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1、3、把下列命题改写成“若p,则q”的形式，并判断它们的真假.（1）等腰三角形两腰的中线相等；）等腰三角形两腰的中线相等；（2）偶函数的图象关于）偶函数的图象关于y轴对称；轴对称；（3）垂直于同一个平面的两个平面平行。）垂直于同一个平面的两个平面平行。(1)若三角形是等腰三角形，则三角形两边上的中线相等。若三角形是等腰三角形，则三角形两边上的中线相等。这是真命题。这是真命题。(2)若函数是偶函数，则函数的图象关于若函数是偶函数，则函数的图象关于y轴对称，这是真轴对称，这是真命题。命题。(3)若两个平面垂直于同一平面，则这两个平面互相平行。若两个平面垂直于同一平面，则这两个平面互相平行。这是假命题
2、。这是假命题。命题及其关系命题及其关系1.1.2 四种命题下列四个命题中，命题下列四个命题中，命题(1)与命题与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么的条件和结论之间分别有什么关系？关系？1.若若f(x)是正弦函数，则是正弦函数，则f(x)是周期函数；是周期函数；2.若若f(x)是周期函数，则是周期函数，则f(x)是正弦函数；是正弦函数；3.若若f(x)不是正弦函数，则不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；不是周期函数；4.若若f(x)不是周期函数，则不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。不是正弦函数。观察命题观察命题(1)与命题与命题(2)的条件和结论之间的条件和结论之间分别有什么
3、关系？分别有什么关系？1.若若f(x)是正弦函数，则是正弦函数，则f(x)是周期函数；是周期函数；2.若若f(x)是周期函数，则是周期函数，则f(x)是正弦函数；是正弦函数；互逆命题互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题叫做互逆命题。结论和条件，这两个命题叫做互逆命题。原原 命命 题题：其中一个命题叫做原命题。：其中一个命题叫做原命题。逆逆 命命 题题：另一个命题叫做原命题的逆命题。：另一个命题叫做原命题的逆命题。pqqp即即 原命题原命题:若若p,则则q逆命题逆命题:若若q,则则p例如，命题例如，命题“同位角相等，两直线
4、平行同位角相等，两直线平行”的逆命题是的逆命题是“两两直线平行，同位角相等直线平行，同位角相等”。观察命题观察命题(1)与命题与命题(3)的条件和结论之间的条件和结论之间分别有什么关系？分别有什么关系？1.若若f(x)是正弦函数，则是正弦函数，则f(x)是周期函数；是周期函数；3. 若若f(x)不是正弦函数，则不是正弦函数，则f(x)不是周期函数不是周期函数.pqp 原命题原命题:若若p,则则qq 为书写简便为书写简便,常把条件常把条件p的否定和结论的否定和结论q的否定分别记作的否定分别记作 “p” “q” 否命题否命题:若若p,则则q 互否命题互否命题 原命题原命题 (原命题的原命题的)否命
5、题否命题例如，命题例如，命题“同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行”的否命的否命题是题是“同位角不相等，两直线不平行同位角不相等，两直线不平行”。观察命题观察命题(1)与命题与命题(4)的条件和结论的条件和结论之间分别有什么关系？之间分别有什么关系？1.若若f(x)是正弦函数，则是正弦函数，则f(x)是周期函数；是周期函数；4. 若若f(x)不是周期函数，则不是周期函数，则f(x)不是正弦函数不是正弦函数.pqq 原命题原命题: 若若p, 则则qp逆否命题逆否命题: 若若q, 则则p 互为逆否命题互为逆否命题 原命题原命题 (原命题的原命题的)逆否命题逆否命题例如，命题例如，命题“同位
6、角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行”的逆否的逆否命题是命题是“两直线不平行，同位角不相等两直线不平行，同位角不相等”。、互否命题：互否命题：如果第一个命题的条件和结论是第二个命题如果第一个命题的条件和结论是第二个命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题互否命题。如果。如果把其中一个命题叫做把其中一个命题叫做原命题原命题，那么另一个叫做，那么另一个叫做原命题的否命原命题的否命题题。、互为逆否命题：互为逆否命题：如果第一个命题的条件和结论分别是第如果第一个命题的条件和结论分别是第二个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做二个命题的结论
7、的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题互为逆否命题。、互逆命题：互逆命题：如果第一个命题的条件（或题设）是第二个如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫么这两个命题叫互逆命题互逆命题。如果把其中一个命题叫做。如果把其中一个命题叫做原命题原命题，那么另一个叫做原命题的那么另一个叫做原命题的逆命题逆命题。三个概念三个概念原命题原命题, ,逆命题逆命题, ,否命题否命题, ,逆否命逆否命题题四种命题形式四种命题形式: : 原命题原命题: : 逆命题逆命题: : 否命题否命题
8、: : 逆否命题逆否命题: :若若 p, p, 则则 q q 若若 q q, , 则则 p p若若p p, , 则则q q若若q, q, 则则p p例例 设原命题是设原命题是“当当c 0 时，若时，若a b ，则，则ac bc ”，写出，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假：它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假：解：解： 逆命题：当逆命题：当c 0 时，若时，若ac bc ，则，则a b 逆命题为真逆命题为真否命题：当否命题：当c 0 时，若时，若a b ，则，则ac bc 否命题为真否命题为真逆否命题：当逆否命题：当c 0 时，若时，若ac bc ，则，则a
9、b 逆否命题为真逆否命题为真原结论原结论 反设词反设词 原结论原结论 反设词反设词 是是 至少有一个至少有一个 都是都是 至多有一个至多有一个 大于大于 至少有至少有n n个个 小于小于 至多有至多有n n个个 对所有对所有x,x,成立成立对任何对任何x x，不成立不成立 准准确确地地作作出出反反设设( (即即否否定定结结论论) )是是非非常常重重要要的的，下面是一些常见的结论的否定形式下面是一些常见的结论的否定形式. . 不是不是不都是不都是小于或等于小于或等于大于或等于大于或等于一个也没有一个也没有至少有两个至少有两个至多有（至多有（n-1)个个至少有（至少有（n+1)个个存在某存在某x，
10、不成立不成立存在某存在某x， 成立成立练习：分别写出下列命题的逆命题、否命练习：分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。题、逆否命题，并判断它们的真假。（1）若）若q1,则方程则方程 有实根。有实根。（2）若）若ab=0,则则a=0或或b=0.判断正误判断正误, ,并说明理由并说明理由: :(1)(1)若原命题是若原命题是“对顶角相等对顶角相等”, , 它的否命题是它的否命题是“对顶角不相等对顶角不相等”。(2)(2)若原命题是若原命题是“对顶角相等对顶角相等”, , 它的否命题是它的否命题是“不成对顶关系的不成对顶关系的 两个角不相等两个角不相等”。否命题与命题的否定否
11、命题与命题的否定的区别的区别l否命题否命题是用是用否定条件也否定结论否定条件也否定结论的方式的方式构成新命题。构成新命题。l命题的否定命题的否定是逻辑联结词是逻辑联结词“非非”作用于作用于判断判断, ,只否定结论不否定条件只否定结论不否定条件。l对于原命题对于原命题: : 若若 p , p , 则则 q q 有有 否命题否命题: : 若若p , p , 则则q q 。 命题的否定命题的否定: : 若若 p p ，则则q q 。原命题原命题若若p 则则q逆命题逆命题 若若q 则则p 否命题否命题若若 则则 逆否命题逆否命题 若若 则则 互互 逆逆互互 逆逆互互 否否互互 否否互为互为 逆否逆否互
12、为互为 逆否逆否四种命题之间的相互关系四种命题之间的相互关系四种命题间的相互关系四种命题间的相互关系例例1 “1 “若若x x2 2+y+y2 200，则，则x x，y y至少有一个不为至少有一个不为0 0”是是命题命题A A的否命题，写出命题的否命题，写出命题A A及其逆命题、逆否命及其逆命题、逆否命题并判断它们的真假。题并判断它们的真假。解：解：命题命题A:A:若若x x2 2+y+y2 2=0=0，则，则x x，y y全都为全都为0 0； 逆命题：若逆命题：若x x，y y全都为全都为0 0，则，则x x2 2+y+y2 2=0=0； 逆否命题：若逆否命题：若x x，y y至少有一个不为
13、至少有一个不为0 0，则则x x2 2+y+y2 200。 四种命题的真假性是否也有一定的相四种命题的真假性是否也有一定的相互关系呢？互关系呢？真真真真真真探究一探究一原命题：原命题：到一个角的两边距离相等的点到一个角的两边距离相等的点, ,都在这个角的都在这个角的平分线上平分线上. .逆命题逆命题: :角的平分线上的点角的平分线上的点, ,到这个角的两边距离相到这个角的两边距离相等等. .否命题否命题: :到一个角的两边距离不相等的点到一个角的两边距离不相等的点, ,都不在这个都不在这个角的平分线上角的平分线上. .逆否命题逆否命题: :不在这个角的平分线上的点不在这个角的平分线上的点, ,
14、到这个角的两到这个角的两边距离不相等边距离不相等. .原命题原命题原命题原命题 ( (真真) ) 逆命题逆命题逆命题逆命题 ( (真真) ) 否命题否命题否命题否命题 ( (真真) ) 逆否命题逆否命题逆否命题逆否命题 ( (真真) )真真真真真真真真探究二探究二原命题：原命题：若两个三角形全等若两个三角形全等, ,则它们的面积相等则它们的面积相等. .逆命题逆命题: :若两个三角形的面积相等若两个三角形的面积相等, ,则它们全等则它们全等. .否命题否命题: :若两个三角形不全等若两个三角形不全等, ,则它们的面积不相等则它们的面积不相等. .逆否命题逆否命题: :若两个三角形的面积不相等若
15、两个三角形的面积不相等, ,则它们不全则它们不全等等. .原命题原命题 ( (真真) ) 逆命题逆命题 ( (假假) ) 否命题否命题 ( (假假) ) 逆否命题逆否命题 ( (真真) )真真真真假假假假探究三探究三原命题：原命题：若两个角相等，则这两个角是对顶角若两个角相等，则这两个角是对顶角逆命题逆命题: : 若两个角是若两个角是对顶角，则这两个角相等对顶角，则这两个角相等. .否命题否命题: : 若两个角不相等，则这两个角不是对顶角若两个角不相等，则这两个角不是对顶角.逆否命题逆否命题: : 若若两个角不是对顶角，则两个角不相等两个角不是对顶角，则两个角不相等. .原命题原命题 ( (假
16、假) ) 逆命题逆命题逆命题逆命题 ( (真真) ) 否命题否命题 ( (真真) ) 逆否命题逆否命题逆否命题逆否命题 ( (假假) ) 假假假假真真真真探究四探究四原命题：原命题：凡是素数，都是奇数凡是素数，都是奇数. .逆命题逆命题: : 凡是奇数，都是素数凡是奇数，都是素数. .否命题否命题: : 不是素数，就不是奇数不是素数，就不是奇数. .逆否命题逆否命题: : 不是奇数，就不是素数不是奇数，就不是素数. .原命题原命题 ( (假假) ) 逆命题逆命题逆命题逆命题 ( (假假) ) 否命题否命题 ( (假假) ) 逆否命题逆否命题逆否命题逆否命题 ( (假假) ) 假假假假假假假假一
17、般的，四种命题的真假性，一般的，四种命题的真假性，有且仅有有且仅有以下以下四种情况：四种情况：原命题原命题逆命题逆命题否命题否命题逆否命题逆否命题真真真真真真真真真真假假假假真真假假真真真真假假假假假假假假假假l 四种命题的真假性之间的关系：四种命题的真假性之间的关系：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆或互否命题两个命题为互逆或互否命题，它们的真假性没有关系它们的真假性没有关系. .例例2 2 证明：若证明：若x x2 2+y+y2 2=0=0，则，则x=y=0.x=y=0.证明：若证明：若x x，y y中至少有一个不为中至少有一
18、个不为0 0，不妨设，不妨设x0x0，则，则x x2 20 0，所以，所以x x2 2+y+y2 2 0 0， 也就是说也就是说x x2 2+y+y2 2 0.0. 因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为 真命题真命题l因为原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以当因为原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以当直接证明某一命题为真命题有困难的时，可以直接证明某一命题为真命题有困难的时，可以通过证明通过证明它的逆否命题为真命题，来间接证明原命题为真命题。它的逆否命题为真命题，来间接证明原命题为真命题。P8 习题习题1.1 B组组 求证：圆的两条不
19、是直径的相交弦不能平分。求证：圆的两条不是直径的相交弦不能平分。已知：如图，在已知：如图，在O O中，弦中，弦ABAB、CDCD交于交于P P，且，且ABAB、CDCD不不是直径是直径. .求证：弦求证：弦ABAB、CDCD不被不被P P平分平分. .证明：证明：假设假设ABAB、CDCD被被P P平分平分， 则则OPOP是等腰是等腰AOB, AOB, CODCOD的底边上的中线，的底边上的中线， 所以，所以，OPOP AB, OPAB, OP CDCD 但但ABAB和和CDCD都经过点都经过点P,P,且与且与OPOP 垂直，这是不可能的，垂直，这是不可能的， 所以假设不成立，所以假设不成立，
20、 故弦故弦ABAB、CDCD不被不被P P平分，平分， 命题得证。命题得证。连结连结OA,OB,OC,ODOA,OB,OC,OD及及OP,OP,反证法反证法l欲证欲证“若若p p则则q”q”为真命题，从否定其结论即为真命题，从否定其结论即“非非q”q”出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而“非非q”q”为假，即原命题为真，这样的证明方法称为为假，即原命题为真，这样的证明方法称为反证法反证法。l反证法的步骤：反证法的步骤：(1)(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；(2)(2)从这个假设出发，通过推理论
21、证，得出从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾矛盾；(3)(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确证明命题的方法证明命题的方法l方法一：方法一：直接法，直接法，从命题的条件从命题的条件p p出发，经出发，经推理直接得出结论推理直接得出结论p p，证明其为真命题；，证明其为真命题；l方法二：方法二：等价法，等价法，证明命题（若证明命题（若p p，则，则q q）的）的等价命题等价命题逆否命题（若逆否命题（若q q，则，则q q）为）为真，则原命题也为真；真，则原命题也为真；l方法三：方法三：反证法，反证法，证明证明命题的否定（若命题的否定（若p
22、 p，则，则q q）为假命题，从而间接地证明了命为假命题，从而间接地证明了命题（若题（若p p，则，则q q）为真命题。）为真命题。巩固练习巩固练习 证明：证明：若若p pq q2 2，则，则p p2 2q q2 22.2.证明一：要证证明一：要证“若若p pq q2 2，则，则p p2 2q q2 22”2” 只需证它的只需证它的逆否命题逆否命题“若若p p2 2q q2 22 2，则，则p pq2q2”成立。成立。 p p2 2q q2 2=2=2，则，则2=p2=p2 2q q2 22pq pq12pq pq1 （p+qp+q）2 2 =p=p2 2q q2 2+2pq=2+2pq 4+
23、2pq=2+2pq 4 p+q 2 p+q 2 逆否命题为真命题，逆否命题为真命题， 故原命题也为真命题。故原命题也为真命题。 证明二：证明二：假设假设p p2 2q q2 2=2=2，则则2=p2=p2 2q q2 22pq pq12pq pq1 （p+qp+q）2 2 =p=p2 2q q2 2+2pq=2+2pq 4+2pq=2+2pq 4 p+q 2 p+q 2，这与命题的条件，这与命题的条件p pq q2 2相矛盾，相矛盾， 假设不成立，即假设不成立，即p p2 2q q2 222， 故原命题为真命题。故原命题为真命题。（同题多解，学会等价法与反证法地灵活应用）（同题多解，学会等价法
24、与反证法地灵活应用）原词语原词语 否定词否定词 原词语原词语 否定词否定词 等于等于任意的任意的是是 至少有一个至少有一个 都是都是 至多有一个至多有一个 大于大于 至少有至少有n n个个 小于小于 至多有至多有n n个个 一些常见的结论的否定形式一些常见的结论的否定形式 不是不是不都是不都是小于或等于小于或等于大于或等于大于或等于一个也没有一个也没有至少有两个至少有两个至多有（至多有（n-1)个个至少有（至少有（n+1)个个不等于不等于某个某个小结小结1.四种命题间的相互关系；四种命题间的相互关系；2.四种命题的真假性之间的关系；四种命题的真假性之间的关系；3.3.命题的证明方法。命题的证明方法。
