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1、高等数学高等数学下页结束返回*四、二重积分的换元法四、二重积分的换元法 第二节二、利用直角坐标计算二重积分二、利用直角坐标计算二重积分 三、利用极坐标计算二重积分三、利用极坐标计算二重积分 二重积分的计算法 第十章 下页一、曲顶柱体体积的计算一、曲顶柱体体积的计算(二重积分几何意义) 高等数学高等数学下页结束返回对于平面区域 称 D 为 X - 型区域型区域. 、平面区域的两种基本类型、平面区域的两种基本类型下页对于平面区域 称 D 为 Y - 型区域型区域. 高等数学高等数学下页结束返回一、曲顶柱体体积的计算一、曲顶柱体体积的计算-几何意义设曲顶柱体的底为任取平面截面积为截柱体的O高等数学高
2、等数学下页结束返回一、曲顶柱体体积的计算一、曲顶柱体体积的计算-几何意义设曲顶柱体的底为任取平面故曲顶柱体体积为(元素法元素法)截面积为截柱体的记记作作 下页先写类型积分限先写类型积分限类型积分后计算类型积分后计算高等数学高等数学下页结束返回同样, 曲顶柱体的底为则其体积可这样计算:下页先写类型积分限先写类型积分限类型积分后计算类型积分后计算高等数学高等数学下页结束返回例例1. 求两个底圆半径为R 的直交圆柱面所围的体积.解解: 设两个圆柱面的方程为利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为所求体积为下页其底为高等数学高等数学下页结束返回且在D上连续时, 由曲顶柱体体积的计算可知, 若D
3、为 X - 型区域 则若D为Y - 型区域则二、利用直角坐标计算二重积分二、利用直角坐标计算二重积分下页高等数学高等数学下页结束返回均非负均非负因此上面讨论的累次积分法仍然有效.下页当被积函数在积分域上变号时, 所述方法仍可用.这是因为:高等数学高等数学下页结束返回说明说明: (1) 若积分区域既是 X - 型区域又是Y - 型区域, 为计算方便,可选择积分序选择积分序, 必要时还可以交换积分序交换积分序.则有(2) 若积分域较复杂, 可将它分成若干X - 型域或Y - 型域, 则 下页高等数学高等数学下页结束返回例例2. 计算其中D 是直线 y1, x2, 及yx 所围的闭区域. 解法解法1
4、 将D看作X - 型区域, 则解法解法2 将D看作Y - 型区域, 则下页高等数学高等数学下页结束返回例例3. 计算其中D 是抛物线所围成的闭区域. 解解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,及直线则 下页高等数学高等数学下页结束返回例例4. 计算其中D 是直线 所围成的闭区域.解解: 由被积函数可知,因此取D 为X - 型域:先对 x 积分不行, 说明说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.下页高等数学高等数学下页结束返回例例5. 交换下列积分顺序解解: 积分域由两部分组成:视为Y - 型区域, 则下页高等数学高等数学下页结束返回例例6. 计算其中D 由所围成. (奇函数
5、示例)解解: 令(如图所示)显然,下页说明说明高等数学高等数学下页结束返回三、利用极坐标计算二重积分三、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下, 用同心圆 r =常数,增量为r, 下页分划区域 D .射线 =常数, 增量为,高等数学高等数学下页结束返回三、利用极坐标计算二重积分三、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下, 用同心圆 r =常数,增量为r, 下页分划区域 D .射线 =常数, 增量为,又故高等数学高等数学下页结束返回设则特别特别, 对下页高等数学高等数学下页结束返回此时若 f 1 则可求得D 的面积思考思考: 下列各图中域 D 分别与 x, y 轴相切于原点, 试答答: 问 的变化范围是
6、什么?(1)(2)下页高等数学高等数学下页结束返回例例7. 计算其中解解: 在极坐标系下原式的原函数不是初等函数, 故本题无法用由于故直角坐标计算.下页高等数学高等数学下页结束返回注注:利用上题可得一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式因 又下页高等数学高等数学下页结束返回例例8. 求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解解: 设由对称性可知下页高等数学高等数学下页结束返回练习练习: 计算其中 D 由曲线与极轴围成.下页转小结转小结高等数学高等数学下页结束返回*四、二重积分换元法四、二重积分换元法 定积分换元法满足一阶偏导数连续;雅可比行列式(3) 变换则定理定理.
7、变换:是一一对应的,下页高等数学高等数学下页结束返回证证: 根据定理条件可知变换 T 可逆. 用平行于坐标轴的 直线分割区域 任取其中一个小矩形, 通过变换T, 在 xOy 面上得到一个四边形, 其对应顶点为则下页其顶点为高等数学高等数学下页结束返回同理得当h, k 充分小时,曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四 边形, 故其面积近似为下页高等数学高等数学下页结束返回因此面积元素的关系为从而得二重积分的换元公式: 例如例如, 直角坐标转化为极坐标时, 下页高等数学高等数学下页结束返回例例9. 计算其中D 是 x 轴 y 轴和直线所围成的闭域. 解解: 令则下页高等数学高等数学下页结束返回
8、例例10. 计算由所围成的闭区域 D 的面积 S.解解: 令则下页高等数学高等数学下页结束返回例例11. 试计算椭球体解解: 由对称性令则D 的原象为的体积V.下页高等数学高等数学下页结束返回内容小结内容小结(1) 二重积分化为二次积分的方法二重积分化为二次积分的方法直角坐标系情形直角坐标系情形: 若积分区域为则 若积分区域为则下页老式写法高等数学高等数学下页结束返回则*(2) 一般换元公式一般换元公式且则极坐标系情形极坐标系情形: 若积分区域为在变换下下页高等数学高等数学下页结束返回(3) 计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项 画出积分域 选择坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便域边界
9、应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积分好算为妙图示法不等式(先写类型积分限先写类型积分限, 类型积分后计算类型积分后计算)充分利用对称性*应用换元公式下页高等数学高等数学下页结束返回1. 设且求提示提示: 交换积分序得 下页思考与练习思考与练习高等数学高等数学下页结束返回2. 交换积分顺序提示提示: 积分域如图下页高等数学高等数学下页结束返回作业作业(习题10-2, P153)(直) 1 (2), (4); 2 (3), (4); 5; 6 (2), (4); 7; 8(极) 11 (1), (2); 13 (3); 14 (2); 15 (1) 结束高等数学高等数学下页结束返回解：解：原式备用题备用题1. 给定改变积分的次序.下页高等数学高等数学下页结束返回2. 计算其中D 为由圆所围成的及直线解：解：平面闭区域.结束高等数学高等数学下页结束返回三、利用极坐标计算二重积分三、利用极坐标计算二重积分 (原原)对应有在极坐标系下, 用同心圆 r =常数则除包含边界点的小区域外, 小区域的面积在内取点及射线 =常数, 分划区域 D 为下页高等数学高等数学下页结束返回即下页
