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1、文数课标版第三节合情推理与演绎推理类型定义特点归纳推理根据一类事物的部分对象具有某种性质,推出这类事物的全部对象都具有这种性质的推理由部分到整体、由个别到一般类比推理根据两类事物之间具有某些类似(或一致)性,推测一类事物具有另一类事物类似(或相同)的性质的推理由特殊到特殊1.合情推理合情推理教材研读教材研读2.演绎推理演绎推理(1)定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理称为演绎推理.简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理.(2)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:(i)大前提已知的一般原理;(ii)小前提所研究的特殊情况;(iii)结论根据一般原理,对特殊情况作出的判断.判断
2、下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正确.()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质,这是一种合情推理.()(3)演绎推理的结论一定是正确的.()(4)在演绎推理中,只要符合演绎推理的形式,结论就一定正确.()(5)“所有3的倍数都是9的倍数,某数m是3的倍数,则m一定是9的倍数”,这是三段论推理,其结论是正确的.()1.下面几种推理是合情推理的是()由圆的性质类比出球的有关性质;由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180,归纳出所有三角形的内角和都是180;某次考试张军的成绩是100分,由此推出全班同学成绩都是
3、100分;三角形的内角和是180,四边形的内角和是360,五边形的内角和是540,由此得出凸n(n3)边形的内角和是(n-2)180.A.B.C.D.答案答案C是类比推理,是归纳推理,不是合情推理.2.(1)已知a是三角形一边的长,h是该边上的高,则三角形的面积是ah,如果把扇形的弧长l,半径r分别看成三角形的底边长和高,可得到扇形的面积为lr;(2)由1=12,1+3=22,1+3+5=32,可得到1+3+5+2n-1=n2.(1)(2)两个推理过程分别属于()A.类比推理、归纳推理B.类比推理、演绎推理C.归纳推理、类比推理D.归纳推理、演绎推理答案答案A(1)三角形的性质与扇形的性质有相
4、似之处,此种推理为类比推理;(2)由特殊到一般,此种推理为归纳推理.故选A.3.“因为指数函数y=ax是增函数(大前提),又y=是指数函数(小前提),所以函数y=是增函数(结论)”,上面推理的错误在于()A.大前提错误导致结论错B.小前提错误导致结论错C.推理形式错误导致结论错D.大前提和小前提错误导致结论错答案答案A当a1时,y=ax为增函数;当0a0ab”类比推出“若a,bC,则a-b0ab”;由“若xR,则|x|1-1x1”类比推出“若zC,则|z|1-1z2,f(8),f(16)3,观察上述结果,可推测一般的结论为.(2)已知x(0,+),观察下列各式:x+2,x+=+3,x+=+4,
5、归纳得x+n+1(nN*),则a=.答案答案(1)f(2n)(nN*)(2)nn解析解析(1)f(21)=,f(22)2=,f(23),f(24),归纳得f(2n)(nN*).(2)第一个式子是n=1的情况,此时a=11=1;第二个式子是n=2的情况,此时a=22=4;第三个式子是n=3的情况,此时a=33=27,归纳可知a=nn.命题角度二与不等式有关的推理命题角度二与不等式有关的推理典例典例4(2016广东广州一模)以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算术一书中的“杨辉三角形”.该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个
6、数,则这个数为()A.201722015B.201722014C.201622015D.201622014命题角度三与数列有关的推理命题角度三与数列有关的推理答案答案B解析解析由题意知数表的每一行都是等差数列,且第一行数的公差为1,第二行数的公差为2,第三行数的公差为4,第2015行数的公差为22014,第1行的第一个数为22-1,第2行的第一个数为320,第3行的第一个数为421,第n行的第一个数为(n+1),第2016行只有一个数M,则M=(1+2016)22014=201722014.故选B.典例典例5下面图形由小正方形组成,请观察图1至图4的规律,依此规律,第n个图形中小正方形的个数是
7、(nN*).答案答案解析解析由题图可知第n个图形中小正方形的个数为1+2+3+n=.命题角度四与图形变化有关的推理命题角度四与图形变化有关的推理规律总结规律总结(1)归纳推理的一般步骤:通过对某些个体的观察、分析和比较,发现它们的相同性质或变化规律;由发现的相同性质或变化规律推出一个明确表达的一般性命题.(2)归纳是依据特殊现象推出一般现象,因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围.(3)归纳推理所得结论未必正确,有待进一步证明,但对数学结论和科学的发现很有用.2-1(2016湖北优质高中联考)如图所示,将若干个点摆成三角形图案,每条边(包括两个端点)有n(n1,nN)个点,相应的图案中总的
8、点数记为an,则+=()A.B.C.D.答案答案C每条边有n个点,所以3条边有3n个点,三角形的3个顶点重复计算了一次,所以减3个顶点,即an=3n-3,那么=-,即+=+=1-=,故选C.考点三演绎推理考点三演绎推理典例典例6数列an的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3,).求证:(1)数列是等比数列;(2)Sn+1=4an.证明证明(1)因为an+1=Sn+1-Sn,an+1=Sn,所以(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn).整理得nSn+1=2(n+1)Sn,所以=2,又0,0,=2.(小前提)故是以2为公比的等比数列.(结论)(2)由(1)知=4(n2),于是
9、Sn+1=4(n+1)=4Sn-1=4an(n2).又a2=3S1=3,故S2=a1+a2=4=4a1.因此对于任意正整数n1,都有Sn+1=4an.规律总结规律总结(1)演绎推理是从一般到特殊的推理,其一般形式是三段论,应用三段论解决问题时,应当首先明确什么是大前提和小前提,如果大前提是显然的,则可以省略,本题中,等比数列的定义在解题中是大前提,由于它是显然的,因此省略不写.(2)在推理论证过程中,一些复杂的证明题常常要利用几个三段论才能完成.3-1已知函数f(x)=(xR).(1)判断函数f(x)的奇偶性;(2)判断函数f(x)在R上的单调性,并证明.解析解析(1)因为f(-x)=-=-f(x),所以f(x)是奇函数.(2)f(x)在R上为单调递增函数.证明:任取实数x1,x2R,并且x1x2,则f(x1)-f(x2)=-=.因为x1x2,所以,所以-0,又+10,+10,所以0,所以f(x1)f(x2).所以f(x)在R上为单调递增函数.
