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1、拉普拉斯定理与行列式的乘法规则 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life, there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望3.7.1 3.7.1 k k 阶子式及其余子式、代数余子式阶子式及其余子式、代数余子式定义定义在一个在一个 n 级级行列式行列式 D 中任意中任意选选定定 k 行行 k 列列按原来的相按原来的相对对次序构成的次序构成的k 阶阶行列式行列式 S称称为为行列行列 ( )， 位于位于这这些行和列的交叉点上的些行和列的交叉点上的 个元素个元素式式 D 的一个的一个 k 阶阶子式子式；在；在
2、D 中划去中划去这这 k 行行 k 列后，列后， 式式 M称称为为 S的余子式的余子式; 余下的元素按照原来的次序构成的余下的元素按照原来的次序构成的 阶阶行列行列 若若 k 级级子式子式 S 在在 D 中所在的行和列的序数分中所在的行和列的序数分别别是是 那么在那么在 S 的余子式的余子式M前面前面后称之后称之为为 S 的代数的代数加上符号加上符号余子式，余子式，记为记为 例例如如 ， 行列式行列式第第4 4行行第第2 2行行第第1 1列列 第第3 3列列3.7.2 拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)定理定理由由这这 k 行元素所构成的一切行元素所构成的一切k级级子式与它子式与它们们的的 在
3、行列式在行列式 D 中任意取中任意取 k ( )行，行，代数余子式的乘代数余子式的乘积积之和等于之和等于 D设设在在D 中取定中取定 k 行，由行，由这这 k 行得到的行得到的 k 级级子式子式则则 .，它，它们对应们对应的代数余子的代数余子式分别为式分别为为为例例3.13 把行列式把行列式按第按第1, 2两行展开两行展开. 解解 由第由第1,2两行可以得到两行可以得到 =6个个2阶阶子式子式:的代数余子式于是例例3.153.7.3 行列式行列式的的乘法乘法规则规则设设n 阶阶行列式行列式其中其中则则证明证明 作作2n阶阶行列式行列式由拉普拉斯定理，由拉普拉斯定理， 另一方面，另一方面，对对D作以下的恒等作以下的恒等变变形：形：可得可得这这里里因此，因此， 所以所以其中其中
