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1、 初中数学思想初中数学思想方法选讲方法选讲 在数学的海洋中，一在数学的海洋中，一道道数学题只是大海中道道数学题只是大海中的一朵朵浪花，谁能踏的一朵朵浪花，谁能踏遍每一朵浪花呢？遍每一朵浪花呢？ 数学思想方法的三个层次数学思想方法的三个层次: : 数学思想数学思想数学思想数学思想和方法和方法和方法和方法数学一般方法数学一般方法数学一般方法数学一般方法逻辑学中的方逻辑学中的方逻辑学中的方逻辑学中的方法法法法( ( ( (或思维方法或思维方法或思维方法或思维方法) ) ) )数学思想方法数学思想方法数学思想方法数学思想方法配方法、换元法、配方法、换元法、配方法、换元法、配方法、换元法、待定系数法、判
2、别待定系数法、判别待定系数法、判别待定系数法、判别式法、割补法等式法、割补法等式法、割补法等式法、割补法等 分析法、综合法、分析法、综合法、分析法、综合法、分析法、综合法、归纳法、反证法等归纳法、反证法等归纳法、反证法等归纳法、反证法等函数和方程思想、分函数和方程思想、分函数和方程思想、分函数和方程思想、分类讨论思想、数形结类讨论思想、数形结类讨论思想、数形结类讨论思想、数形结合思想、化归思想等合思想、化归思想等合思想、化归思想等合思想、化归思想等 函数与方程思想函数与方程思想v例例 如图，如图， 中，中，BC4， ，P为为BC上一点，过上一点，过点点P作作PD/AB，交，交AC于于D。连结。
3、连结AP，问点，问点P在在BC上何处时，上何处时， APD 面积最大？面积最大？设设BPx， APD 的面积为的面积为y 如图,已知AB是半圆O的直径,圆O 与圆O内切，圆O切AB于C,CO的延长线交O于E,又AB=6，CE= ,求O半径DABECOO3-rrr 以正方形以正方形ABCD的的BC边为直径作半圆边为直径作半圆O, 过点过点D作直线切半圆于点作直线切半圆于点F, 交交AB边于点边于点E. 则三角则三角形形ADE和直角梯形和直角梯形EBCD周长之比为（周长之比为（ ） (A) 3:4 (B) 4:5 (C) 5:6 (D) 6:7 数形结合思想数形结合思想数数形形结结合合百百般般好好
4、数数缺缺形形时时少少直直观观形形少少数数时时难难入入微微隔隔裂裂分分家家万万事事休休 2. 2. 方程方程 的正根的个数为（的正根的个数为（ ） A.0 A.0个个 B.1 B.1个个 C.2 C.2个个 D.3 D.3个个1.1.对于二次函数对于二次函数y yaxax2 2bxbxc c，若，若a a0 0，b b0 0，c c 0 0，则下面关于这个函数与则下面关于这个函数与x x轴的交点情况正确的是（轴的交点情况正确的是（ ） A. A.只有一个交点只有一个交点 B. B.有两个，都在有两个，都在x x轴的正半轴轴的正半轴 C. C.有两个，都在有两个，都在x x轴的负半轴轴的负半轴 D
5、. D.一个在一个在x x轴的正半轴，一个在轴的正半轴，一个在x x轴的负半轴轴的负半轴O Oyx-2-2-3-3y12 2y y2 24 41 1-2-2 -1-1若若y y1 12 2x x2 2，y y2 22 2x x2 24 4x x2 2，y y3 3O Oyx-3-3y12 2y3-1-13 3( 08湖北恩施州湖北恩施州) 如图如图,C为线段为线段BD上一动点上一动点,分别过分别过点点B、D作作ABBD,EDBD,连接连接AC、EC.已知已知AB=5,DE=1,BD=8,设设CD=x.(1)用含用含x的代数式表示的代数式表示ACCE的长；的长；(2)请问点请问点C满足什么条件时
6、满足什么条件时,ACCE的值最小的值最小?(3)根据根据(2)中的规律和结论中的规律和结论,请构图求出代数式请构图求出代数式的最小值的最小值.EDCBA 如图，如图，RtABC RtADE，A=900，BC和和DE交于点交于点P，若，若AC=3，AB=4，则，则P点到点到AB边边的距离是的距离是_ 一般解法：经过添加辅助线，一般解法：经过添加辅助线，利用相似三角形的判定和性质，解利用相似三角形的判定和性质，解方程等步骤得到结果方程等步骤得到结果解：如图，建立平面直角坐标系，解：如图，建立平面直角坐标系， x=启示：启示：运用坐标系和函数方法解题，思路简捷，思维运用坐标系和函数方法解题，思路简捷
7、，思维量少，方法易于掌握，特别是对那些数量关系比较确定量少，方法易于掌握，特别是对那些数量关系比较确定的问题，运用坐标系解决问题的效率较理想，常常能出的问题，运用坐标系解决问题的效率较理想，常常能出奇制胜的作用奇制胜的作用 以数解形以数解形 以形助数以形助数 化归思想化归思想v未知向已知转化；未知向已知转化；复杂问题向简单问题转化，复杂问题向简单问题转化，空间向平面的转化；空间向平面的转化；高维向低维转化；高维向低维转化；多元向一元转化；多元向一元转化；高次向低次转化；高次向低次转化；函数与方程的转化；函数与方程的转化；无限向有限的转化等；无限向有限的转化等；1、解方程（组）降次、换元、公式变
8、形、解方程（组）降次、换元、公式变形2、方程和函数及不等式转化、方程和函数及不等式转化3、几何辅助线引发的几何习题的条件和结论、几何辅助线引发的几何习题的条件和结论的变化和图形的变化的变化和图形的变化4、代数、几何之间的转化思想、代数、几何之间的转化思想v不等式的学习 v = +1 +1 如图所示，如图所示，ABAB是半圆的直径，是半圆的直径，AB=4AB=4，C C、D D为为半圆的三等分点，求阴影部分的面积半圆的三等分点，求阴影部分的面积? ?如图，已知四边形如图，已知四边形AOBE和四边形和四边形CBFD均为正方形，反比例函数均为正方形，反比例函数 的图象经的图象经过过D、E两点，则两点
9、，则DOE的面积等于的面积等于_ A B B A A B A BLL延延伸伸一一：某某供供电电部部门门准准备备在在输输电电主主干干线线L上上连连接接一一个个分分支支线线路路，分分支支点点为为M，同同时时向向新新落落成成的的A、B两两个个居居民民小小区区送送电电。已已知知两两个个居居民民小小区区A、B分分别别到到主主干干线线的的距距离离AA1=2千千米米，BB1=1千千米米，且且A1B1=4千千米米。 （1）如如果果居居民民小小区区A、B位位于于主主干干线线L的的两两旁旁，如如左左图图所所示示，那那么么分分支支点点M在在什什么么地地方方时时总总路路线线最最短短？最最短短线线路路的的长长度度是是多
10、多少少千千米米？（2）如如果果居居民民小小区区A、B位位于于主主干干线线L的的同同旁旁，如如图图右右所所示示，那那么么分分支支点点M在在什什么么地地方方时时总总路路线最短？此时分支点线最短？此时分支点M与与A1的距离是多少千米？的距离是多少千米？ABCDMN延伸二延伸二：如图，正方形如图，正方形ABCD的边长为的边长为8， M在在DC上，且上，且DM=2，N是是AC 上一动点，则上一动点，则DN+MN的最小值是多少？的最小值是多少？ABMNOP延伸三：延伸三：如图，如图，A是半圆上一个三等分点，是半圆上一个三等分点， B是弧是弧AN的中点，的中点，P是直径是直径MN上一动点，上一动点， OO的
11、半径为的半径为1 1，求，求AP+BPAP+BP的最小值。的最小值。延伸四延伸四：如图所示，在边长为如图所示，在边长为6的菱形的菱形ABCD中，中， DAB=600，E为为AB的中点，的中点，F是是AC 上一动点，则上一动点，则EF+BF的最小值是多少？的最小值是多少？ABCDEFxyoMPQ延伸五：延伸五：在直角坐标系在直角坐标系XOY中中x轴上的动点轴上的动点M（x,0）到定点到定点P（5，5），），Q（2，1）的距离分别为）的距离分别为MP和和MQ，那么当，那么当MP+MQ取最小值时，点取最小值时，点M的横坐标的横坐标x=? A B 牧童放牛牧童放牛 将军饮马将军饮马如如图图，一一位位小
12、小牧牧童童，从从A地地出出发发，赶赶着着牛牛群群到到河河边边饮饮水水，然然后后再再到到B地地，问问怎怎样样选选择择饮饮水水的的地地点点，才能使牛群所走的路程最短？才能使牛群所走的路程最短？ 分类讨论思想分类讨论思想一一. .与概念有关的分类与概念有关的分类v1. 一次函数一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是的自变量的取值范围是 -3x 6，相应的函数值的取值范围是，相应的函数值的取值范围是 -5y-2 ，则这个函数的解析式，则这个函数的解析式 。-5=-3k+b -2=6k+b-5=6k+b-2=-3k+b2. 函数函数y=ax2-ax+3x+1与与x轴只有一个交点，求轴只有一个交点，求a
13、的的值与交点坐标。值与交点坐标。1、对、对A进行讨论进行讨论2、对、对B进行讨论进行讨论3、对、对C进行讨论进行讨论CABACB20202020CAB5050CAB808020CAB656550CAB3535110A AC CB B50501101102020二二.图形位置、形状的分类图形位置、形状的分类 在三角形的边上找出一点，使得该点在三角形的边上找出一点，使得该点与三角形的两顶点构成与三角形的两顶点构成等腰三角形等腰三角形！在平面直角坐标系中，已知点在平面直角坐标系中，已知点P（2，1）.（1）点）点T（t，0）是）是x轴上轴上的一个动点。当的一个动点。当t取何值时，取何值时，TOP是等
14、腰三角形？是等腰三角形？xy0.P情况一情况一:OP=OT情况二情况二:PO=PT情况三情况三:TO=TPT3(-4,0)在平面直角坐标系中，已知点在平面直角坐标系中，已知点P（2，1）.xy0.PA（1）点）点T（t，0）是）是x轴上轴上的一个动点。当的一个动点。当t取何值时，取何值时，TOP是等腰三角形？是等腰三角形？(2) 过过P作作y轴的垂线轴的垂线PA,垂足为垂足为A.点点T为坐标系中的一点。以点为坐标系中的一点。以点A.O.P.T为顶点的四边形为平行为顶点的四边形为平行四边形四边形,请写出点请写出点T的坐标的坐标?(2) 过过P作作y轴的垂线轴的垂线PA,垂足为垂足为A.点点T为坐
15、标系中的一点。以点为坐标系中的一点。以点A.O.P.T为顶点的四边形为平行为顶点的四边形为平行四边形四边形,请写出点请写出点T的坐标的坐标?在平面直角坐标系中，已知点在平面直角坐标系中，已知点P（2，1）.xy0.PA(3) 过过P作作y轴的垂线轴的垂线PA,垂足为垂足为A.点点T为坐标轴上的一点。以为坐标轴上的一点。以P.O.T 为顶点的三角形与为顶点的三角形与AOP相似相似,请写出点请写出点T的坐标的坐标?半径为半径为R的两个等圆外切，则半径为的两个等圆外切，则半径为2R且和这两个圆都相切的且和这两个圆都相切的圆有几个？圆有几个？ 如图，边长为如图，边长为2的正方形的正方形ABCD中，顶点
16、中，顶点A的坐标是的坐标是（0，2）.一次函数一次函数yxt的的图象图象l随随t的不同取值变化时，的不同取值变化时，正方形中位于正方形中位于l的右下方部分的右下方部分的图形面积为的图形面积为S写出写出S与与t的的函数关系式函数关系式三、在运动中进行分类三、在运动中进行分类解含有字母系数（参数）的题目时，必须解含有字母系数（参数）的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论根据参数的不同取值范围进行讨论. 四、含参型分类四、含参型分类.分式方程、一次二次方程函数分式方程、一次二次方程函数数学方法数学方法技巧型数学方法主要有：消元法、配方法、换元法、技巧型数学方法主要有：消元法、配方法、换元法、待
17、定系数法、等积法、参数法、坐标法、构造法、待定系数法、等积法、参数法、坐标法、构造法、折叠实践法、几何问题代数化等。折叠实践法、几何问题代数化等。逻辑数学方法有：分析法、综合法、归纳法、反证法等。逻辑数学方法有：分析法、综合法、归纳法、反证法等。例例 计算计算 换元法换元法 换元法换元法 消元法消元法例例.（a-1）:（b+1）:（c+2）=1:2:3 配方法配方法 反证法反证法1589年，年，25岁的意大利物理学家伽利略登上比萨斜塔，岁的意大利物理学家伽利略登上比萨斜塔，同时丢下两个重量不同的铁球，用实验推翻了古希腊同时丢下两个重量不同的铁球，用实验推翻了古希腊哲学家亚里斯多德的哲学家亚里斯
18、多德的“不同重量的物体从高处下落的不同重量的物体从高处下落的速度与其重量成正比速度与其重量成正比”的错误论断。的错误论断。伽利略还进行了如下的推理论证：假设亚里斯多德的伽利略还进行了如下的推理论证：假设亚里斯多德的论断是正确的，设物体论断是正确的，设物体A比物体比物体B重得多，则重得多，则A比比B先落先落地，现在把地，现在把A和和B捆在一起，成为物体捆在一起，成为物体A+B。一方面，一方面，由于由于A+B比比A重，则重，则A+B比比A应先落地；应先落地；另一方面，由另一方面，由于于B比比A轻，按亚里斯多德的理论，轻，按亚里斯多德的理论，B下落的速度比下落的速度比A慢，慢，把把A、B捆在一起时，
19、捆在一起时，B便便“拉了拉了A的后腿的后腿”，使，使A下落下落的速度减慢，所以，的速度减慢，所以，A+B应该比应该比A后落地。后落地。自相矛盾的结论：一方面，自相矛盾的结论：一方面，A+B比比A应应先落地，另一方面，先落地，另一方面，A+B应比应比A后落地。后落地。根源是亚里斯多德的论断。根源是亚里斯多德的论断。已知抛物线， ， 中至少有一条与轴相交，求实数a的取值范围。 正难则反正难则反v设设 a、b、c为实数，为实数，则则x、y、z中至少有一个中至少有一个( ) A大于零大于零 B等于零等于零 C不大于零不大于零 D小于零小于零 如图所示，在如图所示，在 中中, , 点点P P由点由点C
20、C出发以出发以2cm/s2cm/s的速度沿线段的速度沿线段CACA向向点点A A运动（不运动到运动（不运动到A A点），圆点），圆O O的圆心在的圆心在BPBP上，且圆上，且圆O O与边与边ACAC、ABAB相切，当点相切，当点P P运动运动2s2s时，求圆时，求圆O O的半径的半径r r。 面积法面积法 数学思想方法的实施途径数学思想方法的实施途径v1 在知识的发生、形成过程中发掘并强化在知识的发生、形成过程中发掘并强化渗透数学思想方法渗透数学思想方法v2 在知识的运用过程中，注重数学思想方在知识的运用过程中，注重数学思想方法的分析和指导法的分析和指导v3 在知识的归纳和总结中提炼概括数学思
21、在知识的归纳和总结中提炼概括数学思想方法想方法定义定义在同一平面内，由在同一平面内，由不在同一条直线不在同一条直线上的上的三三条线段首尾顺次相接条线段首尾顺次相接所组成的图形。所组成的图形。研究什么研究什么如何研究如何研究四边形四边形转化转化为三角形为三角形类比知新类比知新在同一平面内，由在同一平面内，由不在同一条直线不在同一条直线上的上的n条线段首尾顺次相接条线段首尾顺次相接所组成的图形。所组成的图形。内角、外角内角、外角多边形多边形转化转化为三角形四边形为三角形四边形 多边形的内角和多边形的内角和1180 31804180 2180合作学习合作学习你能用适当的方法探究多边形的内角和吗？你能
22、用适当的方法探究多边形的内角和吗？边数边数图形图形3456n从某顶点出发从某顶点出发的对角线条数的对角线条数3120划分成的三划分成的三角形个数角形个数2341v今天我们研究了什么今天我们研究了什么? ?v我们得到了哪些成果我们得到了哪些成果? ?v如何得到这些成果如何得到这些成果? ?v在研究过程中有何体会在研究过程中有何体会? ?研多边形内外角，展其本质学数学知识方法，取其精髓不变应万变学习梳理学习梳理1234(a+b)(m+n)=am1234abmnamanbnbm多项式的乘法+an+bm+bnaabbcc(a+b+c)2你能读懂下图吗你能读懂下图吗? 图形的语言图形的语言 a2 ab
23、ab b2 =a2 +b2+c2 +2ab+2ac+2bc a2 ab ac ab b2 bc ac bc c2(a+b)2 =a2 +2ab +b2 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系当当dr ，那么直线，那么直线l与与 O相离相离当当d=r ，那么直线，那么直线l与与 O相切相切当当dr ，那么直线，那么直线l与与 O相交相交d表示圆心表示圆心O到直线到直线l的距的距离，离，r表示表示 O的半径的半径rrr用圆心到直线的距离和圆半径的数量关系，用圆心到直线的距离和圆半径的数量关系，来揭示圆和直线的位置关系。来揭示圆和直线的位置关系。点与圆、圆与圆的位置关系点与圆、圆与圆的位置关系数形结合
24、思想数形结合思想 分类思想分类思想在代数的教学中，二元一次方程组、整式乘法、因式在代数的教学中，二元一次方程组、整式乘法、因式分解三个部分中经常用到一种方法就是换元法，体现分解三个部分中经常用到一种方法就是换元法，体现的就是整体思想。的就是整体思想。整体代入整体代入1、解方程组：（、解方程组：（1） (2) 2、已知、已知 ，求下列代数式的值：，求下列代数式的值：（1） （2） （3）3、已知、已知 求：求： 的值。的值。整体加减整体加减1、解方程组、解方程组:（1） （2） 2、已知方程组、已知方程组 ，则，则 是多少？是多少？整体代换整体代换1、计算：（结果用幂的形式表示）、计算：（结果用
25、幂的形式表示）（1） （2） （3） （4）2、分解因式。、分解因式。（1） （2）（3） （4）3、计算：（多项式乘、除法）、计算：（多项式乘、除法）（1） （2） （3）整体改造整体改造1、如果、如果 ，那么，那么a的值是的值是多少？多少？2、若、若 的结果不含的结果不含x的一次项，的一次项，则则p的值是什么？的值是什么？3、若、若 对于对于n的任何值都成立，求的任何值都成立，求m, n 的值。的值。（2009绵阳中考绵阳中考12题）如图，题）如图，ABC是直角是直角边长为边长为a的等腰直角三角形，直角边的等腰直角三角形，直角边AB是半是半圆圆O1的直径，半圆的直径，半圆O2过过C点且与半
26、圆点且与半圆O1相切，相切，则图中阴影部分的面积是则图中阴影部分的面积是O2O1APBCv“作为知识的数学出校门不到两年就作为知识的数学出校门不到两年就可能忘了，唯有深深铭记在头脑中的可能忘了，唯有深深铭记在头脑中的是数学的精神、数学的思想、研究方是数学的精神、数学的思想、研究方法和着眼点等，这些随时地发生作用，法和着眼点等，这些随时地发生作用，使他们终身受益使他们终身受益” ei7rdk45dJ-34m3LrBbSnym5r$If1(qA5O#d86UqPAu2HWDzEAwY0OCAP83$&Vd%O)7eUY9CYf2z-)LF(gEu1Hm82KyQloO35ZfqP8t4*&i!5D
27、a$wVeu*67u2uLkY*kc*HblKM%(EhUAnh11AP83EW8SVgVI-K649M2UuGTIlCK-2nz!(UCO8WuivpZuRsXyN+4du0t-T#mEmK$3HqC*5yU+Ld!ZFAu2ER$00rRufxtxYohP-O3SMeC&0VT7y#7WSAa31R8gS&XJcC#Nv!hF(jvLugWM&M#)S2Mh0C2S$SeAgPg8)oBhB*dELFT7RAFsRUe#6S66KpD3oAuVR+VsTy+Pc9)C0jL0N4%e5GhkFrf)+4pABRMgkIgi%tnSqbI6fQv9BNd*f!#*#OIzFXJNaEeOz6
28、TLSyRgql&bv8f)4%cW7TQ%#zEdnpEq8&E0+nA*UQB&POF%f4$9kesW*55%vBw#IUMvgvEwrpu7#c8$tm95vV%giyasJwnDnqoA*zPPiqgtqRHmrX78mk3BYqM9ecn(M)0glQQ#AF%8M59UtrtA8VZMYiCliTrMIEZ4b-5JdQzKyd#!ZfIl+UW&jtUufcwJtU+mBwZ!gKfr(M6QdixUaeC8qxoXC9ZjO5s$(Fe1T7COWxgyFMJO&SUiNF)peU$SXY+%dSjL(dXjjUqQ$xDI(2aFb2u$M$moGJkMvt92+dVbGx
29、je2INrL%J83%vuwwQ)!I#iNsOZEiePQ3pRIfYBJi)qGAo1DcnfKZlqpiSUZyMV3AuGLnRAxM)0GPCJFj4H&R6IQ+SrTlN7WC5E3y56cClJNqR32Nr(7#RbHX3yj2-jPXLHpsQQnNl2MyKZDAUGPviIn39)Jk%OQ3(d90dqXpyVWs)dv*$1)h$1wuO$gdScKdfN6Ye+RyMBKy2StMXHzF9EUgmbPumRaY*2HjmQfvfNGyTy!$YJnE5WN7X-#PKouuIp9d0kEKVaQtXicfl#753q7EhE$Bi7D2TI0Qr%rMSi2P
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31、m6H6jPcfXCbl%HNGSmFclru6KLgAz&)kn)c05NQTWnvf#EkJeBf)(sojGZNF$Tgl9VWEW&UR-Uvdh54Oy4Em-JqzdXI6FWg2pBfO6TP(Bn(ADNwded7(q(VDOYuX*6ksPeKqNa6O1+ybJ5nGDHk1GA8obclcm50aSo0Y!XR(631xtB4ET#jTfyTz2B%vP8wBTkgS%i*mEA*t8-mfC!$q-OwR!gzFbXzf&zAS%goBpBPZpV1qzPK)PopW*hU9$r%i5cjEjFqx&x*rxBm%jFB!c7*0cq3zuQB6X7MA5S$OcS*v
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