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1、第三章 矩阵和向量的运用向量空向量空间一、向量空间及其子空间1.定定义：设V是是n维向量的非空集合，假向量的非空集合，假设V对于向量加法于向量加法 及数乘两种运算封及数乘两种运算封锁，即：，即：那么称集合V为n维向量空间,简称为向量空间。例如：2.子空子空间：W、V 为 向量空向量空间，假，假设W V，那么，那么 称称 W 是是V 的子空的子空间。如都是 的子空间。例：只需证明向量空向量空间的基与的基与维数数定定义：满足基中所含向量个数 r 称为向量空间的维数。基为假设向量空间的基为向量在基下的坐向量在基下的坐标定义：设定义：设是向量空间V 的基，注：注：1.向量在一向量在一组确定的基下的坐确
2、定的基下的坐标是独一的。是独一的。为什么？什么？2.向量空间的基不独一,因此,向量在不同基下的坐标也不一样。他能推导出向量在不同基下的坐标变换式吗？详见参考书第59页。3.向量在一组基下的坐标如何求？普通有两种求法：待定系数法与矩阵方程法。线性方程性方程组一、一、齐次次线性方程性方程组称为齐次线性方程组。系数系数矩阵矩阵方程组的方程组的矩阵方式矩阵方式齐次次线性方程性方程组解的性解的性质显然是方程组的解；称为零解。假设非零向量是方程组的解，那么称为非零解，也称为非零解向量。性质1：齐次方程组的两个解的和仍是方程组的解。即：性质2：令那么V 构成一个向量空间。称为方程组的解空间。假设齐次线性方程
3、组的解空间存在一组基那么方程组的全部解就是这称为方程组的通解。由此可见，要求方程组的全部解，只需求出其基。定义：假设齐次方程组的有限个解满足：那么称 也就是说，我们将解空间的基称为根底解系，此时，通解就是根底解系的线性组合，即为：齐次次线性方程性方程组根底解系的求法根底解系的求法1.行最行最简形矩形矩阵：设 r(A) =r n ,且无妨设A 中最左上角的 r 阶子式不为零。那么经有限次行初等变换，矩阵 A 化为：显然：行最简形为：真未知量自在未知量由自在未知量独一确定从推导过程可以看出：根底解系不独一，但所含向量个数相等，都等于 n - r(A).综上有：必需牢必需牢记：根底解系所含向量的个数
4、：根底解系所含向量的个数为 未知数个数减系数矩未知数个数减系数矩阵的秩。的秩。 推论1：对齐次线性方程组，有 假设 r(A)=n 那么方程组有独一零解; 假设 r(A)=rn ，那么方程组有无数多解，其通解为例1：求方程组的通解解：同解方程组为根底解系为通解为例2：求方程组的通解同解方程组为根底解系为：Ex:推论2：n 元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系 数行列式为零。二、非二、非齐次次线性方程性方程组系数矩阵系数矩阵方程组的方程组的矩阵方式矩阵方式非齐次非齐次方程组的方程组的导出组导出组1非非齐次次线性方程性方程组的有解断定的有解断定引进向量方程组的向量方程方程组的向量方程方程组1有解
5、非非齐次次线性方程性方程组的解法的解法1.非齐次线性方程组解的性质性质1：非齐次方程组1的两个解的差是它的导出组的解。性质2：非齐次方程组1的一个解与其导出组的一个解的和是 非齐次方程组1的解。2.非非齐次次线性方程性方程组的通解的通解那么非齐次方程组1的通解为定理：定理：推推论：通解为例1：求解方程组有解同解方程组为所以 根底解系为通解为例2：求方程组的通解同解方程组为有解根底解系为：非非齐次方程次方程组的求解步的求解步骤如何确定？如何确定？ 留意什么？留意什么？含参数的方程含参数的方程组在求解方程组之前，要先确定参数值。这是准那么。而参数值确实定，要根据有解的条件即：普通而言，有两种方法确
6、定参数值。一种是行列式法，另一种是初等变换法。补充充不再是含参数的方程组了。不再是含参数的方程组了。问题：此：此题能用行列式法求解能用行列式法求解吗？不能！不能！两个关于方程两个关于方程组的的问题：由题设，根底解系只含一个解向量，可取为详见参考书第82页。详见参考书第82页。向量向量组的正交性的正交性一、向量的内积：1.定义1：设有向量2.向量的单位化二、向量的夹角：自学。三、向量的正交性：1.定义2.2.定义3.为正交向量组。也称为单位正交组或规范正交组。3.正交向量正交向量组的性的性质定理定理:回想:如何证明一组向量线性无关?证:( i =1,2,m )问题:线性无关的向量性无关的向量组能否能否为正交正交组?不是不是 !四、向量组的正交规范化：五、正交矩阵：1.定义4：2.性质：3.正交矩阵的断定:方法一、用定理。方法二、用定义。正交正交不正交不正交
