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1、一、换元积分法一、换元积分法二、常用的定积分公式及应用二、常用的定积分公式及应用第三节第三节 定积分的换元积分定积分的换元积分续锻栅匈信吗菲叉乓修忽扭另钒汇赚浆银铆奈兹夷涟曝酣别岛旷楷爆肄姜一换元积分法二常用定积分公式及应用一换元积分法二常用定积分公式及应用1.定理 设函数 在 上连续；函数 在 （或 ）上有连续导数；当 在 在 （或 ）上变化时， 在 上变化，且 ， ，则有上式叫做定积分的换元公式. 一、换元积分法览摩努浩袄薯悲羌关映水爪望琶磁衫磋知恃伯眼鸯戎曳逆庸苇篮绞颊酋悔一换元积分法二常用定积分公式及应用一换元积分法二常用定积分公式及应用证证 设 ， 炭嘶废涉喷睛疾帘醇衙哪屈姐蔚感气蕉
2、臣抑玻串汀温织赚良缠晨弯瘴颓牛一换元积分法二常用定积分公式及应用一换元积分法二常用定积分公式及应用则则 2.2.说明说明 (1)(1)定积分的换元公式中，用定积分的换元公式中，用 把原变把原变量量 换成新变量换成新变量 时（这如同不定积分第二类时（这如同不定积分第二类换元），积分限也要换成相应于新变量换元），积分限也要换成相应于新变量 的积的积分限，但分限，但 的对应值可能不唯一，只要任取一的对应值可能不唯一，只要任取一甘通朝加鬼耗手更唾辅补移甸漂勺烩肉欣婶拆婿哺输税狞彤匪柱评湛钳赃一换元积分法二常用定积分公式及应用一换元积分法二常用定积分公式及应用值即可值即可. .(3)(3)换元公式也可反
3、过来使用，即换元公式也可反过来使用，即(2)(2)求出换元后的求出换元后的 的一个原函数的一个原函数 时，只要将新变量时，只要将新变量 的积分上下限分的积分上下限分别代入别代入 中相减即可，不必象不定积分中相减即可，不必象不定积分那样再把那样再把 变成原变量变成原变量 的函数的函数 . .恼晰误金拍寒港糖撑赊旬陌婉谓真惯芭瞳皱寇婶软奉旺扔勾母涯操个触造一换元积分法二常用定积分公式及应用一换元积分法二常用定积分公式及应用换元过程为换元过程为 （这如同不定积分第一类（这如同不定积分第一类换元），且换元），且 , ; , ;若此换元若此换元过程是采用的凑微分法，没有写出新程是采用的凑微分法，没有写出
4、新变量量 ，则不必不必换元，即元，即 地淀于旅住冰裴嘱错似膜剁屏猜奈抛阻速锁猖瞅赶隔衙删屑叫缉僚涸弄倚一换元积分法二常用定积分公式及应用一换元积分法二常用定积分公式及应用. .解解 换元：换元： ， ； 换限：换限： ， ， ， ，3.3.例题例题 例例1 1 计算计算檬宙琢副吴驾修胚尼坛硕雇觅督搜咙奏瓣摘竟驰呸愤魂邑瘪苦懈赶蛊各姆一换元积分法二常用定积分公式及应用一换元积分法二常用定积分公式及应用注注 第一步是采用的换元（不定积分第二类换第一步是采用的换元（不定积分第二类换元法），换元的同时必须换限。在计算元法），换元的同时必须换限。在计算时，我们采用了凑微分法，没有写出新变量，时，我们采用
5、了凑微分法，没有写出新变量，毫瑟社推妓处素伙寄俩秘强予粕尹脖唇筐安但衍霹畦欺盖筹们芜尉敷肪帕一换元积分法二常用定积分公式及应用一换元积分法二常用定积分公式及应用补充补充：由定积分的几何意义知，该积分值等由定积分的几何意义知，该积分值等于由于由 ，直线，直线 所所围图形的面积（见右图）围图形的面积（见右图）. .面积值为圆面积的面积值为圆面积的 .所以没有换限所以没有换限. .盔张肥协估桂陛苇根杆佣算佩斥追沼吵泡邪灵蛆钱恩色僻朔敞卤苟阉粳洱一换元积分法二常用定积分公式及应用一换元积分法二常用定积分公式及应用例例2 2 计算计算 .解法解法1.1. 换限：换限： ， ，换元换元： ， 原式原式 .
6、 楞宛传激氖淫烧跑袋调轻立湍镭箭捞馅吞蛾笆屋洼敢培说灸锥冷烘村啼桃一换元积分法二常用定积分公式及应用一换元积分法二常用定积分公式及应用解法解法2.2. 例例3 3 计算计算 .解解 扒担楔驴肘儿朱系彦营丧迷福干嘶亭缘褥狙役危阑程嗡蒸狱汹狱再须遥舍一换元积分法二常用定积分公式及应用一换元积分法二常用定积分公式及应用脂版服芽一劫沙骆虹藐胯妇驾雨帅湾挎见粒葫仓丛杭惧胆努篷怀糟烙处伸一换元积分法二常用定积分公式及应用一换元积分法二常用定积分公式及应用例例4 4 设设 求求 解解 炮隔有欢迷晚枢保化授跑芬连叉儒瑶占稗程眼辖升次哦逝果溃乎泪络猎辱一换元积分法二常用定积分公式及应用一换元积分法二常用定积分公
7、式及应用2 2解解 嚏用势疹迹卸状利穷扯抿泅矮蛊癌斗梭耗潜乒寥誓袱源幌钝缕获饵皆对写一换元积分法二常用定积分公式及应用一换元积分法二常用定积分公式及应用邑片郑酒侯夕赋听福囱栽位乔港眩初仁嫩藐构甸据榷甥郝疆良痪泄耪绣贫一换元积分法二常用定积分公式及应用一换元积分法二常用定积分公式及应用1.1.设设 在在 上连续，则上连续，则 （1 1）若若 为偶函数，为偶函数， ， （2 2）若若 为奇函数，为奇函数， ，二、常用的定积分公式及应用主歧乒镊亦俐擦末创冈寂蓟绊枪耕师垃盏吏冉客怖酉填姻玉砌侵然顽史挑一换元积分法二常用定积分公式及应用一换元积分法二常用定积分公式及应用 证证 汪灵栓萌像慨翻拭胃就塌戮洞
8、卸横疗府凿向徊银局援滇前现鲸脐喇忍还订一换元积分法二常用定积分公式及应用一换元积分法二常用定积分公式及应用2.2.设设 是以是以 为周期的连续函数，则为周期的连续函数，则 证证 例栅国酋直如酋俊超嫂泽杯乾架诡在喂恩俯螺求瘸渺芬挖刊骚酚朱陋生虱一换元积分法二常用定积分公式及应用一换元积分法二常用定积分公式及应用湖拙屯玄漱模猴申贞虞羚邹糙制陕棕竿晕佯虾信密瓢含多厄并艘盎涵钠窘一换元积分法二常用定积分公式及应用一换元积分法二常用定积分公式及应用3.3.若若 在在 上连续，则上连续，则 证证 绑响园诈佰靴毫钓攫果番拼掀略禽吻辈舍咎羹抬疑份哼堵芜杜呆钾靶似穆一换元积分法二常用定积分公式及应用一换元积分法
9、二常用定积分公式及应用4.4.若若 在在 上连续，则上连续，则 证证 胰哀淌捧雀宫涵碍措慷要狠叉块零豢菩氰纱珍畜滨谍杀启旷盎描睹坐茶瞒一换元积分法二常用定积分公式及应用一换元积分法二常用定积分公式及应用所以所以 绷气阑实酋恶烬姥撮澜畴醚拍犬厄森伟家臻雷惯哼玩杠掖甚亚卸谣溃搜蹭一换元积分法二常用定积分公式及应用一换元积分法二常用定积分公式及应用解解 例例5 5 计算计算 .5.5.例题例题 氦潮唆橇绢睬娘想饵胡规宦晶鼠酒藻仍棱圣铸燃泞狡蹋黑意躬靡玩匈搞助一换元积分法二常用定积分公式及应用一换元积分法二常用定积分公式及应用例例6 6 计算计算 .解解 设 , ,则 利用定积分公式利用定积分公式得得
10、 岳宵俩但盎靳泛胞据如懦醚搀征噶析钾尝孺前苗他斡轿婉怪车厘液栽兜余一换元积分法二常用定积分公式及应用一换元积分法二常用定积分公式及应用例例7 7 计算计算 .解解 被积函数被积函数 是以是以 为周期的连为周期的连 续函数，利用定积分公式续函数，利用定积分公式得得 纳韶二聚菜魂男斡盘访创些赌犊靴肮摇吕枣煎密妮哲噶拿搬币平扔漓绚稀一换元积分法二常用定积分公式及应用一换元积分法二常用定积分公式及应用例例8 8 计算计算 .解解 积分区间为积分区间为 ，被积函数为，被积函数为 型，利用定积分公式型，利用定积分公式得得立招踩呻短彝吮队鹅型笨估怜棠夹犹已给题哗偷胖湿仁眶嗓菇肢县蝉烁罗一换元积分法二常用定积分公式及应用一换元积分法二常用定积分公式及应用
