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1、 教师教师凡震彬凡震彬概概率率论论与与数数理理统统计计 扬州大学数学科学学院扬州大学数学科学学院2021/6/161序序 言言概率论与数理统计概率论与数理统计是研究什么的？是研究什么的？2021/6/162 引引 言言一一. .确定性现象与随机现象确定性现象与随机现象1.确定性现象确定性现象:在一定的条件下在一定的条件下, 现象的结果现象的结果只有一个只有一个,事先可以预言其结果的现象事先可以预言其结果的现象.如如: A. 在标准大气压条件下，温度达到在标准大气压条件下，温度达到100的纯水的纯水,一定会沸腾；一定会沸腾； B. 树上的苹果一旦成熟树上的苹果一旦成熟,一定会落到地上一定会落到地
2、上.2. 随机现象随机现象:在一定的条件下在一定的条件下, 现象的结果不现象的结果不止一个止一个,事先无法预言会出现哪一个结果的事先无法预言会出现哪一个结果的现象现象.如如:A. 抛一枚质地均匀的硬币，掷出哪一面？抛一枚质地均匀的硬币，掷出哪一面？2021/6/163 B. 抛一枚质地均匀的骰子抛一枚质地均匀的骰子,掷出哪一点？掷出哪一点？ 从表面上看，随机现象无规律可循从表面上看，随机现象无规律可循.但是如但是如果我们对随机现象进行大量试验，就可以发现果我们对随机现象进行大量试验，就可以发现其规律性其规律性.历史上曾有两位数学家对历史上曾有两位数学家对“抛掷硬抛掷硬币币”的随机现象经过试验的
3、随机现象经过试验,统计出其规律性统计出其规律性.总次数n出现正面次数/n法buffon404020480.5069英Pearson1200060190.5016英Pearson24000120120.50052021/6/164 从上表可知,随着试验次数的不断增加,出现正面与反面的次数差不多，即出现正面与反面的可能性大小一样,分别是1/2.这就是“掷硬币掷硬币”这一现象的内在规律性.二二.概率论的研究对象概率论的研究对象 概率论概率论是从数量上研究随机现象及其规律性的一门数学分支. 它是高等学校工科类，经济类专业的学生，应该学好的重要基础课程.它理论严谨, 应用广泛，发展迅速，是与实际问题比较
4、接近的数学课程. 希望大家把握学习方法，认真学习，把这门不易学好的课程学好.2021/6/165无序隐有序，无序隐有序，悟悟道道诗诗严加安（中科院院士）严加安（中科院院士）随机非随意，随机非随意，概率破玄机。概率破玄机。统计来解迷。统计来解迷。2021/6/166参考书：参考书：1.概率论同济大学 编 高等教育出版社3.概率论与数理统计(经管类） 吴赣昌编 中国人民大学出版社2021/6/1671 1.概率论基础及其应用概率论基础及其应用 王梓坤著 科学出版社 1976 年版 2.数理统计引论数理统计引论陈希儒著 科学出版社 1981年版国外有关经典著作国外有关经典著作 1.概率论的分析理论概
5、率论的分析理论 P.- S.拉普拉斯著 1812年版 2.统计学数学方法统计学数学方法 H. 克拉默著 1946年版概率论的最早著作概率论的最早著作数理统计最早著作数理统计最早著作2021/6/168概率论的起源概率论的起源概率论概率论 其起源于博弈问题其起源于博弈问题. .1616世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博中的一些问题；中的一些问题；1717世纪中叶，法国数学家世纪中叶，法国数学家B. B. 帕帕斯卡、荷兰数学家斯卡、荷兰数学家C. C. 惠更斯惠更斯 基于排列组合的方基于排列组合的方法，研究了较复杂法，研究了较复杂 的赌博问题，的赌博问题， 解决了
6、解决了“ “ 合合理理分配赌注问题分配赌注问题” ( ” ( 即得分问题即得分问题 ). ).2021/6/169得得 分分 问问 题题 甲、乙两人各出同样的赌注，用掷甲、乙两人各出同样的赌注，用掷硬币作为博奕手段硬币作为博奕手段 . 每掷一次，若正面朝每掷一次，若正面朝上，甲得上，甲得 1 分乙不得分分乙不得分. 反之，乙得反之，乙得1分，分，甲不得分甲不得分. 谁先得到规定分数就赢得全部谁先得到规定分数就赢得全部赌注赌注. 当进行到甲还差当进行到甲还差 2分乙还差分乙还差3分，就分，就分别达到规定分数时，发生了意外使赌局分别达到规定分数时，发生了意外使赌局不能进行下去不能进行下去，问如何公
7、平分配赌注？问如何公平分配赌注？11/16,5/162021/6/1610概率统计理论与方法的应用几乎遍及概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产和国民经所有科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中济的各个部门中. 例如例如 1. 气象、水文、地震预报、人口控制气象、水文、地震预报、人口控制及预测都与及预测都与概率论概率论紧密相关；紧密相关；2. 产品的抽样验收，新研制的药品能产品的抽样验收，新研制的药品能否在临床中应用，均要用到否在临床中应用，均要用到假设检验；假设检验；2021/6/16113. 寻求最佳生产方案要进行寻求最佳生产方案要进行实验设计实验设计和和数据
8、处理数据处理；4. 电子系统的设计电子系统的设计, 火箭卫星的研制及其火箭卫星的研制及其发射都离不开发射都离不开可靠性估计可靠性估计; 5. 处理通信问题处理通信问题, 需要研究需要研究信息论信息论；6. 探讨太阳黑子的变化规律时探讨太阳黑子的变化规律时,时间时间序列分析序列分析方法非常有用方法非常有用;7. 研究化学反应的时变率，要以研究化学反应的时变率，要以马尔马尔可夫过程可夫过程 来描述来描述;2021/6/16128. 生物学中研究生物学中研究 群体的增长问题时，群体的增长问题时，提出了生灭型提出了生灭型随机模型随机模型，传染病流传染病流行问题要用到多变量非线性行问题要用到多变量非线性
9、生灭过程生灭过程；9. 许多服务系统，如电话通信、船舶许多服务系统，如电话通信、船舶装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都可用一类概率模型来描述，其涉及到可用一类概率模型来描述，其涉及到 的知的知识就是识就是 排队论排队论.目前目前, 概率统计理论进入其他自然科学概率统计理论进入其他自然科学2021/6/1613领域的趋势还在不断发展领域的趋势还在不断发展. 在社会科学领在社会科学领领域领域 , 特别是特别是经济学经济学中研究最优决策和经中研究最优决策和经济的稳定增长等问题济的稳定增长等问
10、题 , 都大量采用都大量采用概率概率统计方法统计方法. 法国数学家拉普拉斯法国数学家拉普拉斯(Laplace)说说: “ 生活中最重要的问题生活中最重要的问题 , 其中绝大多其中绝大多数数在实质上只是概率的问题在实质上只是概率的问题.”英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾对对概率论概率论大加赞美：大加赞美：“ 概率论是生活真正概率论是生活真正的领路人的领路人, 如果没有对概率的某种估计如果没有对概率的某种估计, 那那么我们就寸步难行么我们就寸步难行, 无所作为无所作为.2021/6/1614第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率随机事件及其运算随机事件及其运
11、算概率的定义及古典概型概率的定义及古典概型概率的加法公式概率的加法公式概率的乘法公式与事件的独立性概率的乘法公式与事件的独立性全概率公式与全概率公式与BayesBayes公式公式n n重贝努利概型重贝努利概型2021/6/16151.1 随机事件及其运算随机事件及其运算一、随机试验与一、随机试验与样本空间样本空间 概率论的研究对象是随机现象概率论的研究对象是随机现象, ,而对随机现而对随机现象是通过试验来研究的象是通过试验来研究的. .1.随机试验对某事物特征进行观察对某事物特征进行观察, , 统称统称试验试验. .定义定义:若试验满足若试验满足1.1.可在相同的条件下重复进行可在相同的条件下
12、重复进行；2.2.试验的可能结果不止一个试验的可能结果不止一个, ,但事先能但事先能明确所有可能发生的结果；明确所有可能发生的结果；3. 3. 试验前不能预知出现哪种结果试验前不能预知出现哪种结果; ;2021/6/1616 称此试验为简单随机试验，简称称此试验为简单随机试验，简称随机试验。随机试验。常用常用T或或E来表示来表示.例例1.11.1 T1: 掷一枚质地均匀的硬币，观察其出掷一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面还是反面。现正面还是反面。例例1.2 1.2 T2: 掷一枚质地均匀的骰子，观察其出掷一枚质地均匀的骰子，观察其出现的点数。现的点数。例例1.3 1.3 T3: 记录某电话台一
13、小时内接到的电话呼记录某电话台一小时内接到的电话呼唤次数。唤次数。例例1.41.4 T4: 在一批灯泡中任取一只，测试某寿命。在一批灯泡中任取一只，测试某寿命。2021/6/16172.样本点与样本空间样本点: 试验的每一个可能发生的试验的每一个可能发生的结果称为一个样本点结果称为一个样本点, ,记为记为 . . 样本空间：随机试验的随机试验的所有可能结果所所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为组成的集合称为样本空间，记为。这里要说明的是： 样本点及样本点及样本空间只是特殊的元素与样本空间只是特殊的元素与集合而已集合而已. .2021/6/1618有限样本空间有限样本空间可数的无限样本空间
14、不可数的无限样本空间2021/6/1619样样本本空空间间有限样本空间有限样本空间无限样本空间无限样本空间可数样本空间可数样本空间不可数样本空间不可数样本空间2021/6/1620二、随机事件二、随机事件定义定义：把试验的结果称为事件，常用大写字母：把试验的结果称为事件，常用大写字母A，B，C来表示来表示.2021/6/1621例例1.2 T2: 掷一枚质地均匀的骰子，观察掷一枚质地均匀的骰子，观察其出现的点数。其出现的点数。事件：事件：A=“掷出掷出5点点”=5； B=“掷出奇数点掷出奇数点”=1，3，5； C=“掷出的点数不大于掷出的点数不大于3”=1，2 ，3 。例例1.3 T3: 记录
15、某电话台一小时内接到的电话呼记录某电话台一小时内接到的电话呼唤次数。唤次数。事件：事件：A=“一小时内接到的一小时内接到的10次呼唤次呼唤”=10； B=“一小时内接到的不少于一小时内接到的不少于100次呼唤次呼唤” =100 ， 101 ， 102 ， 。2021/6/1622 , ,而而 是由全体样本点组成集合是由全体样本点组成集合, ,它在它在一次试验中必然发生一次试验中必然发生, ,把把 称为称为必然事件必然事件同样同样,H= “,H= “掷出的点数小于掷出的点数小于10”= 10”= 注注3:3:因为因为 ，用，用 表示不可能事件。表示不可能事件。如如:T2: T2: 掷一枚质地均匀
16、的骰子，观察其出现掷一枚质地均匀的骰子，观察其出现的点数。的点数。 F = “= “掷出的点数小于掷出的点数小于0”= 0”= 2021/6/1623A 随机事件的关系和运算随机事件的关系和运算雷同集合的关系和运算雷同集合的关系和运算文氏图文氏图 ( Venn diagram ) 三、事件的关系和运算三、事件的关系和运算2021/6/1624(2)性质性质: (1)定义定义:若若 事件事件 A 发生必然导致事件发生必然导致事件 B 发生发生,则称则称A A 包含于包含于B,B,记为记为1. 1. 事件的事件的包含包含2. 事件的相等 A B 2021/6/1625或 (1)定义定义:把把“事件
17、事件 A与事件与事件B 至至 少有一个发少有一个发生生”的事件的事件,称为称为A A 与与B B 的和事件的和事件, ,记记的和事件的和事件(2):推广推广 3. 3. 事件的并事件的并( (和和) )“ 至少有一个发生至少有一个发生”“ 至少有一个发生至少有一个发生”的和事件的和事件2021/6/1626或AB(1)定义定义:把把“事件事件 A与事件与事件B 同时发生同时发生”的事件称为的事件称为A 与与B 的的积事件积事件,记为记为的积事件的积事件 的积事件的积事件 (4. 4. 事件的交事件的交( (积积) )ABAB(2)推广推广2021/6/1627(1)定义定义:A 与与B 互不相
18、容互不相容若若A、 B不可能同时发生不可能同时发生 即即 AB= AB两两互不相容两两互不相容(互不相容互不相容)两两互不相容两两互不相容(互不相容互不相容)5.5.互不相容互不相容关系关系 ( (互斥关系互斥关系) )(2)推广推广2021/6/1628(1)定义定义:若若A 与与B 满足满足A称称A 与与B 相互对立的相互对立的,并且把并且把B称为称为A 的对立的对立 事件事件,(2)性质性质6.6.对立关系对立关系注注:这里每次试验这里每次试验 A、 B中有且只有一个发生中有且只有一个发生2021/6/1629(1)定义：把定义：把“事件事件 A 发发生，但生，但 事件事件 B 不发生不
19、发生”的的事件，称为事件，称为A 与与B 的差事的差事件，记为件，记为AB7. 7. 事件的差事件的差S(a) A- -B = - -A(b)(2)性质性质2021/6/16308. 8. 完备事件组完备事件组若若 互不相容，互不相容，且且则称则称 为为完备事件完备事件组组.或称或称 为为 的一个划分的一个划分.2021/6/1631样本空间、必然事件不可能事件基本事件，样本点事件A事件A发生必然导致B发生事件A与B相等事件“A，B至少有一个发生”事件“A，B同时发生”A的对立事件或逆事件A,B事件互不相容(互斥)事件“A发生,B不发生”2021/6/1632四四. .事件运算的运算法则事件运
20、算的运算法则1、交换律：、交换律：ABBA，ABBA2、结合律、结合律：(AB)CA(BC) (AB)CA(BC)3、分配律、分配律：(AB)C(AC)(BC) (AB)C(AC)(BC)4、德摩根、德摩根(De Morgan)律律： 2021/6/1633例例1.5：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用分别表示甲、乙、丙命中目标，试用2021/6/1634(4)例例1.61.6 设一个工厂生产三个零件，记设一个工厂生产三个零件，记A=“A=“第一个第一个零件为正品零件为正品”， B=“ B=“第二个零件为正品
21、第二个零件为正品”， C=“ C=“第三个零件为正品第三个零件为正品”，试用事件，试用事件A,B,CA,B,C表示：表示：（1 1）没有一个零件为次品；）没有一个零件为次品；（2 2）只有）只有A A零件为次品；零件为次品；（3 3）恰一个零件为次品；）恰一个零件为次品；（4 4）至少有一个零件为次品）至少有一个零件为次品；解（解（1） ABC(2)(3)2021/6/1635总总 结结一、随机试验与样本空间一、随机试验与样本空间二、随机事件及运算二、随机事件及运算三三 、随机事件及运算法则、随机事件及运算法则2021/6/1636 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！
