《4.3.2函数的极大值和极小值》由会员分享，可在线阅读，更多相关《4.3.2函数的极大值和极小值（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、知识回顾知识回顾: :如果在某个区间内恒有如果在某个区间内恒有 ,则则 为常数为常数.用用“导数法导数法” 求单调区间的步骤求单调区间的步骤: :注意：注意：函数函数定义域定义域求求令令求单调区间求单调区间问题：如图表示高台跳水运动员的高度问题：如图表示高台跳水运动员的高度 随时间随时间 变化的函数变化的函数 的图象的图象 单调递增单调递增单调递减单调递减归纳归纳: 函数函数 在点在点 处处 ,在在 的附近的附近, 当当 时时,函数函数h(t)单调递增，单调递增， ; 当当 时时,函数函数h(t)单调递减单调递减, 。 （3 3）在点）在点 附近附近, , 的导数的符号有的导数的符号有 什么规
2、律什么规律? ? （1）函数）函数 在点在点 的函数值与这些点的函数值与这些点 附近的函数值有什么关系附近的函数值有什么关系?（2 2）函数）函数 在点在点 的导数值是多少的导数值是多少? ?(图一图一)问题：问题：(图二图二)(图一图一)(图二图二)极大值极大值f(b)点点a a为函数为函数y=f(x)的的极小值点极小值点，f(a a)叫做函数叫做函数y=f(x)的的极小值极小值.点点b为函数为函数y=f(x)的的极大值点极大值点，f(b)叫做函数叫做函数y=f(x)的的极大值极大值.极小值点极小值点、极大值点极大值点统称统称极值点极值点，极大值极大值和和极小值极小值统称为统称为极值极值.极
3、小值极小值f(a)思考：思考：极大值一定大于极小值吗？极大值一定大于极小值吗？ （1 1）如）如图图是函数是函数 的的图图象象, ,试试找出函数找出函数的极的极值值点点, ,并指出哪些是极大并指出哪些是极大值值点点, ,哪些是极小哪些是极小值值点？点？（2）如果把函数图象改为导函数）如果把函数图象改为导函数 的的图图象象? ?答：答：1、x1,x3,x5,x6是函数是函数y=f(x)的极值点，其中的极值点，其中x1,x5是函是函数数y=f(x)的极大值点，的极大值点，x3,x6函数函数y=f(x)的极小值点。的极小值点。2、x2,x4是函数是函数y=f(x)的极值点的极值点,其中其中x2是函数
4、是函数y=f(x)的极大值点，的极大值点，x4是函数是函数y=f(x)的极小值点。的极小值点。 下面分两种情况下面分两种情况讨论讨论: : （1 1）当）当 ，即，即x x2,2,或或x x-2-2时时; ;（2）当）当 ，即，即-2 x2时。时。例例1：求函数求函数 的极值的极值. 解解: :当当x x变化时，变化时， 的变化情况如下表：的变化情况如下表： 当当x=-2x=-2时时, f(x), f(x)的极大的极大值为值为 令令解得解得x=2,或或x=-2.当当x=2时时, f(x)的极小值为的极小值为探索探索: x =0是否为函数是否为函数f(x)=x3的极值点的极值点?x yOf (x
5、) x3v 若若寻寻找找可可导导函函数数极极值值点点,可可否否只由只由f (x)=0 0求得即可求得即可? ? f (x)=3=3x2 2 当当f (x)=0=0时，时，x =0=0，而，而x =0=0不是不是该函数的极值点该函数的极值点. .f (x0) =0 =0 x0 是可导函数是可导函数f(x)的极值点的极值点 x0左右侧导数异号左右侧导数异号 x0 是函数是函数f(x)的极值点的极值点 f (x0) =0=0注意：注意：f /(x0)=0是函数取得极值的是函数取得极值的必要不充分必要不充分条件条件（2）如果在）如果在 附近的左附近的左侧侧 ，右，右侧侧 ， 那么那么 是极小是极小值值
6、归纳归纳：求函数求函数y=f(x)极极值值的方法是的方法是:（1）如果在）如果在 附近的左附近的左侧侧 ，右，右侧侧 ， 那么那么 是极大是极大值值；解方程解方程 ，当当 时时：练习：练习： 下列结论中正确的是（下列结论中正确的是（ ）。）。 A、导数为零的点一定是极值点。、导数为零的点一定是极值点。 B、如果在、如果在x0附近的左侧附近的左侧f(x)0,右侧右侧f(x)0, 那么那么 f(x0) 是极大值。是极大值。 C、如果在、如果在x0附近的左侧附近的左侧f(x)0,那么那么f(x0) 是极大值。是极大值。 、极大值一定大于极小值。、极大值一定大于极小值。B(最好通过列表法最好通过列表法
7、)巩固练习巩固练习：求函数求函数 的极值的极值 当当 时时, 有极大值，并且极大值为有极大值，并且极大值为当当 时时, , 有极小有极小值值，并且极小，并且极小值为值为 解解: : 令令 ，得，得 ，或，或 下面分两种情况讨论：下面分两种情况讨论：（1）当）当 ，即，即 时；时；（2）当）当 ，即，即 ，或，或 时。时。当当 变化时，变化时， 的变化情况如下表：的变化情况如下表：P29练习练习2求下列函数的极值求下列函数的极值:解解: 令令 解得解得 列表列表:x0f (x)+单调递增单调递增单调递减单调递减 所以所以, 当当 时时, f (x)有极小值有极小值练习练习2求下列函数的极值求下列
8、函数的极值:解解: 解得解得 列表列表:x(, 3)3(3, 3)3( 3, +)00f (x) +单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增单调递增所以所以, 当当 x = 3 时时, f (x)有极大值有极大值 54 ;当当 x = 3 时时, f (x)有极小值有极小值 54 .练习练习2求下列函数的极值求下列函数的极值:解解: 解得解得 所以所以, 当当 x = 2 时时, f (x)有极小值有极小值 10 ;当当 x = 2 时时, f (x)有极大值有极大值 22 .解得解得 所以所以, 当当 x = 1 时时, f (x)有极小值有极小值 2 ;当当 x = 1 时时, f (x)
9、有极大值有极大值 2 .已知函数已知函数 在在 处取得极值。处取得极值。（1）求函数）求函数 的解析式（的解析式（2）求函数）求函数 的单调区间的单调区间解：解：（1） 在在 取得极值取得极值, 即即 解得解得 （2） ， 由由 得得 的单调增区间为的单调增区间为 由由 得得 的单调减区间为的单调减区间为 3. 3.函数函数 在在 时时有极有极值值1010，则则a，b的的值为值为（ ）A A、 或或 B B、 或或C C、 D D、 以上都不对以上都不对 C，解解:由由题设题设条件得：条件得：解之得解之得注意：注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件是函数取得极值的必要不充分条件注
10、意代注意代入检验入检验 小结小结: :1.设函数设函数y=f(x)在在x0及其附近有定义及其附近有定义,如果如果f(x0)的值比的值比x0 附近所有各点的函数值都大附近所有各点的函数值都大,我们说我们说f(x0)是函数是函数y=f(x) 的一个极大值的一个极大值;如果如果f(x0)的值比的值比x0附近所有各点的函附近所有各点的函 数值都小数值都小,我们说我们说f(x0)是函数是函数y=f(x)的一个极小值的一个极小值.极极 大值与极小值统称极值大值与极小值统称极值.2.当函数当函数f(x)在在x0处连续时处连续时,判别判别f(x0)是极大是极大(小小)值的方值的方 法是法是: (1):如果在如
11、果在x0附近的左侧附近的左侧 右侧右侧 那么那么,f(x0)是极大值是极大值; (2):如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 右侧右侧 那么那么,f(x0)是极小值是极小值.3.理解函数极值的定义时应注意以下几点理解函数极值的定义时应注意以下几点:(1)函数的极值是一个局部性的概念函数的极值是一个局部性的概念,极值点是区间内极值点是区间内 部的点而不会是端点部的点而不会是端点.(2)若若f(x)在某区间内有极值在某区间内有极值,那么那么f(x)在某区间内一定在某区间内一定 不是单调函数不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值即在区间上单调的函数没有极值.(3)极大值与极小值没有必然的大小关系
12、极大值与极小值没有必然的大小关系,即极大值不即极大值不 一定比极小值大一定比极小值大,极小值不一定比极大值小极小值不一定比极大值小.(4)函数函数f(x)在某区间内有极值在某区间内有极值,它的极值点的分布是它的极值点的分布是 有规律的有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值相邻两个极大值点之间必有一个极小值 点点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点. 一般地一般地,当函数当函数f(x)在某区间上连续且有有限极值在某区间上连续且有有限极值 点时点时,函数函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点在该区间内的极大值点与极小值点 是交替出现的是交替出
13、现的.(5)导数为零的点是该点为极值点的必要条件导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是而不是 充分条件充分条件.(6)极值只能在函数不可导的点或导数为零的点取到极值只能在函数不可导的点或导数为零的点取到.4.确定函数的极值应从几何直观入手确定函数的极值应从几何直观入手,理解可导函数在理解可导函数在 其定义域上的单调性与函数极值的相互关系其定义域上的单调性与函数极值的相互关系,掌握利掌握利 用导数判断函数极值的基本方法用导数判断函数极值的基本方法.一、求函数的极值方法一、求函数的极值方法: (1)确定函数的定义域确定函数的定义域(2)求导数求导数f(x)(3)求方程求方程f(x) =0的全部解的全部解(4)检查检查f(x)在在f(x) =0的根左的根左.右两边值的符号右两边值的符号,如果左正如果左正右负右负(或左负右正或左负右正),那么那么f(x)在这个根取得极大值或极小值在这个根取得极大值或极小值二、通过本节课使我们学会了应用数形结合法去求函数二、通过本节课使我们学会了应用数形结合法去求函数的极值，并能应用函数的极值解决函数的一些问题的极值，并能应用函数的极值解决函数的一些问题
