一阶线性电路暂态分析的三要素法

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1、第三章电路的暂态分析 第3章 电路的暂态分析 第一章 讨论电路的基本概念和基本定律 。 如：电路模型、电压和电流的参考方向、基尔霍夫定律、 电源的工作状态及电路中电位的计算等。这些内容是分析与 计算电路的基础。 第二章 介绍几种常用的电路分析方法。 有：支路电流法、节点电位法、实际电源模型的等效变换、叠加原理、和戴维宁定理。 第三章 讨论直流一阶电路的暂态分析。 介绍：用“三要素法”分析暂态过程。直流一阶电路暂态过程的求解方法：直流一阶电路暂态过程的求解方法：1. 1. 经典法经典法: :根据激励根据激励( (电源电压或电流电源电压或电流) )，通过，通过求解电路的求解电路的微分方程微分方程得

2、出电路的响应得出电路的响应( (电压和电流电压和电流) )。2. 2. 三要素法三要素法初始值初始值稳态值稳态值时间常数时间常数求求：（三要素三要素） 描述电路的方程是一阶微分方程，描述电路的方程是一阶微分方程，仅含一个储能元件仅含一个储能元件或可或可等效为等效为一个储能元件的线性电路一个储能元件的线性电路。一阶电路：一阶电路：求解方法：求解方法：3.13.1 储能元件和换路定则储能元件和换路定则3.2 3.2 一阶线性电路暂态分析的三要素法一阶线性电路暂态分析的三要素法第3章 电路的暂态分析稳态：是指电路的结构和参数一定时，电路中电压、电流恒定 或周期性变化。换路：指电路接通、断开或结构和参

3、数发生变化。 先讨论暂态过程产生的原因-动态元件、换路定律。 后讨论暂态过程中电压、电流随时间变化的规律。暂态：电路从一个稳定状态变化到另一个稳定状态所经过的过渡 状态。3.1 储能元件和换路定则动态元件:是指在电容元件和电感元件的电压和电流约束关系 是通过导数或积分来表达的。 换路发生很长时间后重新达到稳态。i iL L(0(0+ +)= )= i iL L(0(0 ) )u uC C(0+)= u(0+)= uC C(0)(0) 含有储能元件的电路，在换路瞬间储能元件的能量不能跃变，即：换路瞬间：设为 t=0。换路前终了瞬间：以 t=0表示。换路后初始瞬间：以 t=0+表示。换路定则：3.

4、1 储能元件和换路定则电感元件的储能不能跃变电容元件的储能不能跃变状态变量 i iL L、u uC C在直流电路换路瞬间，电容电压保持不变，电感电流保持不变。独立初始值 i iL L(0+)(0+)、u uC C(0(0+ +) ) 【例例3.13.1】设：开关设：开关S S闭合前闭合前L L元件和元件和C C元件均未储能。元件均未储能。 试试：确定确定S S闭合后闭合后电路中各电流与电压的初始值。电路中各电流与电压的初始值。解：由t=0-的电路得：4R3+U6Vt =02SR1R24uCC+iCiL t=0-iLuLuC(0+)=0iL (0+) =0uC(0-)=0iL(0-) =0电容元

5、件短路。电感元件开路由换路定则得：则：画出t=0+时的等效电路独立初始值由t=0+的等效电阻电路+UR1i+uLiLR2 R3uC+iC (0+) t=0+求出各独立初始值246V(0+)(0+)(0+)(0+)3.2 电路的暂态分析1. 零状态响应2. 零输入响应3. 全响应 换路前动态元件未储存能量 ，即uc（0-）=0或iL(0-)=0 ， 换路时，由电源激励所产生的电路响应。 换路前动态元件已储存能量，换路时，无电源激励，输 入信号为零 。由初始储能引起的的电路响应。 指电源激励和动态元件的初始储能引起的均不为零时的电路响应。 即：是零状态响应与零输入响应两者的叠加。充电储能过程。充电

6、储能过程。放电释能过程。放电释能过程。Rt=0 +U12 +uR +uLiL 电感初始储能为零，电路响应仅由外加电源引起，为RL电路的零状态响应。S若S在2位置时，在t=0时将开关S合到1的位置。 电路中外加激励为零，电路的响应是由电感的初始储能引起的，故为RL电路的零输入响应。电路的暂态分析若S在1位置时，在t=0时将开关S合到2的位置。USCRt=0 +12 +uR +uCit 0时电路的微分方程为： 设:S在2位置时C已放电完毕，在t=0时将开关S合到1的位置。RC电路零状态响应充电储能过程充电储能过程根据KVL通解=特解+补函数特解取换路后的稳态值，即补函数是齐次微分方程形式为：的通解

7、一、零状态响应SCRt=0 +U12 +uR +uCiuC零状态响应表达式： 时间常数-S推导整理得：tuCU0u0.632U零状态响应曲线物理意义:决定电路暂态过程变化的快慢。决定电路暂态过程变化的快慢。当t =时是电压uc增长到稳态值U的63.2所需的时间。稳态稳态+ +暂态暂态 2.2.RL RL 电路的零状态响应电路的零状态响应Rt=0 +U12 +uR +uLiL根据KVLt0时电路微分方程为: S推导整理得：通解=特解+补函数uC零状态响应表达式： 时间常数-S 此时，通过电感的电流iL由初始值I0向稳态值零衰减，其随时间变化表达式为：Rt=0 +U2 +uR +uLiLS1iL零

8、状态响应表达式：ti0i零状态响应曲线UR稳态稳态+ +暂态暂态小结2）达稳态值的快慢取决于时间常数。（ =RC 或=GL）3）当直流动态电路达到稳定状态时，电容相当于开路,电感相当于短路。其等效电路为电阻性电路。 4）零状态线性：当输入增大倍，其零状态响应也增大倍。 1）直流一阶电路的零状态响应中，所有支路电压、电流均从初始值开始按相同的指数规律变化，最后达稳态值。代入上式得换路前电路已处于稳态 t =0时开关, 电容C 经电阻R 放电一阶线性常系数 齐次微分方程列 KVL方程：放电过程放电过程1. 1. 1. 1. RC RC RC RC 电路电路电路电路零输入响应零输入响应零输入响应零输

9、入响应+-SRU21+ +二、零输入响应 u uCC零输入响应表达式：零输入响应表达式：推导整理得：uC零输入响应曲线0uUt时间常数 =RC当t = 时，uC = 36.8% U u uC C 从从初始值初始值按指数规律衰减按指数规律衰减 快慢由快慢由 = R R C C 决定。决定。0.368Ui零输入响应曲线0iI0t0.368I0时间常数 =L/R当t= 时，iL=36.8%I0 。 电路中 uR和uL可根据电阻和电感元件两端的电压电流关系确定。 i iL L零输入响应表达式：零输入响应表达式：同理可推导：tii0i时间常数 =L/R当t=时，uC=63.2%U。0.632U/R零状态

10、响应曲线零输入响应曲线0iI0t0.368I0时间常数 =L/R当t= 时，uC=36.8%U0 。UR 电路中 uR和uL可根据电阻和电感元件两端的电压电流伏安特性关系确定。当 t t =5=5 时，过渡过程基本结束，时，过渡过程基本结束，u uC C达到稳态值。达到稳态值。暂态时间：暂态时间：理论上认为理论上认为 、 电路达稳态。电路达稳态。 工程上认为工程上认为 电容放电基本结束。电容放电基本结束。 t0.368U0.135U0.050U0.018U0.007U0.002U 随时间而衰减随时间而衰减小结：4. 一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。1. 一阶电路的零输入响应

11、是由储能元件的初值引起的响 应 , 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。2. 衰减快慢取决于时间常数 RC电路 = RC , RL电路 = L/R3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。3 3. .全响应全响应1. 1. uC 的变化规律的变化规律全响应: 电源激励和储能元件的初始能量均不为零时，电路中的响应。 根据叠加定理：根据叠加定理： 全响应全响应 = = 零输入响应零输入响应 + + 零状态响应零状态响应R1 U1C +1+uC U2 +2t=0S稳态分量零输入响应零状态响应暂态分量【结论结论2 2】 全响应全响应 = = 稳态分量稳态分量 + +暂态分量暂态分量全响应 【结论结论

12、1 1】 全响应全响应 = = 零输入响应零输入响应 + + 零状态响应零状态响应稳态值初始值状态变量的三要素uC(0 +)uC( )=RCiL(0 +)iL( )=GL设：动态电路中任一支路电压(或电流)为f (t) 则：f (0+) 待求响应的初始值 f () 待求响应的稳态值 待求响应的时间常数任意变量f (t )的三要素可以证明：f (t )完全由此三要素决定。即：含源电阻网络动态元件R0CR0L三要素法三要素法 在求得在求得 的基础上的基础上, ,可直接写出可直接写出电路的响应电路的响应( (电压或电流电压或电流) ) 对于任何形式的直流一阶电路，求解暂态过程中任一电压、求解暂态过程

13、中任一电压、电流的响应电流的响应 ，可用，可用通用表达式通用表达式：【三要素法】稳态值初始值时间常数稳态值 f(0+)、f()和 三要素法求解暂态过程的要点终点终点起点起点1) 1) 求求初始值、稳态值、时间常数初始值、稳态值、时间常数；3) 3) 画出暂态电路电压、电流随时间变化的曲线画出暂态电路电压、电流随时间变化的曲线。2) 2) 将求得的三要素结果代入将求得的三要素结果代入暂态过程通用表达式暂态过程通用表达式；tf f( (t t) )OO【例例】 求求换路后稳态换路后稳态电路中的电压和电流电路中的电压和电流 。即求解直流电阻性电路中的电压和电流。 【i c()=0、 u L()=0】

14、(1)稳态值 的计算响应中响应中“ “三要素三要素” ”的确定的确定例：uC+-t=0C10V5k5k1 FS5k+-t =03666mAS1H1H 画换路后t=的等效电路（电容C 视为开路,电感L视为短路）。 在t= 的等效电路中，利用两类约束求各稳态值。 1) 由t=0-等效电路求2) 根据换路定则求出独立初始值3) 画t=0+时等效电阻电路，求所需非独立初始值量或在换路瞬间在换路瞬间 t t =(0=(0+ +) ) 的等效电路中：的等效电路中：电容元件视为短路。 其值等于(1) 若电容元件用恒压源代替，其值等于I0 , , 电感元件视为开路。(2) 若 , 电感元件用恒流源代替 ， 注

15、意：(2) 初始值 的计算 先画先画换路前换路前t=t=0 0- -稳态稳态等效电路等效电路再画再画换路后换路后t=t=0+0+时刻时刻等效电路等效电路 1)1) 简单的一阶电路简单的一阶电路 ，R R0 0= =R R ; ; 2) 2) 复杂的一阶电路，复杂的一阶电路， R R0 0为为换路后的电路换路后的电路除去电源和储能元件除去电源和储能元件后，后，在在 储能元件两端储能元件两端所求得的所求得的 无源二端网络的等效电阻无源二端网络的等效电阻。 3) 3) 时间常数时间常数 的计算的计算对于一阶对于一阶RCRC电路电路对于一阶对于一阶RLRL电路电路 注意：类似于应用戴维宁定理解题时，等

16、效电阻的方法类似于应用戴维宁定理解题时，等效电阻的方法R0U0+-CR0R R0 0的计算：的计算： 从从储能元件两端看进去储能元件两端看进去的等效电阻。的等效电阻。R1R2R3R1U+-t=0CR2R3S除去电源和除去电源和除储能元件除储能元件例 在下图中，已知U1=3V，U2=+6V，R1=1k ，R2=2k，C= 3F ，t0时电路已处于稳态。用三要素法求t 0 时的 uC(t),并画出变化曲线。 uC(0+)、uC()和 R2R1 U1C +1+uC U2 +则：电容相当于开路。2t=0S解先确定三要素因：t0时电路已处于稳态，当t0电路处于稳态时，R2 U1C +1+uCU2 +2t

17、=0SR1例 在下图中，已知U1=3V，U2=+6V，R1=1k ，R2=2k，C= 3F ，t0时电路已处于稳态。用三要素法求t 0 时的 uC(t),并画出变化曲线。解先确定三要素解 U1C +1+uCU2 +2t=0SR1R2t (S)uC (V)402uC(t)变化曲线 V例 在下图中，已知U1=3V，U2=+6V，R1=1k ，R2=2k，C= 3F ，t0时电路已处于稳态。用三要素法求t 0 时的 uC(t),并画出变化曲线。t=0 +UiLR1R2128220V0.6H 例图中，如在稳定状态下R1被短路，试问短路后经过多少时间电流才达到15A？ 1）确定i (0+) 解先应用三要

18、素法求电流i3）确定时间常数2）确定i ()t=0 +UiLR1R2128220V0.6H根据三要素法公式当电流到达15A时所经过的时间为：t =0.039S 例图中，如在稳定状态下R1被短路，试问短路后经过多少时间电流才达到15A？ 解先求出三要素：电路暂态分析的内容电路暂态分析的内容 1. 1. 利用电路暂态过程利用电路暂态过程产生特定波形的电信号产生特定波形的电信号 如锯齿波、三角波、尖脉冲等，应用于电子电路。如锯齿波、三角波、尖脉冲等，应用于电子电路。研究暂态过程的实际意义研究暂态过程的实际意义: : 2. 2. 控制、预防控制、预防可能产生的可能产生的危害危害 暂态过程开始的瞬间可能暂态过程开始的瞬间可能产生过电压、过电流产生过电压、过电流使使 电气设备或元件损坏。电气设备或元件损坏。1) 1) 暂态过程中电压、电流随时间变化的规律。暂态过程中电压、电流随时间变化的规律。 直流电路、交流电路都存在暂态过程直流电路、交流电路都存在暂态过程, , 我们讲课的重点是直流电路的暂态过我们讲课的重点是直流电路的暂态过程。程。2) 2) 影响暂态过程快慢的电路的时间常数。影响暂态过程快慢的电路的时间常数。