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1、.-数学模型实验实验报告数学模型实验实验报告 1010学院：专业： 姓名：学号：_实验时间：_ 实验地点：一、实验项目一、实验项目：传染病模型求解二、实验目的和要求二、实验目的和要求a.求解微分方程的解析解b.求解微分方程的数值解三、实验容三、实验容问题的描述问题的描述各种传染病给人类带来的巨大的灾难， 长期以来， 建立传染病的数学模型来描述传染病的的传播过程，分析受感染人数的变化规律， 探索制止传染病蔓延的手段等， 一直是各国有关专家和官员关注的课题。不同类型传染病有各自不同的特点， 在此以一般的传播机理建立几种3 模型。 分别对 3 种建立成功的模型进行模型分析，便可以了解到该传染病在人类
2、间传播的大概情况。模型一（模型一（SISI 模型）模型） ：（1 1）模型假设）模型假设1.在疾病传播期所考察地区的总人数N 不变，人群分为健康人和病人，时刻t 这两类人在总人数中所占比例为 s（t）和 i（t） 。2.每个病人每天有效接触的平均人数是常数 a，a 成为日接触率，当病人与健康者有效接触时，可使其患病。（2 2）建立模型）建立模型根据假设，每个病人每天可使 as（t）个健康人变成病人， t 时刻病人数为 Ni（t） ，所以每天共有aNs（t）i（t）个健康者被感染，即病人的增加率为： Ndi/dt=aNsi又因为 s（t）+i（t）=1再记时刻 t=0 时病人的比例为 i0则建立
3、好的模型为：di ai(1i)dti(0)=i0（3 3）模型求解）模型求解 （代码、计算结果或输出结果）（代码、计算结果或输出结果）.可修编-.-syms a i t i0%a：日接触率，i：病人比例， s：健康人比例，i0：病人比例在 t=0 时的值i=dsolve(Di=a*i*(1-i),i(0)=i0,t);y=subs(i,a,i0,0.3,0.02);ezplot(y,0,100)figurei=str2double(i);i=0:0.01:1;y=0.3*i.*(1-i);plot(i,y)SI 模型的 it 曲线SI 模型的 di/dti 曲线（4 4）结果分析）结果分析由上
4、图可知，在 i=0:1，di/dt 总是增大的，且在 i=0.5 时，取到最大值，即在 t-inf 时，所有人都将患病。上述模型显然不符合实际，为修正上述结果，我们重新考虑模型假设，建立SIS 模型模型二（模型二（SISSIS 模型）模型）（1 1） 模型假设模型假设假设条件 1.2 与 SI 模型相同；3.每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数u，成为日治愈率，病人治愈后成为仍可被感染的健康者。显然 1/u 是平均传染期。（2 2）模型建立）模型建立病人的增加率：Ndi/dt=aNsi-uNi 且 i（t）+s(t)=1；则有： di/dt=ai(1-i)-ui在此定义 k=a/b，可知
5、k 是整个传染传染期每个病人有效接触的平均人数，成为接触数。则建立好的模型为：.可修编-.-di aii (11/k)dti(0)=i0;（2 2） 模型求解模型求解 （代码、计算结果或输出结果）（代码、计算结果或输出结果） symsa i u t i0% a：日接触率，i：病人比例，u：日治愈率，i0：病人比例在 t=0 时的值 dsolve(Di=a*i*(1-i)-u*i,i(0)=i0,t)% 求用 u 表示的 it 解析式 syms k%k：接触数 k=a/u; i=dsolve(Di=-a*i*i+a*i*(1-1/k),i(0)=i0,t)% 求用 k 表示的 it 解析式% 给
6、 k、a、i0 指定特殊值，作出相关图像 y=subs(i,k,a,i0,2,0.3,0.02);%k1 的情况，以 k=2 为例 ezplot(y,0,100)pause%作 it 图，分析随时间 t 的增加, i 的变化 gtext(1/k)legend(k1 本例中 k=2)figure i=str2double(i); i=0:0.01:1; y=-0.3*i.*i-1/2; plot(i,y)%作 di/dti 的图像 gtext(1-1/k,在此图中为 0.5) legend(k=2) y=subs(i,k,a,i0,0.8,0.3,0.02);%k ezplot(y,0,100)
7、%作 it 图，分析随时间 t 增加，i 的变化 legend(kfigure i=str2double(i); i=0:0.01:1; y=-0.3*i.*i-(1-1/0.8); plot(i,y) %作 di/dti 的图像 legend(k=0.8) gtext(k1）SIS 模型的 it 曲线（k1）SIS 模型的 di/dti 曲线 （k1）SIS 模型的 it 曲线（k1 时，i（t）的增减性取决于 i0 的大小，但其极限值 i()=1-1/k随 k 的增加而增加；当k0)和 i0(i00)（不妨设移出者的初始值 r0=0） ，则 SIR模型的方程可以写作disii,i(0) t
8、0dtds si,s(0) s0dt（3）(3)(3)模型求解模型求解我们无法求出解析解，先做数值计算：设1, 0.3,i(0) 0.02,s(0) 0.98，用 MATLAB 软件编程：function y=ill（t，x）a=1;b=0.3;y=a*x(1)*x(2)-b*x(1), -a*x(1)*x(2);ts=0:50;x0=0.02,0.98;t,x=ode45(i11,ts,x0);t,xplot(t,x(:,1),t,x(:,2),grid,pauseplot(x(:,2),x(:,1).可修编-.-表表 1 1i(t),s(t)的数值计算结果的数值计算结果ti(t)s(t)t
9、i(t)s(t)0123456780.02000.03900.07320.12850.20330.27950.33120.34440.32470.98000.95250.90190.81690.60270.54380.39950.28390.2027910152025303540450.28630.24180.07870.02230.00610.00170.00050.000100.14930.11450.05430.04340.04080.04010.03990.03990.0398i(t),s(t)的图形is 图形（相轨线）（4 4）结果分析）结果分析i(t),s(t)的图形见左图，i s
10、的图形见右图，称为相轨线，随着t的增加，(s,i)沿轨线自右向左运动。由上图结合表 1 可知，i(t)由初值增长至约t 7时达到最大值，然后减少，t ,t 0;s(t)则单调减少t ,s 0.0398。进行相轨线分析，可得：.可修编-.-s i平面称为相平面，相轨线在相平面上的定义域(s,i)D为D (s,t)| s 0,i 0,si 1在方程（3）中消去dt，并注意到的定义，可得di11i | idts，ss00（4）容易求出它的解为i (s0i0)s1lnss0（5）在定义域 D，上式表示的曲线即为相轨线1.不论初始条件s0,i0如何，病人终将消失，即i 0（6）dsdr 0 0ss(t)
11、 0dtdt其证明如下，首先，由（3） ，而故存在；由（2） ，而r(t) 1，故r存在，dr2，这将导致，与r存在相矛盾。再由（1） ，对于充分大的t有dt2.最终未被感染的健康者的比例是s，在（5）式中令i 0得到，s是方程s0i0s1lns 0s0（7）在(0,1/)的根。在图形上，s是相轨线与s轴在(0,1/)交点的横坐标。3.若s01/，则i(t)先增加，当s 1/时，i(t)达到最大值i s0i01(1lns0)（8）然后i(t)减小且趋近于 0，s(t)则单调减小至s。4.若s01/，则i(t)单调减少至 0，s(t)单调减少至s。如果仅当病人比例i(t)有一段增长的时期才认为传
12、染病在蔓延，那么1/是一个阈值，当染期接触数，即提高阈值1/，使得s01/（即（即1/ s0）时传染病就会蔓延。而减小传s01/1/ s0） ，传染病就不会蔓延（健康者比例的.可修编-.-初始值s0是一定的，通常可认为s0接近 1） 。并且，即使s01/，从（7） ， （8）式可以看出，减少时，s增加（通过作图分析） ，im降低，也控制了蔓延的程度，我们注意到，在/中，人们的卫生水平越高，日接触率越小；医疗水平越高，日治愈率越大，于是越小，所以提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延。从另一方面看，s s1/是传染期一个病人传染的健康者的平均数，称为交换数，其含义是一个病人被s个健康者交换，所以当s01/,即s01时，必有s 1，既然交换数不超过1，病人比例i(t)绝不会增加，传染病不会蔓延。建模所得：建模所得：1.符号变量如何使用2.如何求微分方程的解析解和数值解3.对符号变量方程作图时，先将其中的符号变量赋值，再将其变成数值变量，这也是一种有效的解决方法。.可修编-
