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1、第七节 椭圆(二)内内 容容要要 求求A AB BC C中心在坐标原点的椭圆的中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质标准方程与几何性质 三年三年3 3考考 高考指数高考指数:1.1.椭圆的第二定义椭圆的第二定义第二定义第二定义焦半径焦半径准线方程准线方程通径通径左焦半径左焦半径| |MFMF1 1|=|=a a+ +exex0 0, ,上焦半径上焦半径| |MFMF2 2|=|=a a- -eyey0 0, ,x=x=过焦点垂直于长轴的弦叫通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径, ,其长为其长为 . .平面内当点平面内当点M M 与一个定点的距离和它到一条与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是
2、常数定直线的距离的比是常数e e(0(0e e1)0,-1)0,即即0t0t2 25.b0)C: (ab0)的左顶点，右焦点分的左顶点，右焦点分别为别为A,FA,F，右准线为，右准线为m.m.圆圆D D：x x2 2+y+y2 2+x-3y-2=0.+x-3y-2=0.若圆若圆D D过过A,FA,F两点，求椭圆两点，求椭圆C C的方程；的方程；若直线若直线m m上不存在点上不存在点Q Q，使，使AFQAFQ为等腰三角形，求椭圆离心率为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围的取值范围. .【解题指南解题指南】(1)(1)由由 可得出可得出MFMF1 1MFMF2 2，又点，又点M M总在总在椭圆内部
3、，由此可建立不等式找出椭圆内部，由此可建立不等式找出a,ca,c的关系，求得的关系，求得e e的范围的范围. .(2)(2)确定确定A A、F F点的坐标点的坐标 a,ca,c b b 方程；方程；由由AFQAFQ不可为等腰三角形不可为等腰三角形 |FK|(K|FK|(K为为m m与与x x轴的交点轴的交点)| |FA|FA| a,ca,c的不等式的不等式 e e的不等式的不等式 e e的范围的范围. .【规范解答规范解答】(1) MF(1) MF1 1MFMF2 2. .点点M M在以在以O O为圆心，以为圆心，以c c为半径的圆上，为半径的圆上，点点M M总在椭圆内部，总在椭圆内部，cb.
4、c2c2c2 2, , 又又e0,e0,答案：答案：(2)(2)圆圆x x2 2+y+y2 2+x-3y-2=0+x-3y-2=0与与x x轴的交点坐标为轴的交点坐标为A(-2,0)A(-2,0)，F(1,0)F(1,0)，故故a=2,c=1a=2,c=1，所以，所以 所以椭圆所以椭圆C C的方程是：的方程是：设直线设直线m m与与x x轴的交点是轴的交点是K K，依题意，依题意|FK|FA|FK|FA|，即即2e2e2 2+e-10+e-10，解得，解得0e .0e .【反思反思感悟感悟】在例在例(1)(1)中，由向量中，由向量 作为突破口，作为突破口，得到得到M M点的轨迹，由此条件以及点
5、的轨迹，由此条件以及M M点的位置关系建立不等式，点的位置关系建立不等式，在解析几何中，与向量综合时可能出现的情况可有如下情形：在解析几何中，与向量综合时可能出现的情况可有如下情形：(1)(1)给出给出 等于已知等于已知A A是是BCBC中点；中点；(2)(2)给出以下情形之一：给出以下情形之一： 存在实数存在实数,使使 若存在实数若存在实数, ,且且+=1,=1,使使 等于已知等于已知A,B,CA,B,C三点共线三点共线. .(3)(3)给出给出或给出或给出即已知即已知MAMB,MAMB,即即AMBAMB是直角是直角, ,给出给出 =m0,=m0,=m0,等于已知等于已知AMBAMB是锐角或
6、是锐角或0 0角角. . 椭圆中的定值问题椭圆中的定值问题【方法点睛方法点睛】解决有关椭圆中的定值问题的策略解决有关椭圆中的定值问题的策略(1)(1)由于定点、定值是变化中的不变量，引进参数表述这些量，由于定点、定值是变化中的不变量，引进参数表述这些量，不变的量就是与参数无关的量，通过研究何时变化的量与参数无不变的量就是与参数无关的量，通过研究何时变化的量与参数无关，找到定点或定值的方法叫做参数法，其解题的关键是选择合关，找到定点或定值的方法叫做参数法，其解题的关键是选择合适的参数表示变化的量适的参数表示变化的量. .(2)(2)当要解决动直线过定点问题时，可以根据确定直线的条件建立当要解决动
7、直线过定点问题时，可以根据确定直线的条件建立直线系方程，通过该直线过定点所满足的条件确定所要求的定点直线系方程，通过该直线过定点所满足的条件确定所要求的定点坐标坐标. . 【例例2 2】已知椭圆已知椭圆 (ab0)(ab0)的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为F F1 1、F F2 2，短轴两个端点为，短轴两个端点为A A，B,B,且四边形且四边形F F1 1AFAF2 2B B是边长为是边长为2 2的正方形的正方形. .(1)(1)求椭圆方程；求椭圆方程；(2)(2)若若C C、D D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M M满足满足MDCDMDCD，连结连结CM
8、CM，交椭圆于点，交椭圆于点P.P.证明：证明： 为定值；为定值；(3)(3)在在(2)(2)的条件下，试问的条件下，试问x x轴上是否存在异于点轴上是否存在异于点C C的定点的定点Q Q，使得，使得以以MPMP为直径的圆恒过直线为直径的圆恒过直线DP,MQDP,MQ的交点，若存在，求出点的交点，若存在，求出点Q Q的坐标；的坐标；若不存在，请说明理由若不存在，请说明理由. .【解题指南解题指南】(1)(1)由已知得：由已知得：a=2,b=ca=2,b=c，从而可求出，从而可求出a,ba,b得椭圆得椭圆方程方程. .(2)(2)设参数，想法把已知条件表达出来，把所求的表达出来，设参数，想法把已
9、知条件表达出来，把所求的表达出来，通过减元化为与参数无关的定值即可通过减元化为与参数无关的定值即可. .(3)(3)假设存在假设存在Q Q的坐标为的坐标为Q(m,0)Q(m,0)，由，由MQDPMQDP列出列出m m的方程，然后转的方程，然后转化为此方程是否有解的问题化为此方程是否有解的问题. .【规范解答规范解答】(1)a=2(1)a=2，b=cb=c，a a2 2=b=b2 2+c+c2 2,b,b2 2=2,=2,椭圆方程为椭圆方程为 =1.=1.(2)C(-2,0)(2)C(-2,0)，D(2,0),D(2,0),设设M(2,yM(2,y0 0) )，P(xP(x1 1,y,y1 1)
10、 )，则则 =(x=(x1 1,y,y1 1), =(2,y), =(2,y0 0).).直线直线CMCM： 即即 代入椭圆代入椭圆x x2 2+2y+2y2 2=4=4得得 ( (定值定值).).(3)(3)设存在设存在Q(m,0)Q(m,0)满足条件，则满足条件，则MQDP.MQDP. =(m-2,-y =(m-2,-y0 0) )，则由则由 得得从而得从而得m=0.m=0.存在存在Q(0,0)Q(0,0)满足条件满足条件. .【反思反思感悟感悟】在在(1)(1)中，要确定椭圆的标准方程，已经明确焦中，要确定椭圆的标准方程，已经明确焦点的位置，即在本小题中要想求方程式，关键是确定点的位置，
11、即在本小题中要想求方程式，关键是确定a,b.a,b.在在(2)(2)中要证明中要证明 是定值，最关键的是通过所求的已知量是定值，最关键的是通过所求的已知量明确表达出明确表达出 的坐标即可验证的坐标即可验证. . 直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系【方法点睛方法点睛】1.1.直线与椭圆位置关系的判断直线与椭圆位置关系的判断将直线的方程和椭圆的方程联立，通过讨论此方程组的实数解将直线的方程和椭圆的方程联立，通过讨论此方程组的实数解的组数来确定，即用消元后的关于的组数来确定，即用消元后的关于x(x(或或y)y)的一元二次方程的判的一元二次方程的判别式别式的符号确定：的符号确定：(1)(1)当当
12、00时，直线与椭圆相交；时，直线与椭圆相交；(2)(2)当当=0=0时，直线与椭圆相切；时，直线与椭圆相切；(3)(3)当当0b0)G: (ab0)的离心的离心率为率为 ，右焦点为，右焦点为( 0)( 0)，斜率为，斜率为1 1的直线的直线l与椭圆与椭圆G G交于交于A,BA,B两两点，以点，以ABAB为底边作等腰为底边作等腰PABPAB，顶点为，顶点为P(-3,2).P(-3,2).(1)(1)求椭圆求椭圆G G的方程；的方程；(2)(2)求求PABPAB的面积的面积. .【解题指南解题指南】(1)(1)利用利用a,b,ca,b,c的关系及离心率求出的关系及离心率求出a,ba,b，代入标准，
13、代入标准方程；方程；(2)(2)联立直线方程与椭圆方程，然后利用根与系数的关系，设而联立直线方程与椭圆方程，然后利用根与系数的关系，设而不求，整体代入不求，整体代入. .【规范解答规范解答】(1)(1)由已知得由已知得c=c=解得解得又又b b2 2=a=a2 2-c-c2 2=4=4，所以椭圆，所以椭圆G G的方程为的方程为(2)(2)设直线设直线l的方程为的方程为y=y=x+mx+m，由，由 得，得，4x4x2 2+6mx+3m+6mx+3m2 2-12=0 -12=0 不妨设不妨设A,BA,B的坐标分别为的坐标分别为(x(x1 1,y,y1 1),(x),(x2 2,y,y2 2)(x)
14、(x1 1x0k0，求证：，求证：PAPB.PAPB.【解题指南解题指南】本题考查的是直线与椭圆的位置关系，解决本题的本题考查的是直线与椭圆的位置关系，解决本题的关键是联立方程结合已知进行转化求解关键是联立方程结合已知进行转化求解. .【规范解答规范解答】(1)(1)由题意知，由题意知，a=2,b= a=2,b= ，故，故M(-2,0),N(0,- ).M(-2,0),N(0,- ).所以线段所以线段MNMN的中点的坐标为的中点的坐标为(-1,- )(-1,- )，由于直线，由于直线PAPA平分线段平分线段MNMN，故直线故直线PAPA过线段过线段MNMN的中点，又直线的中点，又直线PAPA过
15、坐标原点，所以过坐标原点，所以 4 4分分(2)(2)直线直线PAPA的方程为的方程为y=2xy=2x，代入椭圆方程得，代入椭圆方程得 解得解得x=x= ，因此，因此P( ),A(- ),P( ),A(- ),于是于是C( ,0),C( ,0),直线直线ACAC的斜率为的斜率为所以直线所以直线ABAB的方程为的方程为 ，8 8分分因此因此 1010分分(3)(3)设设P(xP(x1 1,y,y1 1) )，B(xB(x2 2,y,y2 2),),则则x x1 10,x0,x2 20,x0,x1 1xx2 2，A(-xA(-x1 1,-y,-y1 1),C(x),C(x1 1,0).,0).设直
16、线设直线PBPB，ABAB的斜率分别为的斜率分别为k k1 1,k,k2 2. .因为因为C C在在直线直线ABAB上，所以上，所以 从而从而因此因此k k1 1k=-1k=-1，所以，所以PAPB. PAPB. 1616分分【阅卷人点拨阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：得到以下失分警示和备考建议：失失分分警警示示解答本题时有两点容易造成失分解答本题时有两点容易造成失分: : (1)(1)解答第二问时，找不到解答第二问时，找不到ABAB的直线方程，其错误原因的直线方程，其错误原因是只看到了点是只看到了点A A
17、，而忽视了点，而忽视了点C C在直线在直线ABAB上这一条件；上这一条件；(2)(2)计算直线计算直线PAPA、PBPB的斜率之积时，运算上出现错误的斜率之积时，运算上出现错误. .备备考考建建议议解决直线与椭圆的综合问题时，要注意以下几点：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意以下几点：(1)(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；椭圆的条件；(2)(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、
18、斜率、三角形的面积等问题形的面积等问题. .1.(20121.(2012连云港模拟连云港模拟) )已知圆已知圆O O：x x2 2+y+y2 2=2=2交交x x轴于轴于A A，B B两点，两点，曲线曲线C C是以是以ABAB为长轴，离心率为为长轴，离心率为 的椭圆，其左焦点为的椭圆，其左焦点为F F，若，若P P是圆是圆O O上一点，连结上一点，连结PFPF，过原点，过原点O O作直线作直线PFPF的垂线交椭圆的垂线交椭圆C C的左准线于点的左准线于点Q.Q.(1)(1)求椭圆求椭圆C C的标准方程；的标准方程；(2)(2)若点若点P P的坐标为的坐标为(1(1，1)1)，求证：直线，求证：
19、直线PQPQ与圆与圆O O相切；相切；(3)(3)试探究：当点试探究：当点P P在圆在圆O O上运动时上运动时( (不与不与A A，B B重合重合) )，直线，直线PQPQ与圆与圆O O是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由由. .【解析解析】(1)(1)因为因为a= ,e= ,a= ,e= ,所以所以c=1,c=1,则则b=1b=1，即椭圆，即椭圆C C的标准方程为的标准方程为(2)(2)因为因为P(1P(1，1)1)，所以，所以k kPFPF= = ，所以，所以k kOQOQ=-2=-2，所以直线，所以直线OQOQ的方
20、程的方程为为y=-2xy=-2x又椭圆的左准线方程为又椭圆的左准线方程为x=-2x=-2，所以点，所以点Q(-2Q(-2，4)4)所以所以k kPQPQ=-1=-1，又，又k kOPOP=1=1，所以所以k kOPOPk kPQPQ=-1=-1，即，即OPPQOPPQ，故直线故直线PQPQ与圆与圆O O相切相切. .(3)(3)当点当点P P在圆在圆O O上运动时上运动时( (不与不与A A，B B重合重合) )，直线，直线PQPQ与圆与圆O O保持相切保持相切. .证明：设证明：设P(xP(x0 0,y,y0 0)(x)(x0 01)1)，则，则y y0 02 2=2-x=2-x0 02 2
21、，所以所以所以直线所以直线OQOQ的方程为的方程为所以点所以点Q(-2Q(-2， ) )，所以所以又又 (x(x0 00),0),所以所以k kOPOPk kPQPQ=-1=-1，即，即OPPQOPPQ，当，当x x0 0=0=0时，即时，即P P运动到圆与运动到圆与y y轴的交轴的交点时，此时点时，此时P P点坐标是点坐标是(0(0， ) )，经验证，经验证，OPPQOPPQ也成立，故也成立，故直线直线PQPQ始终与圆始终与圆O O相切相切. .2.(20122.(2012徐州模拟徐州模拟) )如图，椭圆如图，椭圆 (ab0)(ab0)过点过点P(1P(1， ) )，其左、右焦点分别为其左、
22、右焦点分别为F F1 1，F F2 2，离心率，离心率e= e= ，M M，N N是椭圆右准线上的两个动是椭圆右准线上的两个动点，且点，且(1)(1)求椭圆的方程；求椭圆的方程；(2)(2)求求MNMN的最小值；的最小值；(3)(3)以以MNMN为直径的圆为直径的圆C C是否过定点？请证明你的结论是否过定点？请证明你的结论. .【解析解析】(1)e= ,(1)e= ,且过点且过点P(1P(1， ) )， 解得解得椭圆方程为椭圆方程为(2)(2)设点设点M(4,yM(4,y1 1),N(4,y),N(4,y2 2) )，则，则yy1 1y y2 2=-15,=-15,又又|MN|=|y|MN|=
23、|y2 2-y-y1 1| |MN|MN|的最小值为的最小值为(3)(3)圆心圆心C C的坐标为的坐标为(4, )(4, )，半径，半径r .r .圆圆C C的方程为的方程为整理得整理得:x:x2 2+y+y2 2-8x-(y-8x-(y1 1+y+y2 2)y+16+y)y+16+y1 1y y2 2=0.=0.yy1 1y y2 2=-15,x=-15,x2 2+y+y2 2-8x-(y-8x-(y1 1+y+y2 2)y+1=0)y+1=0令令y=0,y=0,得得x x2 2-8x+1=0-8x+1=0，圆圆C C过定点过定点( ( ，0).0).3.(20123.(2012无锡模拟无锡
24、模拟) )如图，已知椭圆如图，已知椭圆C C： (a )(a )的左右的左右焦点分别为焦点分别为F F1 1、F F2 2，点，点B B为椭圆与为椭圆与y y轴的正半轴的交点，点轴的正半轴的交点，点P P在第在第一象限内且在椭圆上，且一象限内且在椭圆上，且PFPF2 2与与x x轴垂直，轴垂直， =5.=5. (1)(1)求椭圆求椭圆C C的方程；的方程；(2)(2)设点设点B B关于直线关于直线l:y:y=-=-x+mx+m的对称点的对称点E(E(异于点异于点B)B)在椭圆在椭圆C C上，求上，求m m的值的值. .【解析解析】(1)PF(1)PF2 2与与x x轴垂直，轴垂直，可设可设P(c,nP(c,n).).又又 P(cP(c, ),F, ),F1 1(-c,0),(-c,0),cc2 2=a=a2 2-2-2，解得，解得a a2 2=4.=4.椭圆椭圆C C的方程为：的方程为：(2)(2)由题意知，由题意知，BEBEl，直线直线BEBE的方程：的方程：由由 得得x=0,x=0,或或E BEE BE中点为中点为代入代入y=-y=-x+mx+m得得
