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1、函数1. 映射定义： 设 A， B 是两个非空集合， 如果按照某种对应法则 f， 对集合 A 中任一元素 x，在集合 B 中有唯一元素 y 与之对应，则称 f 是从集合 A 到集合 B 的映射。这时，称 y 是 x在映射 f 的作用下的象记作 f（x）。x 称作 y 的原象。2.函数定义：函数就是定义在非空数集A，B 上的映射，此时称数集A 为定义域，象集C=f(x)|xA为值域。定义域，对应法则，值域构成了函数的三要素3.求函数的定义域常涉及到的依据为分母不为 0；y 1x 1偶次根式中被开方数不小于0；y 1 2x x实际问题要考虑实际意义零指数幂的底数不等于零；对数的真数大于 0，底数大
2、于零且不等于 1；注意同一表达式中的两变量的取值范围是否相互影响4.函数值域：32xx 3y 5 xy 5、函数图像变换知识平移变换：形如：y=f(x+a)：把函数 y=f(x)的图象沿轴方向向左或向右平移a个单位，就得到 y=f(x+a)的图象。形如：y=f(x)+a：把函数y=f(x)的图象沿轴方向向上或向下平移a个单位，就得到y=f(x)+a 的图象.对称变换y=f(x) y=f(x),关于轴对称y=f(x) y=f(x) ,关于轴对称.翻折变换y=f(x)y=f|x|,(左折变换)把轴右边的图象保留，然后将轴右边部分关于轴对称y=f(x)y=|f(x)|（上折变换）把轴上方的图象保留，
3、轴下方的图象关于轴对称在第一象限内，底数越大，图像（逆时针方向）越靠近y 轴。6 函数的表示方法列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法图像法：如果图形F是函数y f (x)的图像，则图像上的任意点的坐标满足函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图像上.这种由图形表示函数的方法叫做图像法.如果在函数y f (x) (x A)中，f (x)是用代数式来表达的，这种方法叫做解析法7分段函数在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。8 函数单调性及证明方法:增函数：一般地 ,设函数 f(x)的定义域为 D,如果对于定义
4、域 D 内的某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2 , 当 x1x2 时,都有 f(x1) f(x2), 那么就说 f(x)在这个区间上是增函数。此区间就叫做函数f(x)的单调增区间。减函数：一般地 ,设函数 f(x)的定义域为 D,如果对于定义域 D 内的某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2 , 当 x1 f(x2), 那么就说 f(x)在这个区间上是减函数。此区间叫做函数f(x)的单调减区间。证明方法第一步：设 x1、x2 是给定区间内的两个任意的值，且x10,b0,这时此函数的图象经过第一、二、三象限。当 k0,b0,这时此函数的图象经过第一、三、四象限。当 k0,这时此函数的图象
5、经过第一、二、四象限。当 k0,b0 时，函数为增函数当 k0 时，函数为减函数。（2）二次函数函数y ax bx c(a 0)叫做二次函数，定义域为Ra 决定抛物线的开口方向和大小。 当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。定点坐标：（-b/2a，(4ac-b2)/4a ） ；抛物线与 x 轴交点个数：= b2-4ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点。= b2-4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点。 = b2-4ac 0 时，抛物线与 x 轴没有交点。11待定系数法定义：一
6、般地，在求一个函数时， 如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写成为2一般的形式，其中系数为待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数， 这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法。一般过程：首先确定所求问题含待定系数的解析式；其次根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程； . 最后解方程或消去待定系数。12、函数与方程函数的思想：函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系， 建立函数关系或构造函数， 运用函数的图像和性质去分析问题、 转化问题， 从而使问题获得解决。方程的思想：方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通
7、过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系；零点：对于函数 y=f()，使得 f()=0 的实数叫做函数f(x)的零点 .。基本初等函数1 根式的概念：（1）定义：若一个数的n次方等于a(n 1,且n N )，则这个数称a的n次方根。即n若x a，则x称a的n次方根n 1且n N )，1）当n为奇数时，a的n次方根记作na；2）当n为偶数时，负数a没有n次方根，而正数a有两个n次方根且互为相反数，记作na(a 0)。n（2）性质：(na) a；当n为奇数时，nan a；当n为偶数时，na | a |2、幂的有关概念1、规定：a
8、 aaa(nN N*；n 个0a 1(a 0)；na(a 0)。a(a 0)aap1，(pQ Q）pamnnam(a 0,m、nN N*且n 1)。srs2、性质：a a a(a ) arrsr(a 0,r、sQ Q） ；rs(a 0,r、sQ Q） ；r(ab) a b (a 0,b 0,r Q Q） 。（注）上述性质对 r、sR R 均适用。3对数的概念（1）定义：如果a(a 0,且a 1)的 b 次幂等于 N，就是a N，那么数b称以a为底 N 的对数，记作logaN b,其中a称对数的底，N 称真数。以 10 为底的对数称常用对数，log10N记作lgN；br以无理数e(e 2.718
9、28)为底的对数称自然对数，logeN，记作lnN；（2）基本性质：真数 N 为正数（负数和零无对数） ；loga1 0；logaa 1；4）对数恒等式：alogaN N。（3）运算性质：如果a 0,a 0,M 0,N 0,则loga(MN) logaM logaN；logaM logaM logaN；NnlogaM nlogaM(nR R） 。（4）换底公式：logaN logablogba 1；logamb nlogmN(a 0,a 0,m 0,m 1,N 0),logmanlogab。m4、指数函数（1）指数函数：定义：函数y a (a 0,且a 1)称指数函数，1）函数的定义域为 R
10、R；2）函数的值域为(0,)；3）当0 a 1时函数为减函数，当a 1时函数为增函数。函数图像：1）指数函数的图象都经过点（0，1） ，且图象都在第一、二象限；2）指数函数都以x轴为渐近线（当0 a 1时，图象向左无限接近x轴，当a 1时，图象向右无限接近x轴） ；x3）对于相同的a(a 0,且a 1)，函数y a 与y a函数值的变化特征：0 a 1x 0时0 y 1，x 0时y 1，x 0时y 16、对数函数：xx的图象关于y轴对称。a 1x 0时y 1，x 0时y 1，x 0时0 y 1，定义：函数y logax(a 0,且a 1)称对数函数，1）函数的定义域为(0,)；2）函数的值域为 R ；3）当0 a 1时函数为减函数，当a 1时函数为增函数；4）对数函数y logax与指数函数y a (a 0,且a 1)互为反函数。函数图像：1）对数函数的图象都经过点（0，1） ，且图象都在第一、四象限；2）对数函数都以y轴为渐近线（当0 a 1时，图象向上无限接近y轴；当a 1时，图象向下无限接近y轴） ；3）对于相同的a(a 0,且a 1)，函数y logax与y log1x的图象关于x轴对称。ax函数值的变化特征：0 a 1x 1时y 0，x 1时y 0，0 x 1时y 0.a 1x 1时y 0，x 1时y 0，x 0时0 y 1.
