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1、信息学院信息学院 罗捍东罗捍东第第 五五 章章 不不 定定 积积 分分1信息学院信息学院 罗捍东罗捍东例例定义：定义：5.1.1 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念第一节第一节 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质2信息学院信息学院 罗捍东罗捍东原函数存在定理：原函数存在定理：简言之：简言之：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.问题：问题：(1) 原函数是否唯一？原函数是否唯一？例例（C为任意常数）为任意常数）(2) 若不唯一它们之间有什么联系？若不唯一它们之间有什么联系？3信息学院信息学院 罗捍东罗捍东关于原函数的定理：关于原函数的定理：（1）若）若 ，则对于任意常数，则
2、对于任意常数 ，（2）若）若 和和 都是都是 的原函数，的原函数，则则证证（C为任意常数）为任意常数）（C为任意常数）为任意常数）4信息学院信息学院 罗捍东罗捍东积积分分常常数数积积分分号号被被积积函函数数不定积分的定义：不定积分的定义：被被积积表表达达式式积积分分变变量量在区间在区间(a,b)内，内，F(x)是函数是函数f(x)的一个原函数，的一个原函数，5信息学院信息学院 罗捍东罗捍东例例1 1：求求解：解：解：解：例例2 2：求求6信息学院信息学院 罗捍东罗捍东不定积分的几何意义不定积分的几何意义 y = F(x )是函数是函数(x)的一个原函数的一个原函数, 称称 y = F(x) 的
3、图形是的图形是(x)的一条积分曲线的一条积分曲线;而而 是是(x)的原函数一般表达式的原函数一般表达式, 所以它所以它对应的图形是一族积分曲线称它为积分曲线族对应的图形是一族积分曲线称它为积分曲线族, 其特点是其特点是: (1)积分曲线族中任意一条曲积分曲线族中任意一条曲线可由其中某一条线可由其中某一条(如如y=F(x)沿沿y轴平行移动轴平行移动|c|个单位而得到个单位而得到. (如图如图)当当c0时时, 向上移动向上移动; 当当c0时时,向下移动向下移动.oxyxy=F(x)c7信息学院信息学院 罗捍东罗捍东oxyxy=F(x)(2) 即横坐标相同点处即横坐标相同点处, 每条积分曲线每条积分
4、曲线上相应点的切线斜率相等上相应点的切线斜率相等, 都为都为(x) .从而相应点的切线相互平行从而相应点的切线相互平行.注意注意:当需要从积分曲线族中求出当需要从积分曲线族中求出过点过点 的一条积分曲线时的一条积分曲线时,则只须把则只须把 代入代入y = F(x) + C中解出中解出C即可即可.8信息学院信息学院 罗捍东罗捍东例例3 3：设曲线通过点（设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解：解： 设曲线方程为设曲线方程为根据题意知根据题意知由曲线通过点（由曲线通过点（1，2）所求曲线方
5、程为所求曲线方程为9信息学院信息学院 罗捍东罗捍东由不定积分的定义，可知由不定积分的定义，可知结论：结论： 微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆互逆互逆的的.10信息学院信息学院 罗捍东罗捍东实例实例启示启示能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？结论结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式此可以根据求导公式得出积分公式.5.1.2 基本积分表基本积分表11信息学院信息学院 罗捍东罗捍东基基本本积积分分表表是常数是常数);说明：说明：12信息学院信息学院 罗捍东罗捍东13信息学院信息学
6、院 罗捍东罗捍东14信息学院信息学院 罗捍东罗捍东例例4 4：求积分求积分解：解：根据积分公式（根据积分公式（2）15信息学院信息学院 罗捍东罗捍东证：证：等式成立等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）5.1.3 不定积分的性质不定积分的性质16信息学院信息学院 罗捍东罗捍东例例5 5：求积分求积分解：解：17信息学院信息学院 罗捍东罗捍东例例6 6：求积分求积分解：解：18信息学院信息学院 罗捍东罗捍东例例7 7：求积分求积分解：解：19信息学院信息学院 罗捍东罗捍东例例8 8：求积分求积分解：解：20信息学院信息学院 罗捍东罗捍东例例9
7、9：求积分求积分解：解：说明：说明： 以上几例中的被积函数都需要进行以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表恒等变形，才能使用基本积分表.21信息学院信息学院 罗捍东罗捍东解：解：所求曲线方程为所求曲线方程为例例10：已知函数已知函数y=f(x)在点在点(x，f(x)的切线的切线斜率为斜率为 ，且过点（，且过点（0，5），），求此曲线。求此曲线。22信息学院信息学院 罗捍东罗捍东例例11：已已知知某某产产品品的的产产量量Q是是时时间间t的的函函数数，其其变变化化率率的的关关系系为为Q/ /(t)2t10，求求此此产产品品的的产量函数产量函数Q(t) ？解：解：因为因为Q (t)是其变化率的原函数，依题意有是其变化率的原函数，依题意有由由Q(0)0，得，得C=0。因此，该产品的产量函数为因此，该产品的产量函数为Q (t) t210t23信息学院信息学院 罗捍东罗捍东考研题欣赏考研题欣赏解解 ：设设t=lnx，则，则（1995年年3,4）设设 ，则，则f(x)=24
