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1、医用高等数学（第二版）1-2极限一、一、极限的概念极限的概念二、二、极限的运算法则极限的运算法则三、三、两个重要极限两个重要极限高等数学 01-02-02 割之弥细，所失弥少。割之又割，割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。矣。古代割圆术古代割圆术高等数学 01-02-03数列极限数列极限 对于数列对于数列 un，如果存在一个，如果存在一个常数常数 A，当，当 n 无限增大时，数列无限增大时，数列 un中的项中的项 un 无限趋近于常数无限趋近于常数 A，则把常数则把常数 A 称为数列称为数列 un 的的极限极限，记作记作高等数学 0
2、1-02-04或或例例 观察如下数列观察如下数列高等数学 01-02-05（1） ，即，即（2） ，即，即A高等数学 01-02-06x 时的函数极限时的函数极限 如果自变量如果自变量 x 的绝对值无限增大的绝对值无限增大时，函数时，函数 f(x) 无限趋近于一个常数无限趋近于一个常数 A，则称常数，则称常数 A 为函数为函数 f(x) 当当 x 时时的的极限极限，记作，记作高等数学 01-02-07或或显然有显然有高等数学 01-02-08yxO高等数学 01-02-09x- xA y y= =f f( (x x) )例例 观察下列函数的极限观察下列函数的极限高等数学 01-02-10（1）
3、（3）（4）（2）xx0 时的函数极限时的函数极限 设函数设函数y=f(x) 在在 x0 点附近有定点附近有定义（在义（在 x0 点可以无定义），若当点可以无定义），若当 x (x x0) 无论以怎样的方式趋近于无论以怎样的方式趋近于 x0 时，函数时，函数 f(x) 都趋近于常数都趋近于常数 A，则称，则称常数常数 A 为当为当 xx0 时函数时函数 f(x) 的的极限极限，记作记作 高等数学 01-02-11或或y yx xOx0A y y= =f f( (x x) )高等数学 01-02-12注注（1）xx0 的方式是任意的；的方式是任意的；高等数学 01-02-13（2）当当 xx0
4、时，时，f(x) 有无极限与有无极限与 f(x) 在在 x0 点是否有定义及点是否有定义及 x0 点的函点的函数值无关。数值无关。例例 观察下列函数的极限观察下列函数的极限高等数学 01-02-14（1）（2）（4）（3） ，求，求y yx xO1 11 1高等数学 01-02-15单侧极限单侧极限 如果只考虑如果只考虑 x 从从 x0 的一侧趋近的一侧趋近于于 x0 时函数时函数 f(x) 的极限，称为的极限，称为单侧单侧极限极限。高等数学 01-02-16左极限左极限(left-hand limit) 若当若当 x 从从 x0 的左侧的左侧( xx0 )趋近趋近于于 x0 时，函数时，函数
5、 f(x) 无限趋近于常数无限趋近于常数 A，则称常数，则称常数 A为函数为函数 f(x) 当当 xx0 时的时的右极限右极限，记作，记作高等数学 01-02-18 或或显然有显然有高等数学 01-02-19高等数学 01-02-20例例 已知函数已知函数求求 。高等数学 01-02-21例例 已知函数已知函数求求 ， 。高等数学 01-02-22课堂讨论题课堂讨论题 已知函数已知函数求求 。Oxy1111高等数学 01-02-23则则（1）高等数学 01-02-24定理定理 设函数设函数 f(x) 和和 g(x) 在自变量在自变量 x 的同一变化过程中极限分别为的同一变化过程中极限分别为 A
6、 和和 B，即，即推论推论高等数学 01-02-25（2）（4）（3）高等数学 01-02-26定理定理 设设 y=f( (x) 是由是由 y=f(u)，u= (x)复合而成的，复合而成的，f( (x) 在点在点 x0 的附近有定义（的附近有定义（x0可除外），若可除外），若且对且对 x0 附近不等于附近不等于 x0 的的 x， (x)u0，则则例例 求下列函数的极限求下列函数的极限（2）（3）（4）高等数学 01-02-27（1）例例 求下列函数的极限求下列函数的极限高等数学 01-02-28（1）（2）（3）一般地一般地高等数学 01-02-29（1）因式分解法；因式分解法；（2）有理化因
7、式法；有理化因式法；（3）三角变形法；三角变形法；高等数学 01-02-30 处理处理“ ”型极限的基本方法是型极限的基本方法是消去零因子，如消去零因子，如 （4）重要极限；重要极限；（5）洛必达法则。洛必达法则。课堂讨论题课堂讨论题 求下列函数的极限求下列函数的极限高等数学 01-02-31（1）（2）xsinx sinx x0.17450.17360.9950.01745240.999950.00174532920.00174532830.9999995 0 0 10.0174533高等数学 01-02-32（1）xMPATO高等数学 01-02-33高等数学 01-02-34准则准则1（
8、夹挤定理）（夹挤定理） 若在同一极限过程中，三个函数若在同一极限过程中，三个函数 f(x), g(x), h(x) 之间有关系之间有关系且且 ， ，则，则例例 求极限求极限高等数学 01-02-35例例 求下列函数的极限求下列函数的极限高等数学 01-02-36（1）（2）（3）课堂讨论题课堂讨论题 求下列函数的极限求下列函数的极限高等数学 01-02-37（1）（2）102.593742.716921072.71828 e103x高等数学 01-02-38（2）或或准则准则2 单调有界数列必有极限。单调有界数列必有极限。高等数学 01-02-39例例 求下列函数的极限求下列函数的极限高等数学 01-02-40（1）（2）课堂讨论题课堂讨论题 求下列函数的极限求下列函数的极限高等数学 01-02-41（1）（2）小结小结：函数极限：函数极限(x、xx0) 单侧极限单侧极限(左极限、右极限左极限、右极限) 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 两个重要极限两个重要极限高等数学 01-02-42作业作业：P18 习题一习题一 9(1)(2)(3)(7)(8) 10(2)(6) 11(3)(5) 12
