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1、11.复习乘法原理和加法原理;2.培养学生综合运用加法原理和乘法原理的能力3.让学生懂得并运用加法、乘法原理来解决问题,掌握常见的计数方法,会使用这些方法解决问题在分类讨论中结合分步分析,在分步分析中结合分类讨论;教师应该明确并强调哪些是分类,哪些是分步并了解与加、乘原理相关的常见题型：数论类问题、染色问题、图形组合一、加乘原理概念生活中常有这样的情况：在做一件事时,有几类不同的方法,在具体做的时候,只要采用其中某一类中的一种方法就可以完成,并且这几类方法是互不影响的那么考虑完成这件事所有可能的做法,就要用到加法原理来解决还有这样的一种情况：就是在做一件事时,要分几步才能完成,而在完成每一步时
2、,又有几种不同的方法要知道完成这件事情共有多少种方法,就要用到乘法原理来解决二、加乘原理应用应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点：加法原理是把完成一件事的方法分成几类,每一类中的任何一种方法都能完成任务,所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和乘法原理是把一件事分几步完成,这几步缺一不可,所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积在很多题目中,加法原理和乘法原理都不是单独出现的,这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理,综合分析,正确作出分类和分步加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类,每一类中的任何一种方法都能完成任务,这样的问题可以使用加法原理解决我们可以简记为：“加法分类,类类
3、独立”乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成,这几步是完成这件任务缺一不可的,这样的问题可以使用乘法原理解决我们可以简记为：“乘法分步,步步相关”【例例 1 1】 5 条直线两两相交,没有两条直线平行,没有任何三条直线通过同一个点,以这 5 条直线的交点为顶点能构成几个三角形? 【考点】加乘原理之图论 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】方法一：5 条直线一共形成54210个点,对于任何一个点,经过它有两条直线,每条直线上另外有 3 个点,此外还有三个不共线的点,以这个点为顶点的三角形就有3 33 33 332230 个三角形,以 10 个点分别为定点的三角形一共有
4、300 个三角形,但每个三角形被重复计算 3 次,所以一共有 100 个三角形例题精讲例题精讲知识要点知识要点教学目标教学目标7-3-37-3-3 加乘原理之图论加乘原理之图论2方法二：只要三点不共线就能构成三角形,所以我们先求出 10 个点中取出 3 个点的种数,再减去 3点共线的情况这 10 个点是由 5 条直线互相相交得到的,在每条直线上都有 4 个点存在共线的情况,这 4 个点中任意三个都共线,所以一共有5 432(32 1)20 个三点共线的情况,除此以外再也没有 3 点共线的情况(用反证法可证明之),所以一共可以构成109 8(32 1)20100 种情况【答案】100【例例 2
5、2】 如图,有这样的两条线,请问从这5个点中任选三个点可以构成个不同的三角形【考点】加乘原理之图论 【难度】2 星 【题型】填空【关键词】学而思杯,3 年级,第 4 题【解析】只要三点不共线,就能构成三角形.3528C 个【答案】8个【例例 3 3】 直线 a,b 上分别有 5 个点和 4 个点,以这些点为顶点可以画出多少个三角形? ba【考点】加乘原理之图论 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】走美杯,4 年级,决赛,第 6 题【解析】画三角形需要在一条线上找 1 个点,另一条线上找 2 个点,本题分为两种情况：在a线上找一个点,有 5 种选取法,在b线上找两个点,有4326 种根据乘法
6、原理,一共有：5630个三角形;在b线上找一个点,有 4 种选取法,在a线上找两个点,有54210种根据乘法原理,一共有：4 1040个三角形;根据加法原理,一共可以画出：304070个三角形【答案】70【巩固】 直线 a,b 上分别有 4 个点和 2 个点,以这些点为顶点可以画出多少个三角形? ba【考点】加乘原理之图论 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】画三角形需要在一条线上找 1 个点,另一条线上找 2 个点,本题分为两种情况：在a线上找一个点,有 4 种选取法,在b线上找两个点,有 1 种,根据乘法原理,一共有：4 14 个三角形;在b线上找一个点,有 2 种选取法,在a线上找两个
7、点,有4326 种,根据乘法原理,一共有：2612个三角形;根据加法原理,一共可以画出：41216个三角形【答案】16【巩固】 直线 a,b 上分别有 5 个点和 4 个点,以这些点为顶点可以画出多少个四边形? 【考点】加乘原理之图论 【难度】2 星 【题型】解答 3【解析】画四边形需要在每条线上取 2 个点,【解析】在a线上取 2 个点共有54210种,【解析】在b线上取 2 个点共有4326 种,【解析】根据乘法原理,一共可以画出6 1060个四边形【答案】60【巩固】 三条平行线上分别有 2,4,3 个点(下图),已知在不同直线上的任意三个点都不共线问：以这些点为顶点可以画出多少个不同的
8、三角形? 【考点】加乘原理之图论 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】 (方法一)本题分三角形的三个顶点在两条直线上和三条直线上两种情况三个顶点在两条直线上,一共有43223222322443234355 个三个顶点在三条直线上,由于不同直线上的任意三个点都不共线,所以一共有：24324 个根据加法原理,一共可以画出552479个三角形(方法二)9个点任取三个点有9 87(32 1 )84 种取法,其中三个点都在第二条直线上有4种,都在第三条直线上有1种,所以一共可以画出844179 个三角形【答案】79【例例 4 4】 一个半圆周上共有12 个点,直径上 5 个,圆周上 7 个,以这些点为
9、顶点,可以画出多少个三角形?【考点】加乘原理之图论 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】第一类：三角形三个顶点都在圆周上,这样的三角形一共有76532 135 （种;第二类：三角形两个顶点在圆周上,这样的三角形一共有762 15105（种;第三类：三角形一个顶点在圆周上,这样的三角形一共有7542 170 （种;根据加法原理,一共可以画出3510570210种【答案】210【例例 5 5】 在一个圆周上均匀分布 10 个点,以这些点为顶点,可以画出多少不同的钝角三角形?(补充知识：由直径和圆周上的一点构成的三角形一定是直角三角形,其中直径的边所对的角是直角,所以如果圆周上三点在同一段半圆周上
10、,则这三点构成钝角三角形) 【考点】加乘原理之图论 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】由于 10 个点全在圆周上,所以这 10 个点没有三点共线,故只要在 10 个点中取 3 个点,就可以画出一个三角形,如果这三个点其中两点构成的线段小于直径,并且第三个点在被其余两点分割的较小的圆周上,则这三个点构成钝角三角形, 这样所有的钝角三角形可分为三类,第一类是长边端点之间仅相隔一个点,这样的三角形有10 110 个,第二类是长边端点之间相隔两个点,这样的三角形有10220个,第三类是长边端点之间相隔三个点,这样的三角形有10330个,所以一共可以画出10203060个钝角三角形【答案】604【例
11、例 6 6】 从 1 至 9 这九个数字中挑出六个不同的数填在下图的六个圆圈内,使在任意相邻两个圆圈内数字之和都是不能被 3 整除的奇数,那么最多能找出 种不同的挑法来(六个数字相同、排列次序不同的都算同一种) 【考点】加乘原理之图论 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】迎春杯,决赛【解析】显然任意两个相邻圆圈中的数只是一奇一偶,因此,应从 2,4,6,8 中选 3 个数填入 3 个不相邻的圆圈中,下面就按此分类列举：填入 2,4,6,这时 3 与 9 不能同时填入(否则总有一个与 6 相邻,36或96能被 3 整除),没有3,9 的有 1 种：1,5,7,经试填,不成立;有 3 或 9 的,其它 3 个奇数 1,7 中选一个,5 必选,有 2 种选法,因此有224种 填入 2,4,8,这时 1,7 不能填入(因为72,78,12,18都能被 3 整除),从其余 3 个奇数中选出 1 个,有 1 种选法填入 2,6,8,这时 1,7 不能填入,故无法填填入 4,6,8,这时 3 与 9 只能任选一个,1 与 7 也只能任选 1 个,第三个数是 5,因而有224种选法根据加法原理,总共有41049 种选法【答案】9
