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1、量子力学光电子科学与工程学院光电子科学与工程学院王可嘉王可嘉第三讲 力学量的平均值算符薛定谔方程量子力学中的基本假设1第三讲目录一、 简短的回顾二、力学量的平均值三、力学量用算符表示四、薛定谔方程五、量子力学的基本假设2一一、简短的回顾简短的回顾(1)(1) 为了解释微观世界粒子的运动规律，人们提出为了解释微观世界粒子的运动规律，人们提出了以下观点了以下观点: :1 1、能量量子化能量量子化：基于此，推出了：基于此，推出了PlanckPlanck公式，解公式，解释了黑体辐射现象；释了黑体辐射现象；2 2、波粒二象性波粒二象性: : 认为任何粒子都具有粒子和波动认为任何粒子都具有粒子和波动二重性
2、。其中的波动，称为物质波，满足二重性。其中的波动，称为物质波，满足de de BroglieBroglie公式：公式：3 3、不确定度关系不确定度关系: :认为微观粒子的坐标和动量不可认为微观粒子的坐标和动量不可能同时完全确定。能同时完全确定。3一一、简短的回顾简短的回顾(2)(2) 为了使这些观点能用一个系统的理论来概括，为了使这些观点能用一个系统的理论来概括，人们首先做了以下工作：人们首先做了以下工作： 既然粒子具有波动性，那么就应该用一个反映既然粒子具有波动性，那么就应该用一个反映波动的函数来加以描述，即波动的函数来加以描述，即波函数波函数 ，对于，对于自由粒子，动量和能量是常数。自由粒
3、子，动量和能量是常数。由平面波公式由平面波公式由由de Brogliede Broglie公式公式即自由粒子的波函数，对应为平面波即自由粒子的波函数，对应为平面波1 1、自由粒子波函数、自由粒子波函数4一一、简短的回顾简短的回顾(3)(3)2 2、任意粒子的波函数、任意粒子的波函数 对于描述任意粒子波动性的波函数，可以看作无对于描述任意粒子波动性的波函数，可以看作无限多个平面波的叠加。限多个平面波的叠加。5一一、简短的回顾简短的回顾(4)(4) 对于波函数的物理意义，人们提出了各种解释，对于波函数的物理意义，人们提出了各种解释，其中统计诠释为其中的一种。即：其中统计诠释为其中的一种。即： 应该
4、是应该是表示粒子出现在点表示粒子出现在点 附近概附近概率大小的一个量。率大小的一个量。3 3、波函数的物理意义、波函数的物理意义由此要求波函数必须满足以下性质由此要求波函数必须满足以下性质 1 1）可积性；）可积性；2 2）归一化）归一化 3 3）单值性；）单值性；4 4）连续性）连续性6一一、简短的回顾简短的回顾(5)(5)4 4、不确定度关系与力学量的平均值、不确定度关系与力学量的平均值 通过举例得到，通过举例得到， ，由此得知一，由此得知一般情况下般情况下 和和 不能完全确定。这样可以提出不能完全确定。这样可以提出一个问题一个问题: : 和和 的什么值可以确定？的什么值可以确定？ 根据统
5、计诠释：微观粒子的位置和动量一般不是根据统计诠释：微观粒子的位置和动量一般不是确定的，而是具有概率分布。根据概率论，一个随确定的，而是具有概率分布。根据概率论，一个随机变量可以求机变量可以求期望期望( (平均值平均值) )这个确定值。那么，这个确定值。那么， 和和 的的平均值平均值可否确定可否确定？由此引出：由此引出：力学量的平均值力学量的平均值7二二、力学量的平均值力学量的平均值(1)(1) 表示粒子出现在点表示粒子出现在点 附近的概率，附近的概率，那么粒子坐标的平均值，例如：那么粒子坐标的平均值，例如： 的平均值的平均值 ，又如，势能又如，势能 是是 的函数，其平均值为的函数，其平均值为:
6、 :8二二、力学量的平均值力学量的平均值(2)(2)再如，动量再如，动量 的平均值为：的平均值为：为动量的概率分布函数。为动量的概率分布函数。提出两个问题：提出两个问题：1 1、为什么不能写成、为什么不能写成2 2、如果不行，能否用以、如果不行，能否用以坐标为自变量的波函数坐标为自变量的波函数计计算动量的平均值？算动量的平均值？由此引申出量子力学中重要概念：由此引申出量子力学中重要概念：力学量的算符力学量的算符9三三、力学量用算符表示力学量用算符表示(1)(1) 算符：算符：作用在一个函数上得出另一个函数的运算作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，设某种运算把函数符号，设某种运算把函数 变
7、为变为 ，表示为：，表示为： 作用到平面波波函数作用到平面波波函数相当于相当于10三三、力学量用算符表示力学量用算符表示( (2)2)以坐标和动量为自变量的波函数之间的关系为，以坐标和动量为自变量的波函数之间的关系为，动量的平均值动量的平均值 ，将，将(2)(2)取复共轭带入取复共轭带入11三三、力学量用算符表示力学量用算符表示( (3)3)12三三、力学量用算符表示力学量用算符表示( (4)4) 动量的平均值，用以动量为自变量的波函数表示：动量的平均值，用以动量为自变量的波函数表示： 用以坐标为自变量的波函数表示：用以坐标为自变量的波函数表示：其中，其中， 为动量为动量 的算符的算符即：即：
8、动量算符动量算符坐标算符为坐标自身坐标算符为坐标自身13三三、力学量用算符表示力学量用算符表示( (5)5) 动能动能 ，动能算符，动能算符 动能平均值：动能平均值： 角动量：角动量： 角动量算符角动量算符角动量平均值角动量平均值14三三、力学量用算符表示力学量用算符表示( (6)6) 量子力学中，量子力学中，力学量用算符表示力学量用算符表示，若在经典力学中有，若在经典力学中有力学量力学量 ，则在量子力学中相应的力学量算符为：，则在量子力学中相应的力学量算符为：量子力学假设之二量子力学假设之二力学量力学量 的平均值为：的平均值为： 若在经典力学中若在经典力学中 ，则在量子力学中：，则在量子力学
9、中：15三三、力学量用算符表示力学量用算符表示( (7)7)一个问题：根据坐标平均值的计算公式：一个问题：根据坐标平均值的计算公式：坐标平均值可否表示为：坐标平均值可否表示为：对比前面的问题：对比前面的问题：答案是肯定的答案是肯定的16四四、薛定谔方程薛定谔方程( (1)1)经典力学，确定粒子的坐标，即可确定所有的力学量：经典力学，确定粒子的坐标，即可确定所有的力学量：坐标随时间演化方程：坐标随时间演化方程：问题：既然波函数问题：既然波函数 完全确定微观粒子的状态（完全确定微观粒子的状态（基基本假设本假设），那么），那么 如何随时间演化？如何随时间演化？牛顿方程牛顿方程薛定谔方程薛定谔方程17
10、四四、薛定谔方程薛定谔方程( (2)2) 设任意状态微观粒子的波函数为：设任意状态微观粒子的波函数为： 根据根据Fourier变换，可以由平面波的叠加来表示变换，可以由平面波的叠加来表示相当于相当于能量算符能量算符利用能量算符，可以给出量子力学中利用能量算符，可以给出量子力学中的基本方程：薛定谔方程的基本方程：薛定谔方程18四四、薛定谔方程薛定谔方程( (3)3) 经典粒子的能量：经典粒子的能量：两边同乘粒子的两边同乘粒子的波函数波函数: :根据量子力学的根据量子力学的基本假设之二基本假设之二: : 得到得到薛定谔方程薛定谔方程： 量子力学的基本假设之三：量子力学的基本假设之三：描述体系状态的
11、波函数描述体系状态的波函数 其其时空演化行为满足时空演化行为满足薛定谔方程薛定谔方程。19四四、薛定谔方程薛定谔方程( (4)4)E. E. 薛定谔（薛定谔（1887-19611887-1961）Nobel Prize in Nobel Prize in Physics(1933)Physics(1933) “我确信，通过薛定谔的关于量子条件的公式表述，已我确信，通过薛定谔的关于量子条件的公式表述，已作出了决定性的进展。在这些对量子规则作深刻阐明的新作出了决定性的进展。在这些对量子规则作深刻阐明的新尝试中，我最满意的是薛定谔的表述方式。尝试中，我最满意的是薛定谔的表述方式。” A. Einst
12、einA. Einstein20四四、薛定谔方程薛定谔方程( (5)5)薛定谔方程的推论：薛定谔方程的推论：连续性方程连续性方程由由 得：得：概率密度概率密度概率概率(粒子粒子)流密度流密度得到连续性方程得到连续性方程定义：定义：21四四、薛定谔方程薛定谔方程( (6)6)连续性方程的回顾：连续性方程的回顾：电磁学中：电磁学中： 为电荷密度，为电荷密度， 为电流密度。为电流密度。由由GuassGuass定理：定理：22四四、薛定谔方程薛定谔方程( (7)7)电磁学电磁学：左边表示在：左边表示在区域区域 内电荷在单位内电荷在单位时间内的增量，右边时间内的增量，右边单位时间内通过单位时间内通过 的
13、的封闭表面封闭表面 流入流入 内内的总电流。的总电流。电荷守恒电荷守恒量子力学量子力学：左边表示在：左边表示在区域区域 内找到粒子概率内找到粒子概率单位时间内的增量，右单位时间内的增量，右边单位时间内通过边单位时间内通过 的的封闭表面封闭表面 流入流入 内内的概率。的概率。概率守恒概率守恒粒子数目在全空粒子数目在全空间中保持不变间中保持不变23四四、薛定谔方程薛定谔方程( (8)8)能量本征方程能量本征方程薛定谔方程薛定谔方程: :若若 不显含不显含 ，则可令，则可令 ，有，有因此，因此， 满足的方程满足的方程称为能量本征方程称为能量本征方程 ， 称为能量本征函数，称为能量本征函数， 称为能称
14、为能量本征值。量本征值。24四四、薛定谔方程薛定谔方程( (9)9)本征方程本征方程 数学定义：设数学定义：设 为算符，为算符， 为一个数，若为一个数，若则称则称(1)(1)为为算符算符 的本征方程，的本征方程， 为本征函数，为本征函数， 为本征值为本征值能量本征方程能量本征方程令：令： ，称，称 为哈密顿算符为哈密顿算符 因为本征值因为本征值 具有能量的量纲，故此方程被之为具有能量的量纲，故此方程被之为能能量本征方程量本征方程， 被称为被称为能量本征函数能量本征函数， 被称为被称为能量能量本征值本征值。25五、量子力学的基本假设（五、量子力学的基本假设（1 1） 1 1、微观体系的状态被一个
15、、微观体系的状态被一个波函数波函数完全描述，从这个波完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。函数可以得出体系的所有性质。 2 2、力学量用、力学量用厄米算符厄米算符表示，表示力学量的算符有组成表示，表示力学量的算符有组成完全系完全系的本征函数。的本征函数。 3 3、体系的状态波函数满足、体系的状态波函数满足薛定谔方程薛定谔方程：五条基本假设五条基本假设26五、量子力学的基本假设（五、量子力学的基本假设（2 2） 4 4、将体系的状态波函数、将体系的状态波函数 用用算符算符 的的本征函数本征函数 展开展开，其中：，其中：则在体系则在体系 态中态中测量力学量测量力学量 得到结果为得到结果为 的的概率概率为为 ，得到结果，得到结果 范围内的范围内的概率概率是是 。 5 5、在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换、在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态。不改变体系的状态。( (全同性原理全同性原理) ) 周世勋量子力学教程，结束语周世勋量子力学教程，结束语27五、量子力学的基本假设（五、量子力学的基本假设（3 3）以上五条假设构成了量子力学的以上五条假设构成了量子力学的公理体系公理体系28下一讲下一讲一维无限深方势阱中的粒子一维无限深方势阱中的粒子态叠加原理态叠加原理方势垒的反射与透射方势垒的反射与透射一维谐振子一维谐振子29
