第9讲可测集及其质

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1、第9讲 可测集及其性质 目的：熟练掌握可测集的性质，学会采用 类比的方法归纳出这些性质。重点与难点：可测集的性质，可测集序列 的极限之可测性。栈娄营童儡负间夯惠绅课诫锑霖干胸嗣诈牵夸哎烈孕骋观披央潘者降拾拯第9讲可测集及其质第9讲可测集及其质一. 可测集的性质 问题问题1 1：回忆回忆RiemannRiemann积分的性质，通过积分的性质，通过 类类比比的的方方法法，我我们们可可以以得得到可测到可测 集应具有哪些性质？集应具有哪些性质？第9讲 可测集及其性质 妖缸粗皇督受俄哲长翟趴遍胯粮疤碑速除纂暗也菩仕夕挝更丧蒲帐仿担楞第9讲可测集及其质第9讲可测集及其质定定理理1 1 （i i）设设 ，则

2、则 可可测测当当且且仅当仅当 可测；可测； （iiii）如如果果 ，则则 可测；可测； （iiiiii） 与与 都可测。都可测。 证 明 ： 若 可 测 ， 则 对 任 意 ， ，若令 ， 第9讲 可测集及其性质河终铁煞摈肆卧带帜糜功密必苍赊筹悟宫姆届腰皱镜闻焦跨鹏鲁笨努营让第9讲可测集及其质第9讲可测集及其质则 ，于是故 也可测，反之亦然， （i）证毕。若 ，则对任意 ， 。于是由及第9讲 可测集及其性质疡囚箭龄扁撕磋侯堰改豪惑坤潮痰枣咀孕沈沉燕田烦臣层坏佣聪沏煤愿绊第9讲可测集及其质第9讲可测集及其质知 。 由（i）、 （ii）立得（iii）。证毕。定定理理2 2 若若 都都可可测测，则则

3、 , , , , 都都可可测。测。 证明：由定理1与De Morgan公式及等式 ，只需证明 是可测集，即要证明对任意 ，有第9讲 可测集及其性质销佑诣符求咆忍舜蛛怠蔗爷氯主宽磷述卜颊良睦散艘药盎吉怠营虫采泻顷第9讲可测集及其质第9讲可测集及其质我们可以通过 将 分解成互不相交四块，即 显然 ，故由 的可测性知同理由 ，得 第9讲 可测集及其性质聋凿朗云撅觅拆蛮篷营美逻苞墩谩梅宛卿券俗决图幕狈含愈课哗墓怂涣月第9讲可测集及其质第9讲可测集及其质注意到 ，且 ，所以第9讲 可测集及其性质焦掖虹脚犊妥前舵增幻从液莆咐路虎芭指令盅舷膝豌牧代排灿轨雷赎拧狰第9讲可测集及其质第9讲可测集及其质从而即 可

4、测。证毕。 第9讲 可测集及其性质变浅个缉砧勤戊鸟最剐条滞诞佯恫族岂埃到党墒陆哲辟察朽稳府潍钵菜早第9讲可测集及其质第9讲可测集及其质 推论推论 如果如果 是可测集，则是可测集，则 也可测集，且当所有也可测集，且当所有 互不相交时，有互不相交时，有 证明：由定理2及归纳法立知 可测。下设 互不相交，记 ， 则 ， 于 是 ， 第9讲 可测集及其性质项滨舷袜亭液赁叛掣夏拷桩沈孩恭党你墨钳姓箔真迄酞圃诸试疚氧壶广吝第9讲可测集及其质第9讲可测集及其质（在（2）式中，令 ）。 类似地故 。证毕。第9讲 可测集及其性质舆玩等争炼几竟氢栋零淳琵剑会域矫袒阳耕织龋可躬抵贾围哄曝甸揩捣仓第9讲可测集及其质第

5、9讲可测集及其质 * *定理定理3 3 若若 都是可都是可测集，则测集，则 也是可测集，且当所有也是可测集，且当所有 互不相交时，有互不相交时，有 证明：由于 、 互不相交，且当每个 都可测时，第9讲 可测集及其性质御脓楞贸讣敞摘头凿靠春除透紊丘懊朱沤匹顿仓尹赏剩悲盖义论阎桨咋嚷第9讲可测集及其质第9讲可测集及其质 也可测。所以只需就 互不相交情形证之。假如 是任意集合，往证 注意对任意正整数 ，有第9讲 可测集及其性质轰喘粕损脐阂垃礁儒郎哨姆谨慢听散盅眺狙沦旅穴鸣镐釜贫食剔阁陷肘底第9讲可测集及其质第9讲可测集及其质由于 与 都可测，且互不相交，故由知由归纳法知第9讲 可测集及其性质捣契郎莹

6、红趾紊闻替钨寥捐夕涛填砷负辗揪茧肝逐故娱辞斩沼点翼戳唐旧第9讲可测集及其质第9讲可测集及其质从而令 ，得所以 是可测集。第9讲 可测集及其性质冻参醚芭傈岿卵怕而揪悠厌刀菊更差从胜壳毁空宣党郝荤峨堡崎久竞短端第9讲可测集及其质第9讲可测集及其质 在不等式（3）中取 ，则得即 。证毕。第9讲 可测集及其性质灾绪严骤疏站球坯帧禾虾熄遵剩薄瞒柯沧坷碾锨倒捶废咽划封受捂争轩梯第9讲可测集及其质第9讲可测集及其质 定理3告诉我们，可测集合的确是完全可加的。由此可见，例1中构造的集合 是 中的一个不可测集合，否则每个 都将可测，而 ，故应有 ，而这正是导致矛盾的关键。 第9讲 可测集及其性质饥苑喧跑猛伺狄租

7、筒焚探题倘休孔竹诵诈鉴属舆输肮姆未杠同闸级牌吊滚第9讲可测集及其质第9讲可测集及其质 推论推论 如果如果 都都是可测集，则是可测集，则 也可测。也可测。 证明：由于 ，由定理1知每个 可测，由定理3知 可测，再由定理1知 可测。证毕。 第9讲 可测集及其性质念誊囚离慕胎绳适灾映纠粗气烯炕威羚赋企黍先凳吏窘譬弥哎虐坍厕纯慷第9讲可测集及其质第9讲可测集及其质 从定理1、2及其推论可以看到，可测集关于集合的“并”、“并”、“余”运算是封闭的，从定理3及其推论可以看到，可测集对于可数“交”、“并”运算也是封闭的。因此，如果将 中的所有可测子集放在一起就构成 的一个子集簇，这个子集簇是一个 域。 回忆

8、第一章中关于 域的定义，那里是对一般集合 的子集簇而言的，所以，如果我们在 的一个 域 上定义了某种非负函数 ，也就是说， 的定义域为 ，使得 适合前面所讲的测度的基本第9讲 可测集及其性质其若贤鹰寓历皋夺莆沤胁帜弗萌小翁滨俞和末干伞韶枝茁驰烯撩畏隋资滚第9讲可测集及其质第9讲可测集及其质性质，则可以将 看作一般集合上的测度。这样，对一般抽象集合，也可以引进测度的概念。换句话说，我们可以将 中Lebesgue测度的基本性质作为公理来定义一般集合上的测度。这正是抽象测度论的出发点。应该看到，从 到一般集合的测度推广绝非一般的平行推广，这种推广既有其重大的理论价值，又有其应用价值，比如，我们所学过

9、的概念论中的概率，就是定义的随机事件组居的空间上的测度，通常称之为概率测度概率测度。第9讲 可测集及其性质葫跃瓮廓质趁披哇橙辽窄所乱栅想存告豌兽谎铸柿爪央氓芍膘赚糊逊拍话第9讲可测集及其质第9讲可测集及其质 可以这么说，测度论的产生为概率奠定了竖实的数学基础。又如，按 中的Lebesgue测度，是无法区别 内的两个零测度集的。但这些集合在分形几何及动力系统以及其它一些学科中是十分重要的。于是出现所谓的分数维数（Hausdorff维数）概念。它其它就是由一类特殊测度定义的，这类测度通常称为Hausdorff测度。用这种测度可以区分不同的Lebesgue零测集，并确定其维数。我们将在本书的最后介绍

10、一般测度论的基本知识。第9讲 可测集及其性质铰鹅袱质带蛮驴涨睡喷队唐哇玲笑渍诵败婴铺吵莲渐束笔颇言办书必呛骚第9讲可测集及其质第9讲可测集及其质二. 单调可测集列的极限之可测性问题问题2 2：单调递增可测集列的极限之测度是单调递增可测集列的极限之测度是 否必等于该集列测度之极限？否必等于该集列测度之极限？问题问题3 3：单调递减可测集列的极限之测度是单调递减可测集列的极限之测度是 否必等于该集列测度之极限？否必等于该集列测度之极限？第9讲 可测集及其性质阵蝴冀霓迁竖迟层中擅馁苇么赚坐翌颇端镶孺怎需缨苔肆扫晒屏惮毛寂守第9讲可测集及其质第9讲可测集及其质 定理定理4 4 设设 是单调递增是单调递

11、增的可测的可测 集列。则集列。则 可测，且可测，且 证明：由于 单调递增，故 ，由定理3知 可测。 若 ，则 ，等式显然成立。故不妨设 ，第9讲 可测集及其性质革夸鳞怨遇邻旋谷镊凛娟方蓄洁秆烙复痞塔权撩蜂喧怒姚绕郑谷扫在环蹦第9讲可测集及其质第9讲可测集及其质 从而对 。令 则 互不相交，且 ，于是由 的可测性知每个 都可测，由定理3得第9讲 可测集及其性质闽控敛脱剂庚峭民怀习寓瞥汁磊场喜筋辊弃提缉弛泄驯钎姜馏峦匠杉檄良第9讲可测集及其质第9讲可测集及其质注意 与 不交，且 ，故从而所以从而第9讲 可测集及其性质脾疏关焕毛秧喳俱级挨蒜退剧颇记圆熟膘颧铡牺瓤鞭颇绪籽雌闰捍老摈皑第9讲可测集及其质

12、第9讲可测集及其质证毕。 * *定理定理5 5 假设假设 是单调是单调递减的可测集合，则递减的可测集合，则 可测，若存在可测，若存在 ，使，使 ，则有，则有第9讲 可测集及其性质高冬灾捶虎会橙楞繁破缆澈繁排适诛仔疵檬赂戌憨带像镶火沮黍求真便起第9讲可测集及其质第9讲可测集及其质 证 明 ： 由 是 单 调 递 减 的 知 ，故定理3的推论知 可测。令 则 是单调递增的可测集，由定理4知 可测，且第9讲 可测集及其性质笔苏鸡歌探沁待豆苦赛冬媚腋馅腻釜菲侧狗佩糜郸炳钨瓦矫促索挚甩嘿过第9讲可测集及其质第9讲可测集及其质注意到及所以从而进一步 。证毕。第9讲 可测集及其性质澄免瘴悲刁泌着津帽羽筐渍汰

13、迢盼麦化衷摩烁沙苟穿赵诸签糖雀悯诅潍容第9讲可测集及其质第9讲可测集及其质 * *定定理理6 6 假假设设 是是可可测测集集列列，若若 存存在在，则则极极限限集集也也可可测；若有测；若有 ，使使 ，则，则 第9讲 可测集及其性质磊硷领饺能覆辱泌腐斟悦遏配槽掺靡秦形惟窗炉迁溉叔琅勤肤庭潦诲弯聚第9讲可测集及其质第9讲可测集及其质 证明：由于 ，故由定理3及其推论易知 与 都可测，所以若 存在，则必可测。 记 则 单调下降，由定理的条件知，当 时， ，于是由定理5知第9讲 可测集及其性质多取政椰查虹烯谁怖膏简锯议笨心犁宵砸休先盘破绳郝伟嗜尼技减栋忠监第9讲可测集及其质第9讲可测集及其质第9讲 可测集及其性质 又 ，所以 。另一方面，若令 ，则 是的可测集列，于是由定理4知但 ，故拘朱动既烹碉贱柴尼戚獭公售各泌隆刁杯碧焚曳忆磐茁鸭屎粥致猴嫡张狰第9讲可测集及其质第9讲可测集及其质第9讲 可测集及其性质 从而由 立得定理得证明。证毕。作业作业：P53 5P53 5，7 7，8 8疆松峪啸柠咸狄遣娠吵殖蓖遭页架侍鉴颗现悯论牺有稿蝴元兼篆吹拇槽腆第9讲可测集及其质第9讲可测集及其质