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1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 函数学习中的数学思想 山东 刘海 一些重要的数学思想在函数学习中有着广泛的应用，在学习时要注意归纳总结 1数形结合的思想 函数的图象能直观地显示函数的性质， 借助于图象来研究、 解决有关函数的问题是数形结合应用的一个重要方面在解不等式、判断方程是否有解、解的个数及二次方程根的分布问题时，我们往往构造函数，利用函数的图象解题 例 1 已知0c ， 下列不等式中成立的是 （ ） 2cc 12cc 122cc 122cc 解析： 在同一坐标系中分别作出yx，12xy，2xy 的图象，如右图所示，显然0
2、x 时，122xxx，即0c 时，122ccc 2分类讨论的思想 在函数这一部分经常涉及到分类讨论的情形， 特别是在研究含参数的二次函数在部分区间上的最值问题及在研究函数的单调性等问题时，一般需用分类讨论的思想方法 例 2 已知函数2( )(21)3f xaxax在区间322，上的最大值为 1， 求实数a的值 解：当0a 时，( )3f xx ，( )f x在322，上不能取得，故0a 2( )(21)3(0)f xaxaxa的对称轴方程为01 22axa （1）令312f，解得103a ，此时02332202x ， 0a ，0()f x最大，312f不合题意； （2）令(2)1f，解得34a
3、 ，此时013232x ， 304a ，(2)1f为最大值； 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ （3）令0()1f x，解得1( 32 2)2a ， 验证后知只有1( 32 2)2a 符合题意 综上所述，34a ，或1( 32 2)2a 3转化与化归的思想 在解恒成立及复合函数等问题时，往往可以把问题转化为指数函数、对数函数、二次函数、幂函数等我们熟悉的函数去研究，将复杂的问题分解、归结为简单问题 例 3 已知函数22( )xxaf xx，1)x， 若对任意1)x，( )0f x 恒成立，试求实数a的取值范围 解：在区间1)，上
4、，22( )0xxaf xx恒成立220xxa恒成立 设22yxxa，1)x， 222(1)1yxxaxa在1)x，上递增， 当1x 时，min3ya， 即当min30ya时， 函数( )0f x 恒成立， 故3a 例 4 设函数( )yf x定义在R上，则函数(1)yf x与(1)yfx的图象关于（ ） 直线0y 对称 直线0x 对称 直线1y 对称 直线1x 对称 解析： 使抽象问题具体化， 取2( )f xx， 则2(1)(1)f xx，2(1)(1)fxx 此时，两函数的图象重合，且关于直线1x 对称，故选（） 4换元思想 例 5 求函数12yxx的值域 解析：令12 (0)tx t，
5、则212tx， 2211(1)122tytt ， 0t，当0t 时，y的最大值为12 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 函数的值域为1，2 5函数与方程的思想 函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题， 转化问题和解决问题 方程思想是从问题的数量关系分析入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式或方程与不等式的组合） ，然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解 函数与方程思想是中学数学的基本思想方法， 是一种重要的数学观念， 它不仅仅是一种具体的解题方法，而且是解题思维的导航器 例 6 设abcR， ，且它们的绝对值都不大于，求证10abbcca 分析：构造函数( )1f aabbcca，( )f a是关于a的一次函数，由于 11a ，只要证明( 1)0f 且(1)0f，就能证明( )0f a 证明：设( )()1f abc abc，( )f a是关于a的一次函数， 11abc ， ， (1)1(1)(1)(1)(1)0fbcbcbccbc ， ( 1)1(1)(1)(1)(1)0fbcbcb ccbc ， ( )f a在 11 ，上非负，10abbcca 评注： 本题解法的关键在于要具有函数意识， 能结合式子的特征构造出一次函数( )f a，从而由一次函数的图象性质，使问题得到解决
