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1、导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用1.3.1 1.3.1 函数的单调性与导数函数的单调性与导数问题问题1 1：函数单调性的定义函数单调性的定义 是什么是什么? ?1.1.一般地，对于给定区间上的函数一般地，对于给定区间上的函数f f( (x x) )，如果对于这，如果对于这个个区间内任意两个自变量的值个个区间内任意两个自变量的值x x1 1，x x2 2，当当x x1 1 x x2 2时时, ,(1)(1)若若f f( (x x1 1)f f ( (x x2 2) )，那么，那么f f( (x x) )在这个区间上是减函在这个区间上是减函数数. .2 2、由定义证明函数的单调性的一般
2、步骤：、由定义证明函数的单调性的一般步骤： (1) (1)设设x x1 1、 x x2 2是给定区间的任意两个值，且是给定区间的任意两个值，且x x1 1 0) 0f(x)f(x)单调增单调增f(x)f(x)单调减单调减下面我们通过函数下面我们通过函数y y= =x x2 24 4x x3 3的图象来考察一下：的图象来考察一下：观察函数观察函数y y= =x x2 24 4x x3 3的图象：的图象：2yx0. . . . . .K0 思考思考: :从图像中你从图像中你发现了什么发现了什么? ?1. 1. 函数的导数与函数的单调性的关系：函数的导数与函数的单调性的关系：xx切线的斜率切线的斜率
3、( (正或负正或负) )f f(x x) )(0(0)0)f f( (x x)=)=x x2 2-4-4x x+3+3 ( (增或减增或减) )(2(2，+)+)( (,2),2)增函数增函数减函数减函数正正负负00oxyabcd推广到一般情况推广到一般情况结论：结论： 设函数设函数y=y=f f(x)(x)在某个区间内有导数，如果在某个区间内有导数，如果在这个区间内在这个区间内f f(x)(x) 0 0，那么，那么y=y=f f( (x x) )为这个区间内为这个区间内的的增函数增函数；如果在这个区间内；如果在这个区间内f(x) 0f(x) 0思考思考:下列命题正确吗下列命题正确吗? (用用
4、I表示某个区间表示某个区间)(2)在区间在区间I内内f(x) 0 函数函数y=f(x)在在I内单调增内单调增 (1)函数函数y=f(x)在区间在区间I内单调增内单调增f(x)0不能不能不能不能例题分析例题分析例例1 (1) 1 (1) 确定函数确定函数f f( (x x)=)=x x2 24 4x x+3+3在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数函数. .(2)确定函数确定函数f(x)=2x36x2+7在哪个区间在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数内是增函数，哪个区间内是减函数.解解:f(x)=(2x36x2+7)=6x212x令令6x212x0，解得
5、，解得x2或或x0当当x(，0)时，时，f(x)0，f(x)是增函数是增函数.当当x(2，+)时，时，f(x)0，f(x)是增函数是增函数.令令6x212x0，解得，解得0x2.当当x(0，2)时，时，f(x)0，f(x)是减函数是减函数.解题小结：如何用导数解题小结：如何用导数判断单调性、求单调判断单调性、求单调区间？区间？用导数法确定函数的单调性时的用导数法确定函数的单调性时的步骤步骤是：是：注：注：单调区间不以单调区间不以“并集并集”出现。出现。（2）求出函数求出函数f(x)的导函数的导函数（3）在定义域内求解不等式在定义域内求解不等式f(x)0，求得其解，求得其解集，再根据解集写出单调
6、集，再根据解集写出单调递增递增区间区间（4）在定义域内求解不等式在定义域内求解不等式f (x)0(B)1a1(D)0a0f (x)0,那么函数那么函数y=f(x) 为为这个区间内的这个区间内的增函数增函数;如果在这个区间如果在这个区间内内f (x) 0 得得f(x)的的 单调递增区间单调递增区间; 解不等式解不等式 f (x) f(x),则称则称f f(x(x0 0) )是函数是函数y=f(x)y=f(x)的一个的一个极大值极大值. .记作记作: :y极大极大=f(x0)2.2.函数极值的定义函数极值的定义(2)(2)如果对如果对x x0 0附近的所有点附近的所有点x,x,都有都有f(x0)0
7、右侧右侧f/(x)0,那么那么f(x0)是是极大值（左正右负）极大值（左正右负）(2)(2)如果如果f/(x0)=0,并且并且在在x x0 0附近的左侧附近的左侧 f/(x)0,那么那么f(x0)是是极小值极小值（左负右正）（左负右正） 从从曲线的切线角度曲线的切线角度看看,如果曲线在极值如果曲线在极值点处有切线，那么曲线在极值点处切线的斜点处有切线，那么曲线在极值点处切线的斜率为率为0,并且并且,曲线在极大值点处切线的斜率曲线在极大值点处切线的斜率左侧为正左侧为正,右侧为负右侧为负;曲线在极小值点处切线曲线在极小值点处切线的斜率的斜率左侧为负左侧为负,右侧为正右侧为正.o oa aX X0
8、00b bx xy yo oa aX X0 0b bx xy y结合导数的几何意义思考结合导数的几何意义思考探索思考探索思考: : 导数值为导数值为0的点一定是函数的极值点吗的点一定是函数的极值点吗? 可导函数可导函数的极值点一定是它导数为零的点的极值点一定是它导数为零的点,反之函数的导数为零的点反之函数的导数为零的点,不一定是该函数的不一定是该函数的极值点极值点.思考思考：y=x3在在x=0处的导数？处的导数？三、例题精讲三、例题精讲: :例例1.解解:令令 ,解得解得x1=-2,x2=2.当当x变化时变化时, ,y的变化情况如下表的变化情况如下表: x(-,-2) -2(-2,2) 2 (
9、2,+) y + 0 - 0 + y 极大值极大值28/3 极小值极小值-4/3 因此因此,当当x=-2时有极大值时有极大值,并且并且,y极大极大=28/3;当当x=2时有极小值时有极小值,并且并且,y极小极小=- 4/3.987654321-3-2 -143210yx(1)确定函数的定义域确定函数的定义域(2)求导函数求导函数f(x)；(3)求解方程求解方程f(x)=0；(4)检查检查f(x)在方程在方程f(x)=0的根的左右的的根的左右的符符号号，并并根根据据符符号号确确定定极极大大值值与与极极小小值值.小结小结:用导数法求解函数极值的用导数法求解函数极值的步骤步骤： x(-,-a) -a
10、(-a,0)(0,a) a(a,+) f(x) + 0 - - 0 + f(x) 极大值极大值-2a 极小值极小值2a 故当故当x=-a时时,f(x)有极大值有极大值f(-a)=-2a; 当当x=a时时,f(x)有极小值有极小值f(a)=2a.例例2:求函数求函数 的极值的极值.解解:函数的定义域为函数的定义域为令令 ,解得解得x1=-a,x2=a(a0).当当x变化时变化时, ,f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表:练习练习:求函数求函数 的极值的极值.解解:令令 =0,解得解得x1=-1,x2=1.当当x变化时变化时, ,y的变化情况如下的变化情况如下表表: x(-,-1) -1(-1
11、,1) 1 (2,+) y - 0 + 0 - y 极小值极小值-3 极大值极大值3 因此因此,当当x=-1时有极小值时有极小值,并且并且y极小极小=-3; 当当x=1时有极大值时有极大值,并且并且y极大极大=3.例例3:已知函数已知函数f(x)=-x3+ax2+b. (1)若函数若函数f(x)在在x=0,x=4处取得极值处取得极值,且极小值为且极小值为-1, 求求a、b的值的值. (2)若若 ,函数函数f(x)图象上的任意一点的切线斜图象上的任意一点的切线斜 率为率为k, 若若k-1恒成立，试求恒成立，试求a的取值范围的取值范围 . 解解:(1)由由 得得x=0或或x=2a/3.故故2a/3
12、=4,a=6.由于当由于当x0时时, 故当故当x=0时时,f(x)有极小值有极小值f(0)=b,所以所以b=-1.(2)等价于当等价于当 时时,-3x2+2ax-1恒成立恒成立,即即g(x)=3x2-2ax-10对一切对一切 恒成立恒成立.由于由于g(0)=-10,结合图像知只需结合图像知只需g(1)=2-2a0,即即a1.例例4:已知已知f(x)=ax5-bx3+c在在x= 1处有极值处有极值,且极大值且极大值 为为4,极小值为极小值为0.试确定试确定a,b,c的值的值.解解:由题意由题意, 应有根应有根 ,故故5a=3b,于是于是:(1)设设a0,列表如下列表如下: x -1 (-1,1)
13、 1 + 0 - 0 + f(x) 极大值极大值 极小值极小值 由表可得由表可得 ,即即 .又又5a=3b,解得解得a=3,b=5,c=2.(2)设设a0,列表如下列表如下: x -1 (-1,1) 1 - 0 + 0 - f(x) 极小值极小值 极大值极大值 由表可得由表可得 ,即即 .又又5a=3b,解得解得a=-3,b=-5,c=2.四、课堂总结四、课堂总结2.2.若函数若函数f(x)f(x)可导可导, ,判别判别f(xf(x0 0) )是极大是极大( (小小) )值的方法是值的方法是: : (1) (1) 如果在如果在x x0 0附近的左侧附近的左侧 右侧右侧 那么那么f(xf(x0
14、0) )是极大值是极大值; ; (2) (2) 如果在如果在x x0 0附近的左侧附近的左侧 右侧右侧 那么那么,f(x,f(x0 0) )是极小值是极小值. .(1)确定函数的定义域确定函数的定义域(2)求导函数求导函数f(x)；(3)求解方程求解方程f(x)=0；(4)检查检查f(x)在方程在方程f(x)=0的根的左右的的根的左右的符号，并根据符号确定极大值与极小值符号，并根据符号确定极大值与极小值.1.用导数法求解函数极值的步骤：用导数法求解函数极值的步骤：一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)在在x=x0及其及其附近有定义，如果附近有定义，如果f(x0)的值比的值比x0附近所附近所有
15、各点的函数值都大，我们就说有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是函数的一个是函数的一个极大值极大值，如果，如果f(x0)的值的值比比x0附近所有各点的函数值都小，我们附近所有各点的函数值都小，我们就说就说f(x0)是函数的一个是函数的一个极小值极小值。极大值与极小值极大值与极小值统称统称为极值为极值.函数极值函数极值的定义的定义复习复习:如如果果x0是是f(x)=0的的一一个个根根，并并且且在在x0的的左左侧侧附附近近f(x)0，那么是，那么是f(x0)函数函数f(x)的一个的一个极小值极小值.如果如果x0是是f(x)=0的一个根，并且在的一个根，并且在x0的的左侧附近左侧附近f(x)0，在
16、，在x0右侧附近右侧附近f(x)0，那么那么f(x0)是函数是函数f(x)的一个的一个极大值极大值(1)求导函数求导函数f(x)；(2)求解方程求解方程f(x)=0；(3)列列表表:检检查查f(x)在在方方程程f(x)=0的的根根的的左左右右的的符符号号，并并根根据据符符号号确确定定极极大大值值与与极极小小值值.口诀：口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。左负右正为极小，左正右负为极大。用导数法求解函数极值的用导数法求解函数极值的步骤步骤： 在某些问题中，往往关心的是函在某些问题中，往往关心的是函数在整个定义域区间上，哪个值最大数在整个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题，这就是我们通常所说或
17、最小的问题，这就是我们通常所说的最值问题的最值问题. 函数最值问题函数最值问题.极值反映的是函数在某一点附近的局部极值反映的是函数在某一点附近的局部性质性质,而不是函数在整个定义域内的性质。而不是函数在整个定义域内的性质。极大值点 ， 极小值点你能说出函数的最大值点和最小值点吗？最大值点 ：a ，最小值点：d观察区间a,b上函数y=f (x)的图象，你能找出它的极大值点，极小值点吗？最小值是f (b).单调函数的最大值和最小值容易被找到。函数y=f(x)在区间a,b上最大值是f (a),1 1) )在某些问题中，往往关心的是函数在某些问题中，往往关心的是函数在整个定义域区间上，哪个值最大或在整
18、个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题，这就是我们通常所说的最小的问题，这就是我们通常所说的最值问题最值问题. . 2 2) )在在闭区间闭区间a,ba,b上的函数上的函数y=f(x)y=f(x)的图象的图象是一条是一条连续连续不断不断的曲线的曲线, ,则它则它必有必有最大值最大值和最小值和最小值. .x xy y0a ab bx x1 1x x2 2x x3 3x x4 4f(af(a) )f(xf(x3 3) )f(bf(b) )f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2) )o ox xy ya ab bo ox xy ya ab bo ox xy ya ab bo ox xy ya a
19、b by=f(x)y=f(x)y=f(x)y=f(x)y=f(x)y=f(x)y=f(x)y=f(x)在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值, ,在开区间内的连续函数不一定有最大值与在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值最小值. .导数的应用之三、求函数最值导数的应用之三、求函数最值. . (2)(2)将将y=f(x)y=f(x)的的各各极极值值与与f(a)f(a)、f(b)(f(b)(端端点点处处) ) 比较比较, ,其中最大的一个为最大值，最小的其中最大的一个为最大值，最小的 一个最小值一个最小值. . 求求f(x)f(x)在在闭区间闭区间a,ba
20、,b上的最值的步骤上的最值的步骤1)1)求求f(x)f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内极值内极值( (极大值或极小值极大值或极小值) ) x (-,-2)-2 (-2,2)2 (2,+) +0 -0 +f(x)单调递增28单调递减-4单调递增例1、求函数f(x)=x3-12x+12在0, 3上的 最大值，最小值。例1、求函数f(x)=x3-12x+12在0,3上的 最大值，最小值。解：由上节课的例4知，在0,3上， 当x=2时， f(x)=x3-12x+12有极小值，并且极小值为f (2)=-4.又由于f (0)=12,f (3)=3,因此，函数 f(x)=x3-12x+12在0, 3
21、上的 最大值为12，最小值为-4。例例2、求函数求函数f(x)=x2-4x+6在区间在区间1，5内内的最大值和最小值的最大值和最小值 法法一一、将将二二次次函函数数f(x)=x2-4x+6配配方方，利利用用二次函数单调性处理二次函数单调性处理例例2求函数求函数f(x)=x2-4x+6在区间在区间1，5内的极值与最值内的极值与最值 故故函函数数f(x)在在区区间间1，5内内的的极极小小值值为为3，最大值为，最大值为11，最小值为，最小值为2 解法二、解法二、f(x)=2x-4令令f(x)=0，即，即2x-4=0，得得x=2x1（1，2）2（2，5）5y，0y-+3112例3、已知函数f(x)=-
22、x3+3x2+9x+a;(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间-2,2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。令 0,解得x3解: (1) =-3x2+6x+9函数f(x)的单调递减区间为 (-,-1) ,(3,+)-12 3(2) f(-2)=8+12-18+a=2+af(2)=-8+12+18+a=22+af(2)f(-2)于是有22+a=20,解得a=-2f(x)=-x3+3x2+9x-2f(x)在-1,2上单调递增在(-1,3)上 0, 又由于f(x)在-2,-1上单调递减，即函数f(x)在区间-2,2上的最小值为-7。 f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间-2,
23、2上的 最大值和最小值。f(-1)=1+3-9-2=-7,例4、证明：当x0时，xln(1+x)解：设f(x)=x-ln(1+x).即xln(1+x).又因为f(x)在x=0处连续，所以f(x)在x0上单调递增，从而当x0时，有f(x)=x-ln(1+x)f(0)=0例5、求证证明：设在x=1附近 由负到正令 =0,解得x=1,当x=1时，f(x)有极小值，这里也是最小值所以当x0时，f(x) f(1)=0从而小小结结:求函数y=f(x)在(a,b)内的极值 (极大值与极小值); 将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)（即端点的函数值）作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下
