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1、5 孤立孤立奇点奇点若若若若在在在在处处处处不不不不解析解析解析解析, , 但是在但是在但是在但是在的一个的一个的一个的一个去心邻域去心邻域去心邻域去心邻域内内内内解析解析,则则则则称为称为称为称为的的孤立孤立奇点奇点奇点奇点. .例如例如例如例如的的的的孤立孤立奇点奇点奇点奇点: :的的的的孤立孤立奇点奇点奇点奇点: :为整数为整数为整数为整数) )的的的的孤立孤立奇点为奇点为奇点为奇点为由由由由得得得得的的的的孤立孤立奇点奇点奇点奇点: :为整数为整数为整数为整数) )初等函数初等函数若若在在处处处处无定义无定义无定义无定义，但在但在内有定义，内有定义，内有定义，内有定义，内解析，内解析，
2、内解析，内解析，则则为为为为的的的的孤立孤立孤立孤立奇点奇点奇点奇点1孤立奇点的分类孤立奇点的分类孤立奇点的分类孤立奇点的分类: :在在在在内的内的内的内的洛朗级数洛朗级数洛朗级数洛朗级数负负幂项幂项幂项幂项，没有没有为为为为的的的的可去可去奇点奇点奇点奇点有有有有有限有限多个多个多个多个负负幂项幂项幂项幂项，为为为为的的的的极极点点点点负负幂项幂项幂项幂项，有有有有无穷无穷多个多个多个多个为为为为的的的的本性本性奇点奇点奇点奇点是是是是什么什么奇点奇点奇点奇点可去可去奇点奇点奇点奇点是是是是什么什么奇点奇点奇点奇点极极点点点点 是是是是什么什么奇点奇点奇点奇点本性本性奇点奇点奇点奇点2例如例
3、如例如例如是是是是什么什么奇点奇点奇点奇点可去可去奇点奇点奇点奇点是是是是什么什么奇点奇点奇点奇点极极点点点点 是是是是什么什么奇点奇点奇点奇点本性本性奇点奇点奇点奇点是是是是什么什么奇点奇点奇点奇点本性本性奇点奇点奇点奇点3可去可去奇点奇点一、一、一、一、若若在在在在内内内内的洛朗级数的洛朗级数的洛朗级数的洛朗级数负负幂项幂项幂项幂项，没有没有则则为为为为的的的的可去可去奇点。奇点。奇点。奇点。例如例如例如例如是是是是可去可去奇点奇点奇点奇点定理定理定理定理4.244.24存在。存在。存在。存在。为为为为的的的的可去可去可去可去奇点奇点奇点奇点是是是是可去可去奇点奇点奇点奇点7272页页页页
4、11(11)11(11)4极点极点二、二、二、二、若若在在在在内内内内的洛朗级数的洛朗级数的洛朗级数的洛朗级数负负幂项幂项幂项幂项，有有有有有限有限多个多个多个多个则则为为为为的的的的极点极点例如例如例如例如的孤立奇点的孤立奇点的孤立奇点的孤立奇点: :当当当当时时时时是它的是它的是它的是它的极点极点.定理定理定理定理4.264.26为为的的极极点点5本性本性奇点奇点三、三、三、三、若若在在在在内内内内的洛朗级数的洛朗级数的洛朗级数的洛朗级数负负幂项幂项幂项幂项，有有有有无穷无穷多个多个多个多个则则为为为为的的的的本性本性奇点。奇点。奇点。奇点。是它的是它的是它的是它的本性本性本性本性奇点奇点
5、奇点奇点. .例如例如例如例如 是它的是它的是它的是它的本性本性本性本性奇点奇点奇点奇点. .6定理定理定理定理4.274.27为为为为的的的的本性本性奇点奇点奇点奇点不存在，不存在，不存在，不存在，不为不为不为不为例如例如例如例如是是是是的的的的本性本性奇点奇点奇点奇点因为因为因为因为不存在，不存在，不存在，不存在，不为不为不为不为7证明证明证明证明不不存在，存在，存在，存在，不不为为为为证证证证当当当当时时时时当当当当时时时时动点动点动点动点沿实轴沿实轴沿实轴沿实轴 趋于趋于趋于趋于动点动点动点动点沿正虚轴沿正虚轴沿正虚轴沿正虚轴 趋于趋于趋于趋于结论正确结论正确结论正确结论正确是是是是本
6、性本性本性本性奇点奇点奇点奇点87272页页页页1010 (6)(6)的孤立奇点为的孤立奇点为的孤立奇点为的孤立奇点为为为为为本性本性本性本性奇点奇点奇点奇点(9)(9)是它的是它的是它的是它的本性本性本性本性奇点奇点奇点奇点. .(7)(7)的的的的孤立孤立孤立孤立奇点奇点奇点奇点: :是它的是它的是它的是它的本性本性本性本性奇点奇点奇点奇点. .9四、极点四、极点四、极点四、极点的阶的阶的阶的阶即即即即如果如果如果如果的最高幂为的最高幂为的最高幂为的最高幂为则则则则称为称为称为称为的的的的mm阶阶阶阶极点极点极点极点其中其中其中其中中括号里的幂级数中括号里的幂级数中括号里的幂级数中括号里的
7、幂级数收敛收敛收敛收敛, , 其和函数其和函数其和函数其和函数在在在在解析解析解析解析, ,且且且且综上所述综上所述综上所述综上所述 如果如果如果如果是是是是的的的的mm阶阶阶阶极点极点极点极点, ,则存在函数则存在函数则存在函数则存在函数在在在在解析解析解析解析, ,且且且且使使使使洛朗级数中洛朗级数中洛朗级数中洛朗级数中 关于关于关于关于在在在在某个邻域内某个邻域内某个邻域内某个邻域内反过来也正确反过来也正确反过来也正确反过来也正确10定理定理定理定理是是的的m阶阶极点极点其中其中其中其中在在在在解析解析解析解析, ,且且且且例如例如例如例如极点极点极点极点? ? 阶阶阶阶极点极点极点极点
8、? ? 阶阶阶阶? ? 阶阶阶阶7272页页页页11(3)11(3)11(5)11(5)极点极点极点极点? ? 阶阶阶阶? ? 阶阶阶阶11(1)11(1)极点极点极点极点? ? 阶阶阶阶? ? 阶阶阶阶11(4)11(4)极点极点极点极点为整数为整数为整数为整数? ? 阶阶阶阶 10(10)10(10)极点极点极点极点? ? 阶阶阶阶11(12)(12)7272页页页页1111有什么孤立奇点？有什么孤立奇点？有什么孤立奇点？有什么孤立奇点？如果是极点如果是极点如果是极点如果是极点, ,指出它的阶指出它的阶指出它的阶指出它的阶. .解解解解孤立奇点为孤立奇点为孤立奇点为孤立奇点为因为因为因为因
9、为不不存在，存在，不不为为所以所以所以所以是它的是它的是它的是它的本性本性本性本性奇点奇点奇点奇点. .因为因为因为因为所以所以所以所以是它的是它的是它的是它的 极极极极点点点点一阶一阶一阶一阶极点极点极点极点12阶数的运算阶数的运算阶数的运算阶数的运算设设为为的的m阶阶零点零点、的的n阶阶零点零点则则为为的的m+n阶阶零点零点,为为的可去的可去为为的的可去可去奇点奇点,处解析处解析,在在奇点奇点,为为极点极点,的的(n- m)阶阶例如例如的奇点的奇点的奇点的奇点它的它的它的它的是是是是? ?阶阶阶阶极点极点极点极点, ,二二二二阶阶阶阶极点。极点。极点。极点。13例例例例1 1函数函数函数函
10、数如果是极点如果是极点如果是极点如果是极点, , 指出它的阶指出它的阶指出它的阶指出它的阶. .有什么类型的奇点？有什么类型的奇点？有什么类型的奇点？有什么类型的奇点？解解解解的所有奇点为的所有奇点为的所有奇点为的所有奇点为所以所以所以所以是是是是的的的的二二二二阶阶阶阶极极极极点点点点是是是是的的的的可去可去可去可去奇点奇点奇点奇点是是是是的的的的三三三三阶阶阶阶极极极极点点点点是是是是的的的的一一一一阶零点阶零点阶零点阶零点是是是是的的的的三三三三阶零点阶零点阶零点阶零点是是是是的的的的三三三三阶零点阶零点阶零点阶零点其中其中其中其中14选择题选择题选择题选择题是函数是函数是函数是函数的的
11、的的 ( )( )A二二二二阶极点阶极点阶极点阶极点BC可去奇可去奇可去奇可去奇点点点点D本性奇本性奇本性奇本性奇点点点点非非非非孤立奇点孤立奇点孤立奇点孤立奇点A因为因为因为因为是是是是的的的的一一一一阶零点阶零点阶零点阶零点的的的的 三三三三阶零点阶零点阶零点阶零点是函数是函数是函数是函数的的的的 ( )( )A四四四四阶极点阶极点阶极点阶极点BC可去奇可去奇可去奇可去奇点点点点D本性奇本性奇本性奇本性奇点点点点D三三三三阶极点阶极点阶极点阶极点因为因为因为因为是是是是的的的的 二二二二阶零点阶零点阶零点阶零点的的的的 五五五五阶零点阶零点阶零点阶零点15例例例例2 2下列函数下列函数下列
12、函数下列函数如果是极点如果是极点如果是极点如果是极点, ,指出它的阶指出它的阶指出它的阶指出它的阶. .的奇点的奇点的奇点的奇点是它的是它的是它的是它的是它的是它的是它的是它的其中其中其中其中二二二二阶极点阶极点阶极点阶极点一一一一阶极点阶极点阶极点阶极点的奇点的奇点的奇点的奇点是它的是它的是它的是它的 三三三三阶极点阶极点阶极点阶极点是它的是它的是它的是它的 一一一一阶极点阶极点阶极点阶极点有什么奇点？有什么奇点？有什么奇点？有什么奇点？原函数原函数原函数原函数16(n(n为正整数为正整数为正整数为正整数) )解解解解是它的是它的是它的是它的 一一一一阶极点阶极点阶极点阶极点的奇点的奇点的奇点的奇点: :其中其中其中其中: :是它的是它的是它的是它的是它的是它的是它的是它的为整数为整数为整数为整数) )一一一一阶极点阶极点阶极点阶极点可去可去可去可去奇点奇点奇点奇点17
