaaa = 0 = 0 = 0 = 0(2) (2) (2) (2) 方向方向方向方向 当当当当0000时时时时, , , ,aaaa的方向与的方向与的方向与的方向与a a a a方向相同；方向相同；方向相同；方向相同； 当当当当0000时时时时, , , ,aaaa的方向与的方向与的方向与的方向
4、与a a a a方向相反；方向相反；方向相反；方向相反；(1) (1) (1) (1) 长度长度长度长度 | | | |aaaa|=|=|=|=|a|a|a|a| | | | 一般地，实数一般地，实数一般地，实数一般地，实数与向量与向量与向量与向量a a a a的积是一个向量，这种运的积是一个向量，这种运的积是一个向量，这种运的积是一个向量，这种运算叫做算叫做算叫做算叫做向量的数乘运算向量的数乘运算向量的数乘运算向量的数乘运算，记作，记作，记作，记作aaaa。它的长度和方向规定如下：它的长度和方向规定如下：它的长度和方向规定如下：它的长度和方向规定如下：7/22/2024练习练习练习练习2:2
5、:结论结论: :2a+2b2b(2) (2) (2) (2) 已知向量已知向量已知向量已知向量a,ba,ba,ba,b，求作向量求作向量求作向量求作向量2(2(2(2(a+ba+ba+ba+b) ) ) )和和和和2 2 2 2a+a+a+a+2 2 2 2b b b b，并比较。并比较。并比较。并比较。ab结论结论: :2a+2b=2(a+b)a+b6a3(2a)a2(a+b2(a+b) )2a3(2a)=6a(2+4)a=2a+4a(1) (1) (1) (1) 根据定义，求作向量根据定义，求作向量根据定义，求作向量根据定义，求作向量3(23(23(23(2a a a a) ) ) )和和
6、和和(6(6(6(6a a a a) () () () (a a a a00) ) ) )，并比较。，并比较。，并比较。，并比较。(a(a(a(a)=()=()=()=() a) a) a) a 运算律运算律运算律运算律: : 设设设设a a a a、b b b b为任意向量，为任意向量，为任意向量，为任意向量，、为任意实数，则有：为任意实数，则有：为任意实数，则有：为任意实数，则有： ( ( ( (+) a=) a=) a=) a=a+aa+aa+aa+a (a+b(a+b(a+b(a+b)=)=)=)=a+ba+ba+ba+b2(a+b2(a+b) )7/22/2024练习练习练习练习3:
7、3:解解解解: (1) : (1) : (1) : (1) 原式原式原式原式 = = = = (2) (2) (2) (2) 原式原式原式原式 = = = =(3) (3) (3) (3) 原式原式原式原式 = = = =计算：计算：计算：计算：( ( ( (口答口答口答口答) ) ) ) (1) (-3) (1) (-3) (1) (-3) (1) (-3) 4 a4 a4 a4 a (2) 3( (2) 3( (2) 3( (2) 3( a+ba+ba+ba+b) ) ) ) 2( a-b)-a2( a-b)-a2( a-b)-a2( a-b)-a (3) (2a+3b-c) (3) (2
8、a+3b-c) (3) (2a+3b-c) (3) (2a+3b-c) (3a-2b+c (3a-2b+c (3a-2b+c (3a-2b+c ) ) ) ) (3-2-1)a+(3+2)b (3-2-1)a+(3+2)b (3-2-1)a+(3+2)b (3-2-1)a+(3+2)b= 5b= 5b= 5b= 5b (2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c (2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c (2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c (2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c= -a+5b-2c= -a+5b-2c= -a+5b-2c= -a+5b-2c -12a -12a -1
9、2a -12a 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。对于任意的向量对于任意的向量对于任意的向量对于任意的向量 a,ba,ba,ba,b 以及任意实数以及任意实数以及任意实数以及任意实数 , , , , ,恒有恒有恒有恒有 (1 1 1 1a a a a2 2 2 2b)=b)=b)=b)=1 1a a2 2b b7/22/2024思考思考思考思考: :定理定理定理定理: :当当当当a a a a与与与与b b b b同方向时，有同方向时，有同方向时，有同方
10、向时，有b=b=b=b=aaaa; ; ; ;当当当当a a a a与与与与b b b b反方向时，有反方向时，有反方向时，有反方向时，有b=-b=-b=-b=-aaaa，所以始终有一个实数所以始终有一个实数所以始终有一个实数所以始终有一个实数，使，使，使，使b=b=b=b=aaaa。 向量向量向量向量b b b b与与与与非零向量非零向量非零向量非零向量a a a a共线共线共线共线当且仅当有唯一当且仅当有唯一当且仅当有唯一当且仅当有唯一一个实数一个实数一个实数一个实数，使得，使得，使得，使得 b=b=b=b=aaaa. . . .1 1 1 1、如果、如果、如果、如果 b=b=b=b=aa
11、aa , , , , 那么，向量那么，向量那么，向量那么，向量a a a a与与与与b b b b是否共线？是否共线？是否共线？是否共线？2 2 2 2、如果非零向量、如果非零向量、如果非零向量、如果非零向量a a a a与与与与b b b b共线，那么是否有共线，那么是否有共线，那么是否有共线，那么是否有，使，使，使，使b=b=b=b=aaaa ？ 对于向量对于向量对于向量对于向量a(a0)a(a0)a(a0)a(a0)、b b b b，如果有一个实数，如果有一个实数，如果有一个实数，如果有一个实数，使得，使得，使得，使得b=b=b=b=aaaa , , , , 那么，由数乘向量的定义知：向
12、量那么，由数乘向量的定义知：向量那么，由数乘向量的定义知：向量那么，由数乘向量的定义知：向量a a a a与与与与b b b b共线。共线。共线。共线。 若向量若向量若向量若向量a a a a与与与与b b b b共线，共线，共线，共线，a0a0a0a0，且向量，且向量，且向量，且向量b b b b的长度是的长度是的长度是的长度是a a a a的长的长的长的长度的度的度的度的倍，即有倍，即有倍，即有倍，即有|b|=|b|=|b|=|b|=|a|a|a|a|,|,|,|,且且且且7/22/2024例题例题例题例题1:1:AEDCB解：解：解：解： =3 AC=3 AC =3( AB+ BC )=
13、3( AB+ BC ) AB+BC=ACAB+BC=AC =3 AB+3 BC =3 AB+3 BC又又 AE=AD+DEAE=AD+DE ACAC与与AE AE 共线共线如图，已知如图，已知如图，已知如图，已知AD=3ABAD=3ABAD=3ABAD=3AB、DE=3BCDE=3BCDE=3BCDE=3BC，试判断，试判断，试判断，试判断ACACACAC与与与与AEAEAEAE是否共线是否共线是否共线是否共线? ? ? ?变变：若若B B、C C分别是分别是ADAD、AEAE的三等分点，证明：的三等分点，证明：BCBCDEDE。7/22/2024例题例题例题例题2:2:解：作图如右解：作图如
14、右解：作图如右解：作图如右OABC依图猜想依图猜想依图猜想依图猜想:A:A:A:A、B B B B、C C C C三点共线三点共线三点共线三点共线 A A A A、B B B B、C C C C三点共线三点共线三点共线三点共线. . . .abbb已知任意两非零向量已知任意两非零向量a a、b b，试作试作 OA=OA=a+ba+b, OB=a+2b, OC=a+3b, OB=a+2b, OC=a+3b。你能判断你能判断A A、B B、C C三点之间的位置关系吗？为什么？三点之间的位置关系吗？为什么？ba AB=OB-OAAB=OB-OAAB=OB-OAAB=OB-OA AC=2ABAC=2A
15、BAC=2ABAC=2AB又又又又 AC=OC-OAAC=OC-OAAC=OC-OAAC=OC-OA =a+3b-(a+b)=2b =a+3b-(a+b)=2b =a+3b-(a+b)=2b =a+3b-(a+b)=2b =a+2b-(a+b)=b =a+2b-(a+b)=b =a+2b-(a+b)=b =a+2b-(a+b)=b又又又又 ABABABAB与与与与ACACACAC有公共点有公共点有公共点有公共点A A A A，7/22/2024练习练习练习练习4:4:P P100100 3 3、4 4、5 57/22/2024小结回顾小结回顾小结回顾小结回顾: : 二、知识应用：二、知识应用：
16、二、知识应用：二、知识应用： 1.1.1.1.证明证明证明证明 向量共线；向量共线；向量共线；向量共线； 2.2.2.2.证明证明证明证明 三点共线三点共线三点共线三点共线: AB=BC A,B,C: AB=BC A,B,C: AB=BC A,B,C: AB=BC A,B,C三点共线；三点共线；三点共线；三点共线； 3.3.3.3.证明证明证明证明 两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行: : : : AB= AB= AB= AB=CDCDCDCD ABCD ABCD ABCD ABCD AB AB AB AB、CDCDCDCD不重合不重合不重合不重合直线直线直线直线ABABABAB直线直线直线直线CDCDCDCD一、概念与定理一、概念与定理一、概念与定理一、概念与定理 a a a a 的定义及运算律的定义及运算律的定义及运算律的定义及运算律 向量共线定理向量共线定理向量共线定理向量共线定理 ( a0 )( a0 )( a0 )( a0 ) b=b=b=b=a a a a 向量向量向量向量a a a a与与与与b b b b共线共线共线共线7/22/2024作业作业作业作业: :P P102102 9 9、1212、1313谢谢 谢谢 ! !7/22/2024
