《方向导数和梯度》由会员分享，可在线阅读，更多相关《方向导数和梯度（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、14.6 方向导数和梯度门扇艺掣颈流逼芒峦菲物胎杆演沛饰边颈禽窖踩遵灿囊皇攒赦陷守非退誊方向导数和梯度方向导数和梯度 一、方向导数 在许多实际问题中，常常需要知道函数 （或函数 ）在一点 沿任何方向或某个方向的变化率.例如,设 表示某物体内点 的温度,那么这物体的热传导就依赖于温度沿各方向下降的速度(速率);又如,要预报某地的风向和风力,就必须知道气压在该处沿某些方向的变化率.为此,要引进多元函数在一点 沿一给定方向导数的概念. 这里以三各变量的函数 为例.设 为一给定点, 是从 点出发的射线,它的方向向量用 来表示.设 是射线 上的任一点, 的坐标为涅用苯领催搅翼纵战姜校牙愉宁馒羡塘揩石摸矮
2、凝旧像茄蒙促邢丛驴鲜境方向导数和梯度方向导数和梯度其中 是 的方向余弦, 是线段 的长度,在 这段长度内,函数 的平均变化率为 令 沿 趋于 ,这时如果存在,则称此极限为 在 点沿 的方向导数,记为 或 例1 设 向量 的方向余弦是 毅裳馏标蚜炽鸟痔辙岿侣墨鹏矮睡刚尉催虾冷勉辱墨追恰凯踩脱芬仔姻脆方向导数和梯度方向导数和梯度 于是沿 方向的平均变化率为 下面我们给出方向导数的计算公式. 定理 如果函数 在一点 可微,则 在 点沿任何方向 的方向导数都存在,并由以下的求导公式其中 是 的方向余弦. 例2 对 求 在点 沿方向 的方向导数.涤沾徒诉灌络舞热早胚唯睦瀑鹿霍抑萨塞堕幕戒幽筑紊哉全可驭壁
3、僧亚苛方向导数和梯度方向导数和梯度 二、梯度 1.物理量的等量面(等量线) 我们在研究一个物理量 在某一区域的分布时,常常需要考察这区域中由相同物理量的点,也就是使 取相同数值的各点其中 是常数.这个方程在几何上表示曲面,我们称它为等量面.当 取不同数值时,所得到的等量面也不同.如气象学中的等温面和等压面,电学中的等势面等等. 同样,对于含两个自变量的物理量则有等量线.例如在船体设计中用平行于基线面的平面将船体切割,它的截口曲线称为水线.在同一条水线上,其高度势相同的,畜殿递寒垢渐翻咀绚藉烘钒爸照得瞒皆譬养己煌噎瞅阴攻茧厕敞她兄题膀方向导数和梯度方向导数和梯度因此这些水线就势等量线. 在船体设
4、计中, 用它们来表示船体线型在纵向的变化趋势. 此外, 在地图上常常利用等高线来表示地面上的高低起伏, 在气象图上用等温线来表示地面上气温变化等等,这些都是等量线. 2、梯度 现在从等量面(或等量线)出发, 引出一个具有重要意义的向量函数. 我们以气象预报中地面上的等压线为例. 在方向 气压从 点的 (毫巴)过渡到气压为 的点 距离是 它比沿方向 从 变到气压为 的点 的距离 小 .所以按距离而言,气压沿星誊腔亡艇陵姚帛摔缉策裔峦狂村瀑隆结斗践寂炳讣杠赞亦亏协疲丢郁稀方向导数和梯度方向导数和梯度 方向的平均增长率大于沿 的平均增长率. 显然, 如果在一个方向上的等压线密集, 气压的变化率越大
5、. 可见, 在 点沿不同的方向, 其变化率将有所不同. 现在再作一般的讨论. 设 是一数量函数, 等量面为 ，设 是等量面上的任一点, 它的法线向量为其中 分别是三个偏导数在 点的数值. 称这个向量为数量函数 在 点的梯度, 记为 ( 是 的缩写), 即从数量函数 引出一个向量函数它的长度记为娘简湍咨棠相闰卤洪仗音冈赋淡驳采去闷桌佑嗜筑惮尼掐熏站第乳视厚肯方向导数和梯度方向导数和梯度 这样引进的梯度概念有什么意义呢?下面将说明:(1)梯度的方向是函数 增长最快的方向; (2)梯度的模就是函数 沿这一方向的变化率. 现在分析如下: 设 的方向余弦是 这时 沿 的方向导数是令 是 方向的单位向量于
6、是悸仓咖扶仪惺盏括耸屁盔没域洗嗣豁碧穗冰夹续河你伺咀翼唤磁译搜积感方向导数和梯度方向导数和梯度这里 表示向量 与 余角的余弦. 由此可以看出, 在 点沿一切不同方向的方向导数中, 当 与梯度的方向一致时, 从而 有最大量, 所以沿梯度方向的方向导数达到最大; 就是说, 的方向, 函数 在这个方向上变化率最大, 而且这个变化率就等于梯度的模 同样可以看出, 沿梯度的反方向, 即 的反向, 函数 减少最快. 由于数量函数所表示的物理意义是由点的函数来描写的, 在不同坐标下, 同一点的函数值应该不变, 这表示数量函数与坐标系的选取无关. 从而由此产生的等量面、数量函数 的梯度以及它的最大变化率 等等
7、, 也都与坐标系的选择无关. 综上所述, 是这样一个向量函数, 它是由数叠刻炮卞掸皇塌尾菲勋奶沛炯怨弘疙嚏酪嫉宴怒舜班眺跋俭但斑罗垂碎吕方向导数和梯度方向导数和梯度量函数 产生的, 在每一点 处的梯度方向与过 点等量面 在这点的法线方向相同, 且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面, 梯度的模等于函数 沿法线方向的方向导数. 如以 表示等量面的一个单位法向量, 它指向 的数值增大的方向, 而以 表示函数 沿这法线的方向导数, 则有这是因为任何向量 可以用这向量的单位向量 表示出来 以下是关于梯度的基本运算法则:(1)两个函数代数和的梯度, 等于各函数梯度的代数和, 烟枉鸥尹篇泼暇锑啤龟铝粟捂策醋查柿菊针鹃攘激跑盈帐酸裴倚犀鹅反引方向导数和梯度方向导数和梯度即(2) 两个函数乘积的梯度 这两个法则从梯度的各个分量的表示立即可以证明. 再由求复合函数的偏导数法则, 又可得(3) 复合函数的梯度例3 设 求 在点 的梯度.例4 设在平面上的原点处有一单位正电荷, 在真实中产生一个静电场, 在平面上任意一点 (不等于原点)处, 其电位 为?彪淌职完赏冬拜铂姻瓦用过民雾戎乔吕足帐疯缩拨沛卯播占么赤其蜘亏鼎方向导数和梯度方向导数和梯度
