《第七章 电子自旋》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第七章 电子自旋（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、电子自旋电子自旋 从历史上看，电子自旋先由实验上发现，然后才由狄从历史上看，电子自旋先由实验上发现，然后才由狄拉克（拉克（Dirac）方程从理论上导出的。进一步研究表明，）方程从理论上导出的。进一步研究表明，不但电子存在自旋，中子、质子、光子等所有微观粒子都不但电子存在自旋，中子、质子、光子等所有微观粒子都存在自旋，只不过取值不同。自旋和静质量、电荷等物理存在自旋，只不过取值不同。自旋和静质量、电荷等物理量一样，也是描述微观粒子固有属性的物理量。量一样，也是描述微观粒子固有属性的物理量。 在电子自旋的学习中，首先要了解电子自旋的实验依在电子自旋的学习中，首先要了解电子自旋的实验依据及自旋假设，
2、重点掌握电子自旋的描述，同时能应用电据及自旋假设，重点掌握电子自旋的描述，同时能应用电 子自旋的理论解释原子光谱现象。子自旋的理论解释原子光谱现象。 1 电子自旋的实验依据及自旋假设电子自旋的实验依据及自旋假设 1.1 光谱线的精细结构光谱线的精细结构 在人们考虑电子轨道角动量时，量子数在人们考虑电子轨道角动量时，量子数 l 只只能取一系列分立值能取一系列分立值0,1,2,3 只能初步解释原子光只能初步解释原子光谱的一些规律，后来在比较精密的实验中发现：在谱的一些规律，后来在比较精密的实验中发现：在无外场情况下，原有谱线存在细致的分裂现象，光无外场情况下，原有谱线存在细致的分裂现象，光谱线的这
3、种自然分裂现象被称为光谱线的精细结构谱线的这种自然分裂现象被称为光谱线的精细结构现象，其原因不能由电子的轨道角动量来解释，还现象，其原因不能由电子的轨道角动量来解释，还必须考虑其内部因素必须考虑其内部因素电子存在自旋。如钠原子光电子存在自旋。如钠原子光谱中有一谱线，波长为谱中有一谱线，波长为D=5893。但精细测量发。但精细测量发现，实际上，这是由两条谱线组成的。现，实际上，这是由两条谱线组成的。 D1=5895.93 D2=5889.95 Na的的D线：线：3p3s的精细结构有二条的精细结构有二条 粗单线精细双线粗单线精细双线 1.2 反常塞曼效应（反常塞曼效应（Anomalous Zeem
4、an effect） 如果将原子至于均匀磁场中，也能观测到光谱线的分裂如果将原子至于均匀磁场中，也能观测到光谱线的分裂现象现象塞曼效应。塞曼效应分正常（简单）和反常（复杂）塞曼效应。塞曼效应分正常（简单）和反常（复杂）两种情况，前者可以用轨道角动量的空间量子化来解释，即两种情况，前者可以用轨道角动量的空间量子化来解释，即轨道磁量子数轨道磁量子数 只能取只能取 个奇数值。但后者则无法仅个奇数值。但后者则无法仅用轨道角动量来解释，必须认为电子具有除轨道角动量之外用轨道角动量来解释，必须认为电子具有除轨道角动量之外的其它半整数角动量。的其它半整数角动量。1.3 斯特恩斯特恩盖拉赫实验（盖拉赫实验（S
5、tern-Gerlach）（）（1922年）年） 当使基态当使基态 的氢原子束通过不均匀磁场时，观测的氢原子束通过不均匀磁场时，观测到原子束仅分裂成两束，即仅两个态。这个实验直接证实了到原子束仅分裂成两束，即仅两个态。这个实验直接证实了半整数角动量的存在。半整数角动量的存在。 Zeeman ,Lorentz因塞曼效应获1902年诺贝尔奖因为，对于基态因为，对于基态 ，无轨道磁矩；而角动量的空间分量，无轨道磁矩；而角动量的空间分量是是 ，因只有两个态，量子数，因只有两个态，量子数 只能是只能是 ，它不可能，它不可能是轨道的，只能是电子自身固有的角动量，称其为电子自旋是轨道的，只能是电子自身固有的
6、角动量，称其为电子自旋角动量，并用角动量，并用 表示。表示。1.4 G. Uhlenbeck（乌伦贝克）（乌伦贝克） S.Goudsmit（古德（古德 斯密特）假设斯密特）假设1925年二人合作根据实验结果提出电子自旋的假设：年二人合作根据实验结果提出电子自旋的假设： （1）电子具有自旋角动量）电子具有自旋角动量 ，它在空间任何方向上的，它在空间任何方向上的投影值（测量值）仅取两个值，例如投影值（测量值）仅取两个值，例如 方向方向 （2）由于电子具有自旋，实验发现，它也具有自旋磁矩）由于电子具有自旋，实验发现，它也具有自旋磁矩（内禀磁矩）（内禀磁矩） ，它与自旋角动量关系是，它与自旋角动量关系
7、是 和和 分别是电子的电荷和质量，分别是电子的电荷和质量， 在空间任何方向在空间任何方向上的投影值（测量值）仅取两个值上的投影值（测量值）仅取两个值 （1） （2） （玻尔磁子）（玻尔磁子）（3） 电子自旋与轨道角动量的不同之处：电子自旋与轨道角动量的不同之处： 电子自旋纯粹是一种量子特征，它没有对应的经典电子自旋纯粹是一种量子特征，它没有对应的经典 物理量，不能由经典物理量获得其算符。电子自旋虽具有物理量，不能由经典物理量获得其算符。电子自旋虽具有 角动量的力学特征，但不能像轨道角动量那样表达成坐标角动量的力学特征，但不能像轨道角动量那样表达成坐标 和动量的函数，即电子自旋是电子内部状态的反
8、映，它是和动量的函数，即电子自旋是电子内部状态的反映，它是 描述微观粒子的又一个动力学变量，是继描述微观粒子的又一个动力学变量，是继 之后的之后的 描写电子自身状态的第四个量；描写电子自身状态的第四个量； 电子自旋值不是电子自旋值不是 的整数倍而只能是的整数倍而只能是 ； 电子自旋的回转磁比率电子自旋的回转磁比率 ，它是电子，它是电子 轨道运动回转磁比率轨道运动回转磁比率 的两倍。的两倍。2. 自旋的描述自旋的描述2.1 自旋波函数自旋波函数（1）电子状态波函数）电子状态波函数 实验表明，电子不是一个简单的只具有三个自由度的实验表明，电子不是一个简单的只具有三个自由度的的粒子，它还具有自旋这个
9、自由度，要对它的状态作出完的粒子，它还具有自旋这个自由度，要对它的状态作出完全的描述还必须考虑其自旋状态。确切的说，要考虑电子全的描述还必须考虑其自旋状态。确切的说，要考虑电子自旋在某给定方向上的投影的取值，所以电子状态波函数自旋在某给定方向上的投影的取值，所以电子状态波函数中还应包含自旋投影这个变量。习惯上取中还应包含自旋投影这个变量。习惯上取 轴方向投影轴方向投影变量记为变量记为 ，这样电子状态波函数应写为，这样电子状态波函数应写为 （4） 规定第一行对应电子自旋为规定第一行对应电子自旋为 的状态，第二行对的状态，第二行对应电子自旋为应电子自旋为 的状态。在对电子状态波函数进行的状态。在对
10、电子状态波函数进行归一化时，必须考虑既对空间坐标积分又要对自旋变数求归一化时，必须考虑既对空间坐标积分又要对自旋变数求和，即和，即其中，其中， ， 分别表示在分别表示在 时时 刻在刻在 处单位体积内找到自旋为处单位体积内找到自旋为 和和 的电子的概率。的电子的概率。 表示在表示在 时刻在时刻在 处单位体积内找到电子的概率。处单位体积内找到电子的概率。 （2）自旋波函数）自旋波函数 空间变量空间变量 和自旋变量和自旋变量 虽然是彼此独立的，虽然是彼此独立的， 但这并不意味着空间运动和自旋运动在任何情况下都相互但这并不意味着空间运动和自旋运动在任何情况下都相互 无关，在许多情况下二者是相互联系相互
11、作用的，因此，无关，在许多情况下二者是相互联系相互作用的，因此，（5） 空间变量空间变量 和自旋变量和自旋变量 一般是不能分离的，只是在一般是不能分离的，只是在某些特殊情况下，轨道与自旋的相互作用小到可以忽略时，某些特殊情况下，轨道与自旋的相互作用小到可以忽略时，波函数才可以分离变量，写成波函数才可以分离变量，写成式中式中 是描述电子自旋状态的波函数，简称为自旋波函是描述电子自旋状态的波函数，简称为自旋波函数，一般应表示为二分量形式数，一般应表示为二分量形式其中其中 表示自旋表示自旋 的概率，的概率，表示表示 自旋的概率。自旋的概率。 （6） （7） 自旋波函数的归一化条件为自旋波函数的归一化
12、条件为 的具体形式要在具体表象中确定。的具体形式要在具体表象中确定。2.2自旋算符自旋算符 和所有力学量一样，在量子力学中自旋角动量也应用和所有力学量一样，在量子力学中自旋角动量也应用 算符表示。在量子力学中决定算符本质属性的是它的对易算符表示。在量子力学中决定算符本质属性的是它的对易 关系，所以按一般角动量理论，自旋算符的对易关系定义关系，所以按一般角动量理论，自旋算符的对易关系定义 为为 它的分量式为它的分量式为（8） （9） （10） 或简记为或简记为 力学量算符的本征值就是实验中的观测值，由斯特恩力学量算符的本征值就是实验中的观测值，由斯特恩盖盖拉赫实验可知，自旋算符拉赫实验可知，自旋
13、算符 的本征值都是的本征值都是 ，写为写为式中式中 为自旋量子数，它只能取值为自旋量子数，它只能取值 ； 自旋磁量子数，自旋磁量子数，它只能取值它只能取值 或或 。 定义自旋平方算符为定义自旋平方算符为由于本征值由于本征值 ，所以，所以 的本征值为的本征值为 其中其中 （11） （12） （13） 引入无量纲的泡利算符引入无量纲的泡利算符 由由 的对易关系可得的对易关系可得 （14） （15） （16） 的本征值的本征值 常数算符常数算符 及及 的本征值分别为的本征值分别为算符间还存在反对易关系算符间还存在反对易关系（17） （18） （19） （20） 由（由（16）、（）、（20）可得）可
14、得 应注意：上述应注意：上述 和和 是两套平行的描述自旋的算符，只是两套平行的描述自旋的算符，只 是是 的本征值计算起来简洁一些。的本征值计算起来简洁一些。2.3自旋算符的矩阵形式自旋算符的矩阵形式 自旋函数是自旋函数是 矩阵，作用在自旋函数上的自旋算符应矩阵，作用在自旋函数上的自旋算符应该是该是 矩阵。令泡利（矩阵。令泡利（Pauli）矩阵）矩阵由表象理论知，若采用由表象理论知，若采用 表象，则表象，则 应是对角化的，对角应是对角化的，对角元素即为其本征值，由于元素即为其本征值，由于 的本征值为的本征值为 ，所以所以关于关于 在在 表象中的具体形式，可根据算符的厄米性，表象中的具体形式，可根
15、据算符的厄米性， 设设利用利用 可得可得于是于是 这样这样 写成写成 （21） （22） 由于由于 的本征值为的本征值为1 所以所以 则则 令令 （ 为实数）为实数） 这样这样类似可得类似可得 利用利用 可得可得 单位矩阵单位矩阵 （23） （24） 即有即有 由于由于 和和 之间有一个相角不定性（相当于取定之间有一个相角不定性（相当于取定 轴轴 后，后， 轴取向并未取定，只确定了轴取向并未取定，只确定了 轴之间的关轴之间的关 系），习惯上取系），习惯上取 从而可得，在从而可得，在 表象中，表象中，泡利矩阵的标准形式为泡利矩阵的标准形式为 在在 表象中，自旋算符矩阵表示的标准形式为表象中，自旋
16、算符矩阵表示的标准形式为 （25） （26） 注意以下两点：注意以下两点：（1 1） 只是只是 在三个特殊方向上的投影，若以在三个特殊方向上的投影，若以 表示表示 在任意方向在任意方向 （方向余弦是（方向余弦是 ） 的投影，则的投影，则（2 2）以上讨论的是）以上讨论的是 表象，若在表象，若在 表象中，表象中， 应为对角应为对角矩阵，通过坐标轮换得矩阵，通过坐标轮换得 （27） 算算 符符 表象表象 矩阵矩阵2.4本征值和本征函数本征值和本征函数 令令 的本征函数为的本征函数为 ，对应的本征值为，对应的本征值为 ，写出本征方程写出本征方程由此可得由此可得 有非零解的条件有非零解的条件 由此得由
17、此得 即即 的本征值为的本征值为 对应对应 得得 利用归一化条件利用归一化条件 得得 取取 （实际取（实际取 中的相角中的相角 ） 所以所以 同理同理 二者正交二者正交（29） （30） 且构成电子自旋态的一组正交归一完备系，电子的任意且构成电子自旋态的一组正交归一完备系，电子的任意自旋态均可以它们为基矢展开自旋态均可以它们为基矢展开 注意以下几个问题：注意以下几个问题： （1） 表象中，表象中， 的本征值和本征函数的本征值和本征函数 本征值不随表象而变化，可见本征值不随表象而变化，可见 的本征值均为的本征值均为 相应的本征函数为相应的本征函数为 （31） （32） 它们可用它们可用 的本征函
18、数来展开的本征函数来展开（2）利用球坐标系分析任意方向）利用球坐标系分析任意方向 上的投影算符上的投影算符 的本征的本征函数函数 求解本征方程求解本征方程 容易得到容易得到 即本征值也为即本征值也为 取取 则则 利用第二式利用第二式 得得 利用归一化条件得利用归一化条件得 取取 则则 于是得于是得 同理可得同理可得 当当 时时 可得可得 当当 时时 可得可得 显然显然 的本征函数可以用的本征函数可以用 的本征函数展开的本征函数展开 由此可以看出，在由此可以看出，在 态中，出现态中，出现 的本征值为的本征值为 的概率为的概率为 ，本征值为，本征值为 的概率为的概率为 。 （3）任意表象中的本征值
19、和本征函数）任意表象中的本征值和本征函数例如，在例如，在 表象中，可利用以下算符的本征方程求解本征表象中，可利用以下算符的本征方程求解本征值和本征函数值和本征函数事实上，将事实上，将 表象结果通过坐标轮换即可：表象结果通过坐标轮换即可： 可自行证明可自行证明 2.5对波函数作用的任意算符对波函数作用的任意算符 考虑到自旋问题，任意状态波函数都应是二分量形式，考虑到自旋问题，任意状态波函数都应是二分量形式，所以对波函数运算的算符都应该是所以对波函数运算的算符都应该是 矩阵。为此，只要矩阵。为此，只要将过去的算符乘以一个将过去的算符乘以一个 的单位矩阵即可以了。如的单位矩阵即可以了。如 任意算符任意算符 在在 态中的平均，必须考虑矩阵和坐标两态中的平均，必须考虑矩阵和坐标两种运算种运算 （33） （34） 对自旋求平均对自旋求平均 对坐标和自旋同时求平均对坐标和自旋同时求平均 例一例一 证明证明 并在并在 态中求态中求 解：解： 还可证明还可证明 例二例二 在氢原子的在氢原子的 态中，求轨道角动量态中，求轨道角动量 的的 分量分量 的平均值的平均值解：解： 因因 所以所以 因为因为 所以所以 作业P2127.27.47.5
