二次函数yax2k图象与性质1

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1、22.1.3二次函数二次函数 的的图象象二次函数二次函数y=ax2+k图象与性质图象与性质11二次函数二次函数y2x2的的图象是象是_，(1)它的开口向它的开口向_，(2)顶点坐点坐标是是_；(3)对称称轴是是_，(4)在在对称称轴的左的左侧，y随随x的增大而的增大而_，在在对称称轴的右的右侧，y随随x的增大而的增大而_，(5)当当x_时， y有最有最_值，其最，其最_值是是_。课前复前复习:二次函数二次函数y=ax2+k图象与性质图象与性质12、二次函数、二次函数 y=2x 、 的的图象象与二次函数与二次函数 y=x 的的图象有什么相同和象有什么相同和不同？不同？ a0二次函数二次函数y=a

2、x2+k图象与性质图象与性质1Oxy1 2 3 4 5123455 4 3 2 1 5 4 3 2 1 a0二次函数二次函数y=ax2+k图象与性质图象与性质13、试说出函数出函数yax2（a是常数，是常数，a0）的）的图象象的开口方向、的开口方向、对称称轴和和顶点坐点坐标，并填写下表，并填写下表 yax2向上向上向下向下y轴y轴(0，0)(0，0)二次函数二次函数y=ax2+k图象与性质图象与性质1 二次函数二次函数y2x21的的图象与二次函数象与二次函数y2x2的的图象开口方向、象开口方向、对称称轴和和顶点坐点坐标是否相同是否相同?它它们有什么关系？有什么关系？画出函数画出函数y2x2和函

3、数和函数y 2x2+1的的图象，象，并加以比并加以比较 二次函数二次函数y=ax2+k图象与性质图象与性质1（1）二次函数）二次函数 y=2x1 的的图象与二次函数象与二次函数 y=2x 的的图象有象有什么关系？什么关系？x 1.5 1 0.500.511.5y=2x24.520.500.524.5y=2x2+1 5.531.511.535.5（0，1）二次函数二次函数y=ax2+k图象与性质图象与性质1x 1.5 1 0.500.511.5y=2x24.520.500.524.5y=2x2+1 5.531.511.535.5（0，1）问题:当自当自变量量x取同取同一数一数值时，这两个函两个函

4、数的函数数的函数值之之间有什有什么关系么关系?反映在反映在图象象上，相上，相应的两个点之的两个点之间的位置又有什么关的位置又有什么关系系?二次函数二次函数y=ax2+k图象与性质图象与性质11、函数、函数y2x21的的图象可以看成是将函数象可以看成是将函数y2x2的的图象向上平移一个象向上平移一个单位得到的。位得到的。 2、函数、函数y2x21与与y2x2的的图象开口方向、象开口方向、对称称轴相同，相同，但但顶点坐点坐标不同，函数不同，函数y 2x2的的图象的象的顶点坐点坐标是是(0，0)，而函数，而函数y2x21的的图象的象的顶点坐点坐标是是(0，1)。函数函数y2x21和和y2x2的的图象

5、有什么象有什么联系系?二次函数二次函数y=ax2+k图象与性质图象与性质1你能由函数你能由函数y2x2的性的性质，得到函数，得到函数y2x21的一些性的一些性质吗? 完成填空：完成填空： 当当x_时，函数，函数值y随随x的增大而减小；当的增大而减小；当x_时，函数函数值y随随x的增大而增大，当的增大而增大，当x_时，函数取得最，函数取得最_值，最，最_值y_ 以上就是函数以上就是函数y2x21的性的性质。00=0小小小小1二次函数二次函数y=ax2+k图象与性质图象与性质1例例2. 2. 在同一直角坐在同一直角坐标系中系中, ,画出二次函数画出二次函数y=y=2 2x x2 2+1+1和和y=

6、y=2 2x x2 21 1的的图像像解解: : 列表列表x x-3-3-2 -2 -1-10 01 1 2 23 3y=2xy=2x2 2+1+1y=2xy=2x2 2-1-119199 93 31 13 39 9191917177 71 1-1-11 17 71717描点描点连线二次函数二次函数y=ax2+k图象与性质图象与性质11 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-5y=2xy=2x2 2+1+1y=2xy=2x2 21 1y=2xy=2x2 2例例2. 2. 在同一直角坐在同一直角坐标系中系中, ,画出二次函数画出二次函数y=y=2 2x x2 2+1+1和和

7、y=y=2 2x x2 21 1的的图像像二次函数二次函数y=ax2+k图象与性质图象与性质1(1) (1) 抛物抛物线y=2xy=2x2 2+1,y=2x+1,y=2x2 21 1的开口方向、的开口方向、对称称轴、顶点各是什么点各是什么? ?(2)(2)抛物抛物线y=2xy=2x2 2+1,y=2x+1,y=2x2 21 1与抛物与抛物线y=2xy=2x2 2有什么关系有什么关系? ?（1 1）抛物）抛物线y=2xy=2x2 2+1:+1:开口向上开口向上, ,顶点点为(0,1).(0,1).对称称轴是是y y轴, ,抛物抛物线y=2xy=2x2 21:1:开口向上开口向上, ,顶点点为(0

8、, (0, 1).1).对称称轴是是y y轴, ,二次函数二次函数y=ax2+k图象与性质图象与性质1(2)(2)抛物抛物线y=2xy=2x2 2+1,y=2x+1,y=2x2 21 1与抛物与抛物线y=2xy=2x2 2的异同的异同点点: :1 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-5y=2xy=2x2 2+1+1抛物抛物线y=2xy=2x2 2抛物抛物线 y=2xy=2x2 21 1向上平移向上平移1 1个个单位位抛物抛物线y=2xy=2x2 2向下平移向下平移1 1个个单位位y=2xy=2x2 21 1y=2xy=2x2 2抛物抛物线 y=2xy=2x2 2+1+1

9、相同点：相同点：形状大小相同形状大小相同开口方向相同开口方向相同对称称轴相同相同不同点：不同点：顶点的位置不同，抛点的位置不同，抛物物线的位置也不同的位置也不同二次函数二次函数y=ax2+k图象与性质图象与性质1xyo-4-3-2-1123454321-1 y = x2 不用描点法，你知道不用描点法，你知道 y = x21、 y = x21 的的图象是怎象是怎样的的吗？ y = x2 1 y = x2 1 二次函数二次函数y=ax2+k图象与性质图象与性质1例如：例如：二次函数二次函数上下平移上下平移 的口决的口决上加下减上加下减 y = x2 y = x2 1 y = x2 1 向上平移向上

10、平移1个个单位位向下平移向下平移1个个单位位二次函数二次函数y=ax2+k图象与性质图象与性质1（2）二次函数）二次函数 y=3x1 的的图象与二次函数象与二次函数 y=3x 的的图象有象有什么关系？什么关系？x 1 0.60.300.30.61 y=3x231.080.2700.271.08 3 y=3x21 20.08 0.73 1 0.73 0.08 2 （0，-1） a0二次函数二次函数y=ax2+k图象与性质图象与性质1(3)在同一直角坐在同一直角坐标系中系中画出函数画出函数的的图像像二次函数二次函数y=ax2+k图象与性质图象与性质1Oxy1 2345123455 4 3 2 1

11、5 4 3 2 1 y在同一直角坐在同一直角坐标系中系中画出函数画出函数的的图像像a0（0，2）（0，-2）二次函数二次函数y=ax2+k图象与性质图象与性质1试说出函数出函数yax2k（a、k是常数，是常数，a0）的）的图象的开口方向、象的开口方向、对称称轴和和顶点坐点坐标，并填写下表，并填写下表 向上向上向下向下y轴y轴(0，k)(0，k)|a|越大开口越小，反之开口越大。越大开口越小，反之开口越大。二次函数二次函数y=ax2+k图象与性质图象与性质1抛物抛物线顶点坐点坐标对称称轴位置位置开口方向开口方向增减性增减性最最值y=ax2 +c(a0)y=ax2 +c(a0c0时, ,在在x x

12、轴的上方的上方( (经过一一, ,二象限二象限););当当c0c0时, ,与与x x轴相交相交( (经过一一, ,二三四象限二三四象限).).当当c0c0c0时, ,与与x x轴相交相交( (经过一一, ,二三四象限二三四象限).).向上向上向下向下当当x=0时,最小最小值为c.当当x=0x=0时, ,最大最大值为c.c.在在对称称轴的左的左侧,y,y随着随着x x的增大而减小的增大而减小. . 在在对称称轴的右的右侧, y, y随着随着x x的增大而增大的增大而增大. . 在在对称称轴的左的左侧,y,y随着随着x x的增大而增大的增大而增大. . 在在对称称轴的右的右侧, y, y随着随着x

13、 x的增大而减小的增大而减小. . y = ax2 + c二次函数二次函数y=ax2+k图象与性质图象与性质1练习1.把抛物把抛物线 向下平移向下平移2个个单位，可以得位，可以得到抛物到抛物线 ，再向上平移，再向上平移5个个单位，位，可以得到抛物可以得到抛物线 ；2.对于函数于函数y= x2+1，当，当x 时，函数，函数值y随随x的增大而增大；当的增大而增大；当x 时，函数，函数值y随随x的的增大而减小；当增大而减小；当x 时，函数取得最，函数取得最 值,为 1 。00=0大大二次函数二次函数y=ax2+k图象与性质图象与性质13.函数函数y=3x2+5与与y=3x2的的图象的不同之象的不同之

14、处是是( )A.对称称轴 B.开口方向开口方向 C.顶点点 D.形状形状4.已知抛物已知抛物线y=2x21上有两点上有两点(x1，y1 ) ,(x2，y2 )且且x1x20，则y1 y2(填填“”或或“”)5.已知抛物已知抛物线 ，把它向下平移，得到，把它向下平移，得到的抛物的抛物线与与x轴交于交于A、B两点，与两点，与y轴交于交于C点，点，若若ABC是直角三角形，那么原抛物是直角三角形，那么原抛物线应向下向下平移几个平移几个单位？位？C二次函数二次函数y=ax2+k图象与性质图象与性质1归纳与小与小结二次函数二次函数y = ax2+k的性的性质:（1）开口方向：）开口方向：当当a0时，开口向

15、上，开口向上;当当a0时，开口向下；，开口向下；（2）对称称轴：y轴（3）顶点坐点坐标： 顶点坐点坐标是（是（0，k）（4）函数的增减性：）函数的增减性：当当a0时，对称称轴左左侧y随随x增大而减小，增大而减小，对称称轴右右侧y随随x增大而增大；增大而增大；当当a0时，对称称轴左左侧y随随x增大而增大，增大而增大，对称称轴右右侧y随随x增大而减小。增大而减小。二次函数二次函数y=ax2+k图象与性质图象与性质1 (1)函数函数y=4x2+5的的图象可由象可由y=4x2的的图象象 向向 平移平移 个个单位得到；位得到；y=4x2-11的的图象象 可由可由 y=4x2的的图象向象向 平移平移 个个

16、单位得到。位得到。(2)将函数将函数y=-3x2+4的的图象向象向 平移平移 个个单位可得位可得 y=-3x2的的图象；将象；将y=2x2-7的的图象向象向 平移平移 个个 单位得到可由位得到可由 y=2x2的的图象。将象。将y=x2-7的的图象象 向向 平移平移 个个单位可得到位可得到 y=x2+2的的图象。象。上上5下下11下下4上上7上上9二次函数二次函数y=ax2+k图象与性质图象与性质1（3）抛物）抛物线y=-3x2+5的开口的开口 ，对称称轴是是 ，顶点坐点坐标是是 ，在，在对称称轴的左的左侧，y随随x的增大的增大而而 ，在，在对称称轴的右的右侧，y随随x的增大而的增大而 ，当当x

17、= 时，取得最，取得最 值，这个个值等于等于 。（4）抛物）抛物线y=7x2-3的开口的开口 ，对称称轴是是 ，顶点坐点坐标是是 ，在，在对称称轴的左的左侧，y随随x的增大的增大而而 ，在，在对称称轴的右的右侧，y随随x的增大而的增大而 ，当当x= 时，取得最，取得最 值，这个个值等于等于 。下下y轴(0,5)减小减小增大增大0大大5上上y轴(0,-3)减小减小 增大增大 0小小-3二次函数二次函数y=ax2+k图象与性质图象与性质15、在同一直角坐、在同一直角坐标系中，一次函数系中，一次函数y=ax+c和和二次函数二次函数y=ax2+c的的图象大致是如象大致是如图中的（中的（ ）B二次函数二

18、次函数y=ax2+k图象与性质图象与性质16 函数函数y=ax2-a与与y=在同一直角坐在同一直角坐标系中的系中的图象可能是象可能是 （ ）A二次函数二次函数y=ax2+k图象与性质图象与性质17.抛物线y=ax2c与与y=x2的形状相同，且其的形状相同，且其顶点坐点坐标是（是（,），），则其表达式其表达式为_，y=x2或或y=x28 8、按下列要求求出二次函数的解析式：、按下列要求求出二次函数的解析式：（1 1）已知抛物）已知抛物线y=axy=ax2 2+c+c经过点（点（-3-3，2 2）（）（0 0，-1-1） 求求该抛物抛物线线的解析式。的解析式。（2 2）形状与）形状与y=-2xy=

19、-2x2 2+3+3的的图象形状相同，但开口方象形状相同，但开口方向不同，向不同，顶点坐点坐标是（是（0 0，1 1）的抛物）的抛物线解析式。解析式。（3 3）对称称轴是是y y轴，顶点点纵坐坐标是是-3-3，且，且经过 （1 1，2 2）的点的解析式，）的点的解析式，（4 4）抛物）抛物线y=axy=ax2 2c c对称称轴是是y y轴，顶点（点（0 0，-3-3），）， 且且经过（1 1，2 2），求抛物），求抛物线的解析式的解析式. .二次函数二次函数y=ax2+k图象与性质图象与性质19已知二次函数已知二次函数y=3x2+4,点点A(x1,y1), B(x2,y2),C(x3,y3), D(x4,y4)在其在其图象上象上,且且x2 x40, 0x3|x1|, |x3|x4|, 则 ( )x1x2x3x4y1y4y3y2A.y1y2y3y4B.y2y1y3y4C.y3y2y4y1D.y4y2y3y1B二次函数二次函数y=ax2+k图象与性质图象与性质1