《高中数学 §3.4 基本不等式B 新人教A版必修5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 §3.4 基本不等式B 新人教A版必修5（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章第三章 不等式不等式3.4 3.4 基本不等式基本不等式 这是这是2002年在北京召开的第年在北京召开的第24届国际数届国际数学家大会会标会标根据中国古代数学家赵爽学家大会会标会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。风车，代表中国人民热情好客。思考：这会标中含有思考：这会标中含有怎样的几何图形？怎样的几何图形？思考：你能否在这个图思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系案中找出一些相等关系或不等关系？或不等关系？ab1、正方形、正方形ABCD的的面积面积S=、四个直角三角形的、四个直角三角形的面
2、积和面积和S = =、S与与S有什么有什么样的不等关系？样的不等关系？ 探究：探究：S_S问：那么它们有相等的情况吗？问：那么它们有相等的情况吗？ADBCEFGHba重要不等式：重要不等式： 一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a、b，我们有，我们有当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。ABCDE(FGH)ab思考：思考：你能给出不等式你能给出不等式 的证明吗？的证明吗？证明：（作差法）证明：（作差法） 结论：结论：一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a、b，总有，总有 当且仅当当且仅当a=b时，等号成立时，等号成立文字叙述为文字叙述为: : 两数的平方和两数的平方和不小于
3、不小于它们积的它们积的2 2倍倍. . 适用范围：适用范围： a,b R替换后得到：替换后得到： 即：即：即：即：你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？证明：要证证明：要证 只要证只要证要证要证，只要证，只要证要证要证，只要证，只要证显然显然, 是成立的是成立的.当且仅当当且仅当a=b时时, 中的等号成立中的等号成立. 分分析析法法证明不等式：证明不等式：特别地，若特别地，若a0，b0，则，则通常我们把上式写作：通常我们把上式写作：当且仅当当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.基本不等式基本不等式在数学
4、中，我们把在数学中，我们把 叫做正数叫做正数a，b的算术平均数，的算术平均数， 叫做正数叫做正数a，b的几何平均数；的几何平均数；文字叙述为：文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.适用范围：适用范围： a0,b0你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? ?RtACDRtDCB，ABCDEabO如图如图, AB是圆的直径是圆的直径, O为圆心，为圆心，点点C是是AB上一点上一点, AC=a, BC=b. 过点过点C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,连接连接AD、BD、OD.如何用如何用a, b表示表
5、示CD? CD=_如何用如何用a, b表示表示OD? OD=_你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? ?如何用如何用a, b表示表示CD? CD=_如何用如何用a, b表示表示OD? OD=_OD与与CD的大小关系怎样的大小关系怎样? OD_CD如图如图, AB是圆的直径是圆的直径, O为圆心，为圆心，点点C是是AB上一点上一点, AC=a, BC=b. 过点过点C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,连接连接AD、BD、OD.几何意义：半径不小于弦长的一半几何意义：半径不小于弦长的一半ADBEOCab适用范围适用范围文字叙述文字叙述“=”成立条件成立条件a
6、=ba=b两个正数的算术平均数不两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数小于它们的几何平均数两数的平方和不两数的平方和不小于它们积的小于它们积的2 2倍倍 a,b Ra0,b0填表比较：填表比较：注意从不同角度认识基本不等式注意从不同角度认识基本不等式 例例1 (1)如如图图,用用篱篱笆笆围围成成一一个个面面积积为为100m2的的矩矩形形菜菜园园,问问这这个个矩矩形形的的长长、宽宽各各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？解：如图设解：如图设BC=x ，CD=y ， 则则xy=100，篱笆的长为，篱笆的长为2(x+y)m. 当且仅当当且仅当 时，
7、时，等号等号成立成立因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m. 此时此时x=y=10. x=yABDC若若x、y皆为正数，皆为正数，则当则当xy的值是常数的值是常数P时，时，当且仅当当且仅当x=y时时，x+y有最小值有最小值_.例例1 (2)如如图图，用用一一段段长长为为36m的的篱篱笆笆围围成成一一个个矩矩形形菜菜园园，问问这这个个矩矩形形菜菜园园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：如图，设解：如图，设BC=x ，CD=y ， 则则
8、2(x + y)= 36 , x + y =18矩形菜园的面积为矩形菜园的面积为xy m2得得 xy 81当且仅当当且仅当x=y时，等号成立时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为9m时，时， 菜园面积最大，最大面积是菜园面积最大，最大面积是81m2即即x=y=9ABDC若若x、y皆为正数，皆为正数，则当则当x+y的值是常数的值是常数S时，时，当且仅当当且仅当x=y时时，xy有最大值有最大值_；各项皆为各项皆为正数正数；和或积为和或积为定值定值；注意注意等号等号成立的条件成立的条件.一一“正正”二二“定定”三三“相等相等”利用基本不等式求最值时，要注意利用基本不等式求
9、最值时，要注意已知已知 x, y 都是正数都是正数, P, S 是常数是常数.(1) xy=P x+y2 P( (当且仅当当且仅当 x=y 时时, 取取“=”号号) ).(2) x+y=S xy S2( (当且仅当当且仅当 x=y 时时, 取取“=”号号) ).14基本不等式在实际问题中的应用基本不等式在实际问题中的应用例例2 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为其容积为4800m3，深为，深为3m。如果池底每平。如果池底每平方米的造价为方米的造价为150元，池壁每平方米的造价元，池壁每平方米的造价为为120元，怎样设计水池能使总造价最低？元，怎样设
10、计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？最低总造价是多少？3m分析：分析：水池呈长方体形，它的高是水池呈长方体形，它的高是3m，底面的长与宽没有确定。如果，底面的长与宽没有确定。如果底面的长与宽确定了，水池总造价底面的长与宽确定了，水池总造价也就确定了。因此应当考察底面的也就确定了。因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低。长与宽取什么值时水池总造价最低。根据题意，得由基本不等式与不等式的性质，可得由基本不等式与不等式的性质，可得3m即即所以，将水池的地面设计成边长为所以，将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低总造价是的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元。元。反思：反思：应用题，先弄清题意（应用题，先弄清题意（审题审题），建立数学），建立数学模型（模型（列式列式），再用所掌握的数学知识解决问题），再用所掌握的数学知识解决问题（求解求解），最后要回应题意下结论（），最后要回应题意下结论（作答作答）。）。
