数学基本不等式及应用

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1、基本不等式及应用基本不等式及应用一、考纲要求：1.了解基本不等式的证明过程2会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题3了解证明不等式的基本方法综合法二、基本不等式基本不等式不等式成立的条件 等号成立的条件abab2a0，b0ab三、常用的几个重要不等式ab(1)a2b22ab(a，bR)(2)ab()2(a，bR)2a2b2abba(3)()2(a，bR)(4) 2(a，b 同号且不为22ab零)上述四个不等式等号成立的条件都是 ab.四、算术平均数与几何平均数设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为ab2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数四

2、个“平均数”的大小关系；四个“平均数”的大小关系；a a，b bR+R+：当且仅当当且仅当a ab b时取等号时取等号. .五、利用基本不等式求最值：设 x，y 都是正数(1)如果积xy是定值P， 那么当xy时和xy有最小值21P.2 2ababa a b ba a b babab2 2a a2 2 b b2 22 2(2)如果和 xy 是定值 S， 那么当 xy 时积 xy 有最大值 S2.4强调：1、在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等、四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件.正：两项必须都是正数；定：求两项和的最小值，它

3、们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为定值。等：等号成立的条件必须存在.2、当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时，如何处理？（若最值取不到可考虑函数的单调性 ）想一想想一想: :错在哪里？错在哪里？1f (x) x已知函数已知函数，求函数的，求函数的x最小值和此时最小值和此时x x的取值的取值已知函数已知函数f (x) x求函数的最小值求函数的最小值解 ： f ( x ) x 3(x 2)，x2解 : f ( x ) x 当 且 仅 当 x 1 2xx 1 2x1即 x 1时 函 数x取 到 最 小 值 2.33 2x x 2x 2 x 2当 且 仅 当3即 x 3时 ， 函 数

4、x x 2的 最 小 值 是 6。大 家 把 x 2 最 小 值 ？3 代 入 看 一 看 ， 会 有什 么 发 现 ？ 用 什 么 方 法 求 该 函 数 的3、已知两正数x，y 满足 xy1，则z(x )(y )的最xy小值为_解一：因为对 a0，恒有 a 2，从而 z(x )(y )axy4，所以 z 的最小值是 4.解二：z2(2x2y22xyxy(2xyxy)2221)2xyxy21111121)，所以 z 的最小值是 2(【错因分析】错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备，因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件，只有等号成立时，所求出的最值才是正确的【正确解答】 z(x

5、 )(y )xy xyxyxyxyxy111yx1xy22xyxyxy2，xy2xy121令 txy，则 0txy()2 ，由 f(t)t 在(0， 24t4上单调递减，故当t 时， f(t)t 有最小值，所以当4t4xy 时 z 有最小值.24误区警示：误区警示：(1)在利用基本不等式求最值(值域)时，过多地关注形式上的满足，极容易忽视符号和等号成立条件的满足，这是造成解题失误的重要原因如函数 y12x (x0)有最大值 1x26而不是有最小值 126.31251233(2)当多次使用基本不等式时， 一定要注意每次是否都能保证等号成立， 并且要注意取等号条件的一致性， 否则就会出错课堂纠错补

6、练：课堂纠错补练：4若 0x ，则 f(x)sinx的最小值为_2sinx4解析：令 sinxt,00，b0，ab1， 2 ababab2211b a1 4(当且仅当 ab 时等号成立)a b211ababba 4.原不等式成立ab练习：练习：已知 a、b、c 为正实数，且abc1，求证： ( a1)( 1)( 1)8.bc证明：a、b、c 均为正实数，且 abc1，( 1)( 1)( 1)abc1a1babcbcacabc1ab1c2bc2ac2ab111111abc8.当且仅当 abc 时取等号3考点考点 2 2利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧

7、，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值(2)当多次使用基本不等式时， 一定要注意每次是否能保证等号成立， 并且要注意取等号的条件的一致性， 否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法例 4： (1)设 0x2，求函数y 2x(2 x)的最大值【分析】由和或积为定值从而利用基本不等式求最值，然后确定取得最值的条件【解】(1)0x0，yx42x2，2x2xx2x22当且仅当 x2x 即 x1 时取等号，当 x1 时，函数 y(2) x0，求 f(x)12xx42x的最大值是2.3x

8、的最小值；（3）已知:x0,y0.且 2x+5y=20,求 xy 的最大值.（4）已知y 4a2a，求y的取值范围44显然 a2，当 a2 时，a20，4a2a(aa2a22)22a226，当且仅当a2，即 a4 时取等号，a2当 a2 时，a20，y0，且 xy1，求 的最小值xyx0，y0，且 xy1，434 ( )(xy)xyxy4x772xy3y3y 4x74xy3，3当且仅当33yx4xy，即 2x3y 时等号成立，4 的最小值为 74xy练习：求下列各题的最值3.(1)已知 x0，y0，lgxlgy1，求 z 的最小值；xy解：(1)由 x0，y0，lgxlgy1，可得 xy10.

9、252y5x 210xy则 2.zmin2.当且仅当 2y5x，xy1010即 x2，y5 时等号成立(2)x 0，求 f(x)12x3x 的最大值；12x25x0，f(x)12x3x23x12，等号成立的条件12是3x，即 x2，xf(x)的最小值是 12.(3)x3，求 f(x)4x3x 的最大值4x34x3x3，x30，f(x)3)343x(3x)32443xx(x3x31，当且仅当3x，即 x1 时，等号成立故 f(x)的最3x大值为1.（4）a 0,b 0,4a b 1，求ab的最大值。考点考点 3 3利用基本不等式求最值的解题技巧利用基本不等式求最值的解题技巧1.代换：化复杂为简单

10、，易于拼凑成定值形式。2拆、拼、凑，目的只有一个，出现定值例 3：（1）已知a,b R,ab3 ab，求ab的最小值。（2）已知y 2x1 x2(0 x 1)，求y的最大值。b2（3）已知a,b R，a 1，求a 1b222的最大值。（4）求函数y 2x 1 5 2x的最大值。（5）设 abc0，求 2a2的最小值。1ab1aab10ac25c2A2B4C25D5【分析】通过拆、拼、凑创造条件，利用基本不等式求最值，但要注意等号成立时的条件【解析】原式(a210ac25c2)a(ab)a2aba(ab)(a5c)2ababaab211ab1aaba(ab)1abab1aab021abaab4，

11、ab1当且仅当aaba5c1，即 a2，b22，c25时，等号成立 【答案】B练习：练习：（1）(2011 年浙江)设 x，y 为实数，若 4x2y2xy1 则2xy 的最大值是_解析：4x2y2xy1，4x24xyy23xy13 2xy(2xy)213xy 2xy ()2222(2xy)21 (2xy)2(2xy)285即21052xy252105当且仅当 2xy 时取等号，(2x383y)最大值10.考点考点 4 4基本不等式的实际应用基本不等式的实际应用应用基本不等式解决实际问题的步骤是：(1)仔细阅读题目，透彻理解题意；(2)分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他的变量，

12、把要求最值的变量设为函数；(3)应用基本不等式求出函数的最值；(4)还原实际问题，作出解答例 4 围建一个面积为 360 m2 的矩形场地， 要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口， 如图所示 已知旧墙的维修费用为 45 元/m， 新墙的造价为 180 元/m.设利用的旧墙长度为 x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为 y(单位：元)(1)将 y 表示为 x 的函数；(2)试确定 x 使修建此矩形场地围墙的总费用最小， 并求出最小总费用【分析】(1)首先明确总费用 y旧墙维修费建新墙费，其次， 列出y与x的函

13、数关系式； (2)利用基本不等式求最值，最后确定取得最值的条件，作出问题结论【解】(1)如图，设矩形的另一边长为 a m.则 y45x180(x2)1802a225x360a360.由已知 xa360，得 a3602x360x，所以 y225x(2)x2，225x3602x360(x2)2225360210800.3602xy225x等号成立3602x36010440.当且仅当 225x时，即当 x24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440 元方法归纳：方法归纳：(1)利用基本不等式解决实际问题时， 应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应

14、的函数关系式，然后用基本不等式求解(2)在求所列函数的最值时， 若用基本不等式时， 等号取不到，可利用函数单调性求解练习：练习：1、有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定：大桥上的车距d(m)与车速v(km/h)和车长 l(m)的关系满足： dkv2l l(k 为正常数)，2假定车身长都为 4 m，当车速为 60 km/h 时，车距为 2.66个车身长(1)写出车距 d 关于车速 v 的函数关系式；(2)应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？12.66l l22.16解： (1)当 v60 km/h 时， d2.66l， k2260 l600.0

15、006，d0.0024v22.(2)设每小时通过的车辆为Q，则 Q1000v0.0024v2610000.0024v66v610001000vd4，即 Q1.0.0024v2v125003.0.0024v 0.24，Qv0.24612500当且仅当 0.0024v ，即 v50 时，Q 取最大值.v3答：当 v50 km/h 时，大桥上每小时通过的车辆最多归纳提升：归纳提升：1创设应用基本不等式的条件：(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧， 而拆与凑的目的是使“和式”或“积式”为定值，且每项为正值；(2)在利用基本不等式处理问题时， 列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是

16、否有误的一种方法2常用不等式：以下不等式在解题时使用更直接(1)a 2(a0，且 aR)，当且仅当 a1 时“”成立a(2) 2(a0，b0，a，bR)，当且仅当 ab 时“”ab成立(3)使用重要不等式求最值时，若等号不成立，应改用单调性法 一般地函数yax ， 当a0， b0时函数在x0)，(0,ba上是减函数，在(，ba)，(bba，ba1ba，)上是增函数；当 a0，b0 时，可作如下变形：y(ax)( )来解决最值问题x均值不等式求最值的对策均值不等式求最值的对策利用均值不等式求最值是高中数学中常用方法之一，应b注意“一正二定三相等” 在解题的过程中，有时往往出现“凑出了常数却取不到

17、等号”的现象，下面给大家讲几种对策，仅供同学们参考一、平衡系数一、平衡系数 实施均拆实施均拆这是最常用的一种技巧，常有均拆整式、均拆分式、均拆幂指数等例例 1 1 求函数y 3x 错解错解：x 0 y 3x 1113x2x x 2x 3 332222xxx1(x 0)的最小值2x ymin 332剖析剖析：此类错误出现较多，而且错误是不知不觉的，实际是忽视了等号成立的条件，即x 2x 1x2必须成立，而实际上是不可能的，解决方法可实施均拆法正解正解：(均拆整式均拆整式)x 0 y 3x 13x3x13x 3x 1333 3182222x2222x1x2上式当且仅当3x2，即x 3时取等号 ym

18、in3318223例例 2 2 求函数yx216(x0)的最小值x解：解：( (均拆分式均拆分式) )x0，yx28833x28812xxxx当且仅当x28，即x2 时，等号成立x故y的最小值为 12例例 3 3 若 0x1，求函数yx2(13x)的最大值3解：解：(均拆幂指数均拆幂指数)0x1， 13x03yx2(13x)xx(13x)43x3x(13x)9223x3x413x229334243当且仅当3x13x，即x2时，等号成立，即y的最小值为294243二、单调处理二、单调处理 简捷迅速简捷迅速例例 4 4求函数y 错解错解：x240 y yminx25x 4 22x25x 42(x

19、R)的最小值x2 41x 42x2 4 1x 42 2剖析剖析：本题似乎无懈可击，其实令x2 4 1x 42，则有x2 3，即无实数解，也就是等号取不到，因而找不到最小值正解正解：由y 易证y yminx2 4 1x2 4，令t x24 21f (t) t (t 2)为增函数t1522f (2) 2所以当x242，即x 0时，ymin52三、分项拆项三、分项拆项 观察等号观察等号对于函数f(x) px q(p、qR,x(0 ,c)的最值，当直接使用x均值不等式失效时，除用单调性外，还可用“分项拆项法” ，再用均值不等式，同时要注意等号例例 5 5已知x0,，求函数y 1sin x 221sin

20、 x的最小值解解：由0 x ，得0 sin x 1,0 1sin x 1，则21111 2 (1sin x)1sin x1sin x1sin x1sin x 21 3 (sin x 0时 取等号)ymin 3y 1sin x四、整体代换四、整体代换 减少放缩环节减少放缩环节多次运用均值不等式， 往往导致等号取不到 而用整体代换，可避免多次放缩，从而使问题获解例例 6 6 若x，y这正整数，满足4161，求xy的最小值xy错解解：14162xy41616xyxyxy16又xy2xy32故xy的最小值为 32xy16剖析剖析：在求解过程中，利用两次放缩，在时等号成立而在xy2xy中，xy中y4x时等号成立，但这两次等号不能同时成立，故最小值 32 取不到若采用整体代换，即可避免多次放缩，从而使问题获解正解：正解：xy1(xy)(416)(xy)20(4y16x)xyxy2024y16xxy36xy的最小值为 36，当x12，y24 时等号成立